AWP lösen Nr. 2 < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:15 Mo 28.06.2010 | | Autor: | Mija |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Lösen Sie folgendes Anfangswertproblem:
$e^{2t}y(t) - (1+e^{2t})y'(t) = 0, y(t_0) = y_0$ |
Ich würde mich sehr freuen, wenn jemand meine Lösung korrigieren oder bestätigen könnte. Danke!
$e^{2t}y(t) - (1+e^{2t})y'(t) = 0, y(t_0) = y_0$
mit $x:=2t$ folgt:
$e^{x}y(t) - (1+e^{x})y'(t) = 0$
$\gdw e^{x}y(t) = (1+e^{x})y'(t)$
$\gdw \bruch{y(t)}{y'(t)} = \bruch{1+e^{2t}}{e^{2t}}$
$\gdw \bruch{y}{y'} = \bruch{1+e^{x}}{e^x}}$
$\gdw \bruch{y}{\bruch{dy}{dx}} = \bruch{1+e^{x}}{e^{x}}$
$\gdw y* \bruch{dx}{dy} = \bruch{1+e^{x}}{e^{x}}$
$\gdw y dx = \bruch{1+e^{x}}{e^{x}} dy$
$\gdw y e^{x} dx = (1+e^{x}) dy$
$\gdw \bruch{e^{x}}{1+e^{x}} dx = \bruch{1}{y} dy$
$\gdw \integral{\bruch{e^{x}}{1+e^{x}} dx} = \integral{\bruch{1}{y} dy}$
Mit Substitution $u = e^{x} + 1, du = e^{x} dx$ folgt:
$\integral{\bruch{1}{u} d} = \integral{\bruch{1}{y} dy}$
$\gdw ln(u) + C = ln(y)$
Resubstitution $u:= e^{x} +1$
$\gdw ln(e^{x} + 1) + C = ln(y)$
$\gdw e^{x} + 1 +e^{C} = y$
mit $y(t_0) = y_0$ folgt:
$\gdw e^{C} = y_0 - 1 - e^{x}$
$\gdw C = ln(y_0 - 1 - e^{x})$
$\Rightarrow y = e^{x} + 1 + e^{ln(y_0 - 1 - e^{x}}$
$= e^{x} + 1 + ln(y_0 - 1 - e^x)$
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:50 Mo 28.06.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Lösen Sie folgendes Anfangswertproblem:
> [mm]e^{2t}y(t) - (1+e^{2t})y'(t) = 0, y(t_0) = y_0[/mm]
> Ich würde
> mich sehr freuen, wenn jemand meine Lösung korrigieren
> oder bestätigen könnte. Danke!
>
> [mm]e^{2t}y(t) - (1+e^{2t})y'(t) = 0, y(t_0) = y_0[/mm]
>
> mit [mm]x:=2t[/mm] folgt:
das solltest du hier nicht machen, denn dann ist doch auch dx=2dt und du musst alles ändern!
also besser direkt
[mm] dy/y=e^{2t}/(1+e^{2t})*dt
[/mm]
dann wenn du das integral nicht direkt siehst u= [mm] 1+e^{2t}
[/mm]
[mm] du=2e^{2t}dt
[/mm]
> [mm]e^{x}y(t) - (1+e^{x})y'(t) = 0[/mm]
>
> [mm]\gdw e^{x}y(t) = (1+e^{x})y'(t)[/mm]
>
> [mm]\gdw \bruch{y(t)}{y'(t)} = \bruch{1+e^{2t}}{e^{2t}}[/mm]
>
> [mm]\gdw \bruch{y}{y'} = \bruch{1+e^{x}}{e^x}}[/mm]
>
> [mm]\gdw \bruch{y}{\bruch{dy}{dx}} = \bruch{1+e^{x}}{e^{x}}[/mm]
>
> [mm]\gdw y* \bruch{dx}{dy} = \bruch{1+e^{x}}{e^{x}}[/mm]
>
> [mm]\gdw y dx = \bruch{1+e^{x}}{e^{x}} dy[/mm]
>
> [mm]\gdw y e^{x} dx = (1+e^{x}) dy[/mm]
>
> [mm]\gdw \bruch{e^{x}}{1+e^{x}} dx = \bruch{1}{y} dy[/mm]
>
> [mm]\gdw \integral{\bruch{e^{x}}{1+e^{x}} dx} = \integral{\bruch{1}{y} dy}[/mm]
>
> Mit Substitution [mm]u = e^{x} + 1, du = e^{x} dx[/mm] folgt:
>
> [mm]\integral{\bruch{1}{u} d} = \integral{\bruch{1}{y} dy}[/mm]
>
> [mm]\gdw ln(u) + C = ln(y)[/mm]
>
> Resubstitution [mm]u:= e^{x} +1[/mm]
>
> [mm]\gdw ln(e^{x} + 1) + C = ln(y)[/mm]
bis auf den Fakor 2 bzw 1/2 noch richtig,
>
> [mm]\gdw e^{x} + 1 +e^{C} = y[/mm]
das ist falsch .
richtig wäre [mm] (e^{x} [/mm] + 1 [mm] )*e^{C} [/mm] = y
(mit obigem Fehler.)
der Rest deshalb auch falsch. ersetzte [mm] e^C [/mm] durch C1
du solltest, solange du nicht ganz sicher bist deine lösung in die Dgl einsetzen!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:14 Mo 28.06.2010 | | Autor: | Mija |
Irgendwie komme ich jetzt durcheinander, ich habe jetzt was völlig anderes raus.
Könntest du mir vielleicht den Anfang aufschreiben?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:53 Mo 28.06.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
schreib auf, was du hast. Den Anfang hab ich doch aufgeschrieben?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:22 Di 29.06.2010 | | Autor: | Mija |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
$e^{2t}y(t) - (1+e^{2t})*y'(t) = 0, y(t_0)=y_0$
$\gdw (1+e^{2t})*y'(t) = e^{2t} y(t)$
$\gdw y'(t) = \bruch{e^{2t}}{1+e^{2t}}y(t)$
ist DGL mit getrennten Variablen
$g(t) = \bruch{e^{2t}}{1+e^{2t}}, h(y) = y$
Dann ist
$\integral_{t_0}^{t}{g(s) ds} = \integral_{t_0}^{t}{\bruch{y'(s)}{h(y(s))} ds} = \integral_{y_0}^{y(t)}{\bruch{1}{h(u) du}$
$\gdw \integral_{t_0}^{t}{\bruch{e^{2s}}{1+e^{2s} ds} = \integral_{y_0}^{y(t)}{\bruch{1}{u} du} = ln(y(t)) - ln(y_0)$
Substitution $v=2s, dv=2ds$:
$\bruch{1}{2} \integral{\bruch{e^{v}}{1+e^{v} dv} = ln(y(t)) - ln(y_0)$
Substitution $p=e^{v} +1, dp=e^{v} dv$:
$\bruch{1}{2} \integral{\bruch{1}{p} dp} = ln(y(t)) - ln(y_0)$
$\gdw \bruch{ln(p)}{2} = ln(y(t)) - ln(y_0)$
Resubstitution$ p=e^{v} +1$:
$\bruch{ln(e^{v} + 1)}{2} = ln(y(t)) - ln(y_0)$
Resubstitution $v=2s$:
$\bruch{ln(e^{2s} +1)}{2} = ln(y(t)) - ln(y_0)$
$\gdw \bruch{ln(e^{2s} +1)}{2} = ln(\bruch{y(t)}{y_0})$
$\gdw e^{\bruch{1}{2} ln(e^{2s} +1)} = e^{ln(\bruch{y(t)}{y_0}$
$\gdw \wurzel{(e^{2t} +1)} = \bruch{y(t)}{y_0}$
$\gdw y_0 * \wurzel{(e^{2t} + 1)} = y(t)$
Stimmt das?
Hab ich jetzt alles?
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Hallo Mija,
> [mm]e^{2t}y(t) - (1+e^{2t})*y'(t) = 0, y(t_0)=y_0[/mm]
>
> [mm]\gdw (1+e^{2t})*y'(t) = e^{2t} y(t)[/mm]
>
> [mm]\gdw y'(t) = \bruch{e^{2t}}{1+e^{2t}}y(t)[/mm]
>
> ist DGL mit getrennten Variablen
>
> [mm]g(t) = \bruch{e^{2t}}{1+e^{2t}}, h(y) = y[/mm]
>
> Dann ist
>
> [mm]\integral_{t_0}^{t}{g(s) ds} = \integral_{t_0}^{t}{\bruch{y'(s)}{h(y(s))} ds} = \integral_{y_0}^{y(t)}{\bruch{1}{h(u) du}[/mm]
>
> [mm]\gdw \integral_{t_0}^{t}{\bruch{e^{2s}}{1+e^{2s} ds} = \integral_{y_0}^{y(t)}{\bruch{1}{u} du} = ln(y(t)) - ln(y_0)[/mm]
>
> Substitution [mm]v=2s, dv=2ds[/mm]:
>
> [mm]\bruch{1}{2} \integral{\bruch{e^{v}}{1+e^{v} dv} = ln(y(t)) - ln(y_0)[/mm]
>
> Substitution [mm]p=e^{v} +1, dp=e^{v} dv[/mm]:
>
> [mm]\bruch{1}{2} \integral{\bruch{1}{p} dp} = ln(y(t)) - ln(y_0)[/mm]
>
> [mm]\gdw \bruch{ln(p)}{2} = ln(y(t)) - ln(y_0)[/mm]
>
> Resubstitution[mm] p=e^{v} +1[/mm]:
>
> [mm]\bruch{ln(e^{v} + 1)}{2} = ln(y(t)) - ln(y_0)[/mm]
>
> Resubstitution [mm]v=2s[/mm]:
>
> [mm]\bruch{ln(e^{2s} +1)}{2} = ln(y(t)) - ln(y_0)[/mm]
Hier muss es doch lauten:
[mm] \bruch{ln(e^{2s} +1)}{2} \red{|_{t_{0}}^{t}}= ln(y(t)) - ln(y_0)[/mm]
>
> [mm]\gdw \bruch{ln(e^{2s} +1)}{2} = ln(\bruch{y(t)}{y_0})[/mm]
>
> [mm]\gdw e^{\bruch{1}{2} ln(e^{2s} +1)} = e^{ln(\bruch{y(t)}{y_0}[/mm]
>
> [mm]\gdw \wurzel{(e^{2t} +1)} = \bruch{y(t)}{y_0}[/mm]
>
> [mm]\gdw y_0 * \wurzel{(e^{2t} + 1)} = y(t)[/mm]
>
>
> Stimmt das?
>
> Hab ich jetzt alles?
Mit den gemachten Korrekturen hast Du jetzt alles.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:37 Di 29.06.2010 | | Autor: | Mija |
An der Lösung ändert sich dann nichts, oder?
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Hallo Mija,
> An der Lösung ändert sich dann nichts, oder?
An der Lösung steht statt [mm]y_{0}[/mm] eine andere Konstante.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:54 Di 29.06.2010 | | Autor: | Mija |
[mm] $\bruch{ln(e^{2s}+1)}{2} |_{t_{0}}^{t} [/mm] = ln(y(t)) - [mm] ln(y_0)$
[/mm]
[mm] $\gdw \bruch{ln(e^{2t}+1)}{2} [/mm] - [mm] \bruch{ln(e^{2t_0}+1)}{2} [/mm] = ln(y(t)) - [mm] ln(y_0)$
[/mm]
[mm] $\gdw ln(\bruch{e^{2t}+1}{e^{2t_0}+1}) [/mm] = [mm] 2*ln(\bruch{y(t)}{y_0})$
[/mm]
[mm] $\gdw \bruch{e^{2t}+1}{e^{2t_0}+1} [/mm] = [mm] \bruch{y(t)^2}{y_0^2}$
[/mm]
[mm] $\gdw y(t)^2 [/mm] = [mm] \bruch{e^{2t}+1}{e^{2t_0}+1} *{y_0}^2$
[/mm]
[mm] $\gdw [/mm] y(t) = [mm] \wurzel{\bruch{e^{2t}+1}{e^{2t_0}+1}} *y_0$
[/mm]
Wo verschwindet da das [mm] $y_0$ [/mm] ?
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Hallo Mija,
> [mm]\bruch{ln(e^{2s}+1)}{2} |_{t_{0}}^{t} = ln(y(t)) - ln(y_0)[/mm]
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> [mm]\gdw \bruch{ln(e^{2t}+1)}{2} - \bruch{ln(e^{2t_0}+1)}{2} = ln(y(t)) - ln(y_0)[/mm]
>
> [mm]\gdw ln(\bruch{e^{2t}+1}{e^{2t_0}+1}) = 2*ln(\bruch{y(t)}{y_0})[/mm]
>
> [mm]\gdw \bruch{e^{2t}+1}{e^{2t_0}+1} = \bruch{y(t)^2}{y_0^2}[/mm]
>
> [mm]\gdw y(t)^2 = \bruch{e^{2t}+1}{e^{2t_0}+1} *{y_0}^2[/mm]
>
> [mm]\gdw y(t) = \wurzel{\bruch{e^{2t}+1}{e^{2t_0}+1}} *y_0[/mm]
>
>
> Wo verschwindet da das [mm]y_0[/mm] ?
Ich hab nicht geschrieben, daß das [mm]y_{0}[/mm] verschwindet,
sondern statt diesem [mm]y_{0}[/mm] steht eine andere Konstante.
In dieser Konstante kann natürlich auch das [mm]y_{0}[/mm] vorkommen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:09 Di 29.06.2010 | | Autor: | Mija |
Ich verstehe nicht, was da jetzt stehen soll.. Ich finde nichts anderes.
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Hallo Mija,
> Ich verstehe nicht, was da jetzt stehen soll.. Ich finde
> nichts anderes.
Die Lösung, die Du in Deinem vorherigen Post hingeschrieben hast, stimmt.
Gruss
MathePower
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