AWP lösen Nr. 1 < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:47 Mo 28.06.2010 | | Autor: | Mija |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Lösen Sie folgendes Anfangswertproblem:
$y'(t) = \bruch{2}{t}y(t) + t^4, y(1) = y_0$ |
Hallo,
ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand meine Lösung zu dieser Aufgabe korrigieren könnte!
$y'(t) = \bruch{2}{t}y(t) + t^4$
mit $x:=t$ folgt:
$y' = \bruch{2}{t}y + x^4$
$\gdw \bruch{dy}{dx} = \bruch{2}{x}x + x^4$
$\gdw dy = (\bruch{2}{x}y+x^4)dx$
$\gdw \bruch{1}{y}dy = (\bruch{2}{x}+x^4)dx
\gdw \integral{\bruch{1}{y}dy} = (\bruch{2}{x}+x^4)dx$
$\gdw ln(y) = \integral{x^4 dx} + 2 \integral{\bruch{1}{x} dx}$
$\gdw ln(y) = \integral{x^4 dx} + 2 ln(x)$
$\gdw ln(y) = \bruch{x^5}{5} + 2 ln(x) + C$
$\gdw y = e^{\bruch{x^5}{5} + 2 ln(x) + C}$
$\gdw y = x^{2}e^{\bruch{x^5}{5} + C}$
mit $y(1) = y_0$ folgt:
$y_0 = 1^{2}e^{\bruch{1^5}{5} + C}$
$\gdw y_0 = e^{\bruch{1}{5} + C}$
$\gdw ln(y_0) = \bruch{1}{5} + C$
$\gdw C = ln(y_0) - \bruch{1}{5}$
$\Rightarrow y = x^{2}e^{\bruch{x^5}{5} + ln(y_0) - \bruch{1}{5}$
= x^{2}e^{\bruch{x^{5}-1}{5} + ln(y_0)}
= x^{2}y_0 e^{\bruch{x^{5} -1}{5}}$
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Hallo Mija,
> Lösen Sie folgendes Anfangswertproblem:
> [mm]y'(t) = \bruch{2}{t}y(t) + t^4, y(1) = y_0[/mm]
> Hallo,
>
> ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand meine Lösung
> zu dieser Aufgabe korrigieren könnte!
>
> [mm]y'(t) = \bruch{2}{t}y(t) + t^4[/mm]
>
> mit [mm]x:=t[/mm] folgt:
>
> [mm]y' = \bruch{2}{t}y + x^4[/mm]
>
> [mm]\gdw \bruch{dy}{dx} = \bruch{2}{x}x + x^4[/mm]
>
> [mm]\gdw dy = (\bruch{2}{x}y+x^4)dx[/mm]
>
> [mm]$\gdw \bruch{1}{y}dy[/mm] = [mm](\bruch{2}{x}+x^4)dx[/mm]
Hier ist ein Fehler passiert.
Wenn Du schon durch "y" teilst, dann auch alles:
[mm]$\gdw \bruch{1}{y}dy = (\bruch{2}{x}+\red{\bruch{1}{y}}x^4)dx[/mm]
>
> [mm]\gdw \integral{\bruch{1}{y}dy}[/mm] = [mm](\bruch{2}{x}+x^4)dx$[/mm]
>
> [mm]\gdw ln(y) = \integral{x^4 dx} + 2 \integral{\bruch{1}{x} dx}[/mm]
>
> [mm]\gdw ln(y) = \integral{x^4 dx} + 2 ln(x)[/mm]
>
> [mm]\gdw ln(y) = \bruch{x^5}{5} + 2 ln(x) + C[/mm]
>
> [mm]\gdw y = e^{\bruch{x^5}{5} + 2 ln(x) + C}[/mm]
>
> [mm]\gdw y = x^{2}e^{\bruch{x^5}{5} + C}[/mm]
>
> mit [mm]y(1) = y_0[/mm] folgt:
>
> [mm]y_0 = 1^{2}e^{\bruch{1^5}{5} + C}[/mm]
>
> [mm]\gdw y_0 = e^{\bruch{1}{5} + C}[/mm]
>
> [mm]\gdw ln(y_0) = \bruch{1}{5} + C[/mm]
>
> [mm]\gdw C = ln(y_0) - \bruch{1}{5}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow y = x^{2}e^{\bruch{x^5}{5} + ln(y_0) - \bruch{1}{5}[/mm]
>
> = [mm]x^{2}e^{\bruch{x^{5}-1}{5} + ln(y_0)}[/mm]
>
> = [mm]x^{2}y_0 e^{\bruch{x^{5} -1}{5}}$[/mm]
Der gangbare Weg ist zuerst die homogene DGL
[mm]y' = \bruch{2}{x}y[/mm]
zu lösen.
Dann löst man die inhomogene DGL, indem man die Konstanten in
der Lösung der homogenen DGL von x abhängig macht, und dann
in die inhomogene DGL
[mm]y' = \bruch{2}{x}y + x^4[/mm]
einsetzt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:52 Mo 28.06.2010 | | Autor: | Mija |
Lösung der homogenen DGL $y' = [mm] \bruch{2}{x} [/mm] y$
[mm] $\gdw \bruch{dy}{dx} [/mm] = [mm] \bruch{2}{x} [/mm] y$
[mm] $\gdw [/mm] x dy = 2y dx$
[mm] $\gdw \bruch{1}{2y} [/mm] dy = [mm] \bruch{1}{x} [/mm] dx$
[mm] $\gdw \bruch{ln(y)}{2} [/mm] = ln(x) + C$
[mm] $\gdw [/mm] ln(y) = 2 ln(x) + 2C$
[mm] $\gdw [/mm] y = [mm] e^{2 ln(x) + 2C}$
[/mm]
[mm] $\gdw [/mm] y = [mm] x^{2}e^{2C}$
[/mm]
Mit [mm] $y(1)=y_0$ [/mm] folgt:
[mm] $\gdw y_0 =1^{2}e^{2C}$
[/mm]
[mm] $\gdw y_0 [/mm] = [mm] e^{2C}$
[/mm]
[mm] $\gdw ln(y_0) [/mm] = 2C$
[mm] $\gdw [/mm] C = [mm] \bruch{ln(y_0)}{2}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] y = [mm] x^{2}e^{ln(y_0)} [/mm] = [mm] y_0 x^{2}$
[/mm]
Ist die inhomogene DGL dann
$y' = [mm] \bruch{2}{x} [/mm] y + [mm] x^4 [/mm] = 2xy + [mm] x^4$
[/mm]
[mm] $\bruch{dy}{dx} [/mm] = 2xy + [mm] x^4$
[/mm]
?
Wie mache ich dann weiter?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:13 Mo 28.06.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
die homogene Lösung [mm] y=C*x^2 [/mm] ist richtig. Aber die Anfangsbed, soll ja durch die ganze Lösung bestimmt werden. Also musst du erst die allg. Lösung der inhomogenen suchen und dann den AW einsetzen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:17 Mo 28.06.2010 | | Autor: | Mija |
Also muss ich die inhomogene erst so lösen, wie ich es ganz am Anfang versucht habe? Und dann die Llsung der homogenen einsetzen?
Ist das richtig so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:52 Mo 28.06.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nein, ganz am Anfang hast du einfach was falsches gemacht. jetzt hast du die allgemeine Lösung der hom. Gleichung. Nun musst du entweder eine spezielle lösung der inhomogenen raten, oder durch den Anssatu [mm] y=C(x)*x^2 [/mm] und einsetzen in die Dgl. C(x) finden und damit ne lösung der inhomogenen . Das Verfahren heisst "Variation der Konstanten" solltet ihr eigentlich gehabt haben. Dann hast du die allgemeine Lösung der inh. Dgl. in der noch ne willkürliche Konstante steckt. die bestimmst du durch einsetzen des AW.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:23 Di 29.06.2010 | | Autor: | Mija |
Ich habe jezt $ y = [mm] C(x)x^{2}$ [/mm] Also kann ich doch schlussfolgern, dass
$y' [mm] =C'(x)x^{2} [/mm] + 2 C(x)*x$
Einsetzen in die DGL ergibt:
[mm] $C'(x)*x^{2} [/mm] + 2 C(x)*x = [mm] \bruch{2}{x} C(x)*x^{2} [/mm] + [mm] x^4$
[/mm]
[mm] $\gdw C'(x)*x^{2} [/mm] + 2 C(x)*x = 2x*C(x) + [mm] x^4$
[/mm]
[mm] $\gdw C'(x)*x^{2} [/mm] = [mm] x^{4}$
[/mm]
[mm] $\gdw [/mm] 0 = [mm] x^{4} -C'(x)*x^{2}$
[/mm]
[mm] $\gdw [/mm] C'(x) = [mm] x^{2}$
[/mm]
Und nun?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:37 Di 29.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ich habe jezt [mm]y = C(x)x^{2}[/mm] Also kann ich doch
> schlussfolgern, dass
>
> [mm]y' =C'(x)x^{2} + 2 C(x)*x[/mm]
>
> Einsetzen in die DGL ergibt:
>
> [mm]C'(x)*x^{2} + 2 C(x)*x = \bruch{2}{x} C(x)*x^{2} + x^4[/mm]
>
> [mm]\gdw C'(x)*x^{2} + 2 C(x)*x = 2x*C(x) + x^4[/mm]
> [mm]\gdw C'(x)*x^{2} = x^{4}[/mm]
>
> [mm]\gdw 0 = x^{4} -C'(x)*x^{2}[/mm]
> [mm]\gdw C'(x) = x^{2}[/mm]
>
> Und nun?
$C(x)= [mm] \bruch{1}{3}x^3 [/mm] +c $
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:38 Di 29.06.2010 | | Autor: | Mija |
Also ist $y = [mm] (\bruch{1}{3} x^{3} [/mm] + c)* [mm] x^{2}$
[/mm]
$= [mm] \bruch{1}{3} x^{5} [/mm] + [mm] c*x^{2}$
[/mm]
Also $y(t) = [mm] \bruch{1}{3} t^{5} [/mm] + [mm] y_0*t^{2}$
[/mm]
Hab ich jetzt alles?
Kann man das so schreiben?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:46 Di 29.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> Also ist [mm]y = (\bruch{1}{3} x^{3} + c)* x^{2}[/mm]
>
> [mm]= \bruch{1}{3} x^{5} + c*x^{2}[/mm]
O.K.
>
> Also [mm]y(t) = \bruch{1}{3} t^{5} + y_0*t^{2}[/mm]
>
> Hab ich jetzt alles?
Nein !
Das: [mm]y(t) = \bruch{1}{3} t^{5} + y_0*t^{2}[/mm]
ist nicht die Lösung des AWPs !!!
FRED
>
> Kann man das so schreiben?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:49 Di 29.06.2010 | | Autor: | Mija |
Was dann?
$y = [mm] \bruch{1}{3} x^{5} [/mm] + [mm] c*x^{2}$ [/mm] ?
Was ist denn dann die Lösung des AWPs? Ich kenne bisher nur diese Notationen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:30 Di 29.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> Was dann?
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> [mm]y = \bruch{1}{3} x^{5} + c*x^{2}[/mm] ?
>
> Was ist denn dann die Lösung des AWPs? Ich kenne bisher
> nur diese Notationen
Du mußt c so bestimmen, dass [mm] $y(1)=t_0$ [/mm] ist
FRED
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