Abbildung-Bijektivität < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:17 Do 05.05.2005 | | Autor: | lga79 |
Hallo Freunde,
ich weiss nicht, wie ich die unten gestellte Frage korrekt beantworten kann. Die Lösung ist klar, jedoch nicht, wie ich es aufschreibe. Für eure Hilfe bedanke ich mich.
Frage:
Sei M eine endliche Menge und f: M [mm] \to [/mm] M eine Abbildung von M nach M. Zeige, dass gilt:
f ist injektiv [mm] \gdw [/mm] f ist surjektiv [mm] \gdw [/mm] f ist bijektiv
Mein Ansatz:
M sei M:= { [mm] m_{1} [/mm] , [mm] m_{2} [/mm] , [mm] m_{3} [/mm] , ... [mm] m_{n} [/mm] }
f bilde: [mm] m_{c} \mapsto m_{c+1} [/mm] und [mm] m_{n} \mapsto m_{1}
[/mm]
liege ich mit diesem Ansatz richtig?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:02 Do 05.05.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hallo,
dein Ansatz funktioniert leider so nicht, denn du darfst nicht eine bestimmte Abbildung vorraussetzen.
Du musst eigentlich nur : " f injektiv $ [mm] \gdw [/mm] $ f surjektiv " beweisen.
denn wenn du dies gemacht hast ist klar : wenn f injektiv ist, dann auch surjektiv, also nach Definition auch bijektiv
wenn f surjektiv, dann auch injektiv also nach Def. auch bijektiv
wenn f bijektiv dann auch nach Def injektiv und surjektiv.
und um obige Äquivalenz zu zeigen musst du nur beide Richtungen zeigen:
[mm] "$\Rightarrow [/mm] $" : f sei injektiv, angenommen f wäre nicht surjektiv, d.h. es gibt ein Element, dass nicht "getroffen" wird, also kann es höchstens (n-1) Bilder geben. Man hat aber n Elemente in m abzubilden, was folgt dann nach dem ![[]](/images/popup.gif) Schubfachprinzip?
[mm] "$\Leftarrow [/mm] $" : sei f surjektiv, angenommen f wäre nicht injektiv, also gibt es ein [mm] m_1 [/mm] und ein [mm] m_2 [/mm] , sodass $ [mm] f(m_1)=f(m_2) [/mm] $
Wieviel andere unterschiedliche Bilder können wir noch haben? und wieviele sollten es sein, wenn f surjektiv ist?
Ein bischen musst du also noch selbst ran.
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:09 Do 05.05.2005 | | Autor: | lga79 |
Zunächst einmal vielen Dank für deinen Ansatz. Ich verstehe nur das Schubfachprinzip nicht. Ich würde mich sehr freuen, wenn du mir dies erläuterst. Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:25 Do 05.05.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi nochmal,
Das Schubfachprinzip besagt im einfachsten Fall :
Wenn du n Kugeln hast und (n-1) Schubfächer, wo du die Kugeln reinlegst, dann gibt es mindestens ein Schubfach mit 2 Kugeln.
Ich hoffe das kannst du dir vorstellen und siehst es als richtig an.
Jedenfalls sind jetzt die Elemente von M deine n Kugeln und die (n-1) verschiedenen Bilder, die es höchstens geben kann sind deine Schubfächer, was folgt also?
Schreib ruhig auch dann deine vollständigen Beweise hier hin (auch wenn viel einfach nur kopiert ist) , dann kann man nochmal drüber schauen, denn das wichtigste sind die Schlussfolgerungen...
viele grüße
DaMenge
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