A mittels Kurvenint. berechnen < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:05 Mo 23.01.2012 | | Autor: | kalifat |
| Aufgabe | | [mm] \bruch{x^2}{a^2}+\bruch{y^2}{b^2}\le{1} [/mm] |
Nun, ich soll nun den Flächeninhalt des folgenden Bereichs mittels Kurvenintegralen berechnen.
Ich bin mir da gerade etwas im Unklaren darüber welchen Satz ich anwenden soll. Evt. mit dem Gaußschen Integralsatz?
[mm] \integral_{}^{}{\integral_{M}^{}{ } d\omega}=\integral_{\partial{M}}^{}{\omega }
[/mm]
Ich habe es auch mit der Transformationsformel probiert, ist jedoch nicht hilfreich da sich nichts wegkürzt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:59 Mo 23.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
gemeint ist wohl der Gausssche Integralsatz. was dein [mm] \omega [/mm] und d sein soll weiß ich nicht.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:10 Mo 23.01.2012 | | Autor: | kalifat |
Ja, wie ich vermutete, mit dem Gaußschen Integralsatz.
[mm] M\subseteq{\mathbb{R}^2} [/mm] lässt sich in endlich viele Normalbereiche zerlegen. [mm] \omega=udx+vdy [/mm] eine 1-Form der Klasse [mm] C^1 [/mm] auf einer offenen Menge [mm] U\subseteq{M}, [/mm] dann gilt:
[mm] \integral_{}^{}{\integral_{M}^{}{ } d\omega}=\integral_{\partial{M}}^{}{\omega }
[/mm]
Wie schaut nun mein Flächeinhalt der Ellipse unter dem Integral aus?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:31 Mo 23.01.2012 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Ja, wie ich vermutete, mit dem Gaußschen Integralsatz.
ist hier nicht eher der Stoke'sche Satz gefragt?
>
> [mm]M\subseteq{\mathbb{R}^2}[/mm] lässt sich in endlich viele
> Normalbereiche zerlegen. [mm]\omega=udx+vdy[/mm] eine 1-Form der
> Klasse [mm]C^1[/mm] auf einer offenen Menge [mm]U\subseteq{M},[/mm] dann
> gilt:
>
> [mm]\integral_{}^{}{\integral_{M}^{}{ } d\omega}=\integral_{\partial{M}}^{}{\omega }[/mm]
Das sieht mir auch scharf nach Stokes aus...
>
> Wie schaut nun mein Flächeinhalt der Ellipse unter dem
> Integral aus?
Laut Aufgabenstellung soll das ja mit Kurvenintegralen berechnet werden. Was Du brauchst, ist also erstmal eine Parametrisierung der Kurve.
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:37 Mo 23.01.2012 | | Autor: | kalifat |
Stokes haben wir im Skriptum erst nach dem Übungsbeispiel definiert. Meine Schreibweise wurde vielleicht unklug gewählt.
[mm] \integral_{}^{}{\integral_{M}^{}{ } (v_x-u_y)dxdy}=\integral_{\partial{M}}^{}{(udx+vdy)}
[/mm]
Eine Umschreibung des Satzes von vorhin. Stokes schaut in dieser Hinsicht ein klein wenig anders aus.
In meinem Beispiel, was genau ist [mm] v_x [/mm] und [mm] u_y? [/mm]
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Wenn [mm]M[/mm] die volle Ellipse und [mm]\partial M[/mm] ihren positiv orientierten Rand bezeichnet, dann gilt:
[mm]\int_{\partial M} \omega = \int_{M} \mathrm{d} \omega[/mm]
Damit sich nun hier der Flächeninhalt ergibt, mußt du eine Differentialform [mm]\omega[/mm] mit [mm]\mathrm{d} \omega = \mathrm{d} x \wedge \mathrm{d} y[/mm] finden. Drei Vorschläge:
[mm]\omega = x ~ \mathrm{d} y[/mm]
[mm]\omega = -y ~ \mathrm{d} x[/mm]
[mm]\omega = \frac{1}{2} \left( x ~ \mathrm{d} y - y ~ \mathrm{d} x \right)[/mm]
Mit der linken Seite der obigen Formel kannst du den Flächeninhalt der Ellipse jetzt über ein Kurvenintegral bestimmen. Am schnellsten geht es wohl mit der dritten Variante. Sie läuft beim Rechnen auf den trigonometrischen Pythagoras hinaus.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:59 Mo 23.01.2012 | | Autor: | kalifat |
Danke für deine Antwort.
Erhalte ich dann als Integral folgendes? (Habe die 1.Differentialform verwendet)
[mm] \integral_{0}^{a*\wurzel{b^2-x^2}}{\integral_{0}^{a*\wurzel{b^2-y^2}}{1 dx} dy}
[/mm]
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Ich dachte, du wolltest die Aufgabe mit einem Kurvenintegral lösen. Warum jetzt doch ein Doppelintegral? Im übrigen ist das auch noch falsch berechnet. Das sieht man alleine schon daran, daß beim äußeren Integral die Variable [mm]x[/mm] in der oberen Grenze vorkommt. Das ist aber denkunmöglich.
Du mußt, wenn du die erste Variante wählst,
[mm]\int_{\gamma} x ~ \mathrm{d}y[/mm]
berechnen, worin [mm]\gamma[/mm] der positiv orientierte Ellipsenrand ist. Verwende die bekannte Parameterdarstellung für die Ellipse mit den trigonometrischen Funktionen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:21 Mo 23.01.2012 | | Autor: | kalifat |
Sry, hatte einen Gedankenfehler. Ok, dann ist [mm] x(t)=\vektor{a*cos(t) \\ b*sin(t)}
[/mm]
=> [mm] \integral_{\gamma}^{}{\omega }=\bruch{1}{2}\integral_{0}^{2Pi}{a*b*cost*cost-b*sint*(-a*sint) dt}=\bruch{1}{2}\integral_{0}^{2Pi}{ab dt}
[/mm]
Ich habe jetzt die letzte Differentialform verwendet.
Wie gehe ich eigentlich allgemein vor, wenn ich nicht parametrisieren kann, also beispielsweise bei
[mm] \overline{U}_1(1)\cap\{(x,y): |y|\le{x}\} [/mm] Hierzu fällt mir überhaupt nichts ein.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:44 Di 24.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
woher kommt der zwite summand (sin) in deinem Integral
wirklich nur xdy (nicht der Vektor [mm] \vec{x} [/mm] sondern x=asint
Gruss leduart
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kalifat hat die dritte Variante gewählt.
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Die Rechnung stimmt jetzt, allerdings nicht die Schreibweise. Es fehlen Klammern: [mm]\int_0^{2 \pi} \left( \ldots \right) ~ \mathrm{d}t[/mm]
Zum zweiten: Da müßte man natürlich wissen, was [mm]\overline{U}_1(1)[/mm] bedeuten soll. Das ist keine allgemeingültige Bezeichnung, sie ist kontextbezogen. Sieht irgendwie nach "Umgebung" aus. Aber "Umgebung von 1" im [mm]\mathbb{R}^2[/mm] ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:51 Di 24.01.2012 | | Autor: | kalifat |
[mm] U_r(x) [/mm] bezeichnet die offene r-Kugel um x, also in diesem Fall eine abgeschlossene Kugel mit Radius 1 um den Punkt 1.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:01 Di 24.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> [mm]U_r(x)[/mm] bezeichnet die offene r-Kugel um x, also in diesem
> Fall eine abgeschlossene Kugel mit Radius 1 um den Punkt 1.
Der Mittelpunkt der Kugel ist doch ein Punkt im [mm] \IR^2 [/mm] !!!
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:08 Di 24.01.2012 | | Autor: | kalifat |
Ja, mir hilft das trotzdem bei der Bestimmung des Integrals nicht weiter. Wie schaut das Integral aus, wenn ich beispielsweise die dritte Differentialform von Leopold_Gast auswähle?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:43 Di 24.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hattest das schon richtig, LG hat das auch bis auf die Klammersetzug bestätigt und du hast ja auch das richtige Ergebnis [mm] \pi*a*b [/mm] raus, bist also längst fertig
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:47 Di 24.01.2012 | | Autor: | kalifat |
Ja :) aber ich rede nun von einem anderen Beispiel, sry wenn das nicht ersichtlich war.
Sei nun der Bereich nicht die Ellipse, sondern der Bereich ist nun durch
[mm] \overline{U}_1(1)\cap\{(x,y):|y|\le{x}\}
[/mm]
Als Differentialform möchte nun wieder eine von denen, die Leopold_Gast angeführt hat verwenden.
Wie schaut da nun das Integral aus, was muss in der Diff-Form für x und y einsetzen, mich irritiert diese Menge weil ich keine Parameterdarstellung habe (wie vorhin bei der Ellipse.)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:58 Di 24.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
hast du das mal gezeichnet, dann solltest du die Parameterdarstellung aber finden, die kann ja auch stückweise sein.
Gruss leduart
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Wie soll kalifat etwas zeichnen, dessen Bedeutung ungeklärt ist?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:24 Mi 25.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
keopoldGast hat recht, solange unklar ist , was [mm] U_1(1) [/mm] ist kann man gar nichts sagen. steht das da exakt so in der Aufgabe? und der Querstrich über U??
Gruss leduart
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Du bist ja witzig. Erst bitte ich dich, in eine Frage gekleidet, die Aufgabe richtigzustellen, dann bekräftigt fred97 das in klaren Worten noch einmal. Und du kommst schon wieder mit einem Hilferuf. Liest du eigentlich anderer Leute Beiträge?
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