A/O von Hohlkugeln < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | a)
Zeige: Für eine Hohlkugel gilt die Volumenformel V= [mm] \bruch{4}{3} \*(r³a-r³i )\*\pi
[/mm]
wobei ra der aussenradius ist und ri der innenradius
b)
Drücke das Volumen V einer Hohlkugel durch den Außsenradius ra und die Dicke d der Hohlkugel aus. Vereinfache soweit wie möglich.
c)
Ist der Wert von d sehr viel kleiner als der von ra, so gilt näherungsweise
V [mm] \approx [/mm] O [mm] \*d= [/mm] 4ra² [mm] \pi*d
[/mm]
Begründe diese Näherung
d) Vergelcieh für ra=10cm, d=5cm den Näherungswert mit dem genauem Volumen
e)
Wie dick ist die Wand einer Seifenblase von 80mm Durchmesserm die aus einem 4mm dicken Tropfen entstanden ist? |
Ich hätte gerne dazu einen Lösungweg mit ein bissel erklärung, mfg Carsten.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:38 Do 04.05.2006 | | Autor: | Fulla |
hi carsten!
a)
das kugelvolumen [mm] V_{K}=\bruch{4}{3}r^{3}\pi [/mm] ist bekannt.
eine hohlkugel kann man sich auch als 2 konzentrische kugeln mit volumen [mm] V_{a}(r_{a}) [/mm] und [mm] V_{i}(r_{i}) [/mm] vorstellen.
das volumen der hohlkugel ist dann [mm] V_{H}=V_{a}-V_{i}=(\bruch{4}{3}r_{a}^{3}\pi) [/mm] - [mm] (\bruch{4}{3}r_{i}^{3}\pi) [/mm] = [mm] \bruch{4}{3}(r_{a}^{3}-r_{i}^{3})\pi
[/mm]
b)
die dicke der hohlkugel ist [mm] d=r_{a}-r_{i}. [/mm] nach [mm] r_{i} [/mm] auflösen und die obige formel einsetzen.
c)
wenn du [mm] V_{H}(r_{a}, [/mm] d) ausmultiplizierst, stößt du auf terme mit [mm] d^{2} [/mm] und [mm] d^{3}.
[/mm]
da hier d << [mm] r_{a}, [/mm] kannst du diese vernachlässigen, denn durch die potenzen werden diese noch kleiner.
d)
einfach ausrechnen! (wobei ich glaube, dass es eher d=5mm heißen müsste)
e)
da sich das volumen des tropfens durch das "aufblasen" nicht ändert, weißt du das volumen der seifenblase. [mm] r_{a} [/mm] hast du auch gegeben, also musst du nur noch die formel nach d auflösen und ausrechen.
lieben gruß,
Fulla
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:45 Do 04.05.2006 | | Autor: | chrisno |
Hallo Carsten,
wie wäre es mit ein paar eigenen Ideen?
So gibt es von mir auch nur allgemeine Hinweise.
Zu a) Ich denke, Du hast die Formel für das Kugelvolumen. Eine Hohlkugel entsteht dadurch, dass man aus einer Kugel eine kleinere herausnimmt.
Also: Volumen der äußeren Kugel minus Volumen der inneren. Dann noch ein wenig ausklammern.
Zu b) Die Dicke der Kugelwand ist die Differenz der beiden Radien. Ersetze also [mm] $r_i$ [/mm] durch [mm] $r_a [/mm] - d$. Dann 3. binomische Formel und es hebt sich [mm] $r_a^3$ [/mm] weg.
Zu c) Wenn d sehr klein ist, dann sind [mm] $d^2$ [/mm] und [mm] $d_3$ [/mm] erst recht klein. Die tragen so wenig zum Gesamtergebnis bei, dass man sie erst mal weglassen kann.
Zu d) Einsetzen und Ausrechnen. Die Werte sollten sich unterscheiden.
Zu e) Vom kleinen Tropfen hast Du das Volumen, mit der Formal aus c) bekommst Du die Dicke
Grüße
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