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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:34 Sa 31.01.2009 | | Autor: | Lorence |
| Aufgabe | Es sei K ein beliebiger Körper. Durch X [mm] \to X^{t}(transponierte [/mm] Matrix) wird eine lineare Abbildung [mm] M_{2}(K) \to M_{2}(K) [/mm] definiert.
a) Man bestimme das charakteristische Polynom und das Minimalpolynom der Abbildung
b) Man zeige, dass 1 und -1 die Eigenwerte der Abbildung sind, und man bestimme deren algebraische und geometrische Vielfachheit!
(Vorsicht: Was passiert bei char(K)=2) |
So ich hab folgendermaßen angefangen:
X [mm] \to X^{t}
[/mm]
[mm] \pmat{ a & b \\ c & d }\to\pmat{ a & c \\ b & d }
[/mm]
Also lautet die Abbildungsmatrix dazu:
[mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 1 } [/mm] ???
Stimmt das?
Gruß
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> Es sei K ein beliebiger Körper. Durch X [mm]\to X^{t}(transponierte[/mm]
> Matrix) wird eine lineare Abbildung [mm]M_{2}(K) \to M_{2}(K)[/mm]
> definiert.
>
> a) Man bestimme das charakteristische Polynom und das
> Minimalpolynom der Abbildung
>
> b) Man zeige, dass 1 und -1 die Eigenwerte der Abbildung
> sind, und man bestimme deren algebraische und geometrische
> Vielfachheit!
> (Vorsicht: Was passiert bei char(K)=2)
> So ich hab folgendermaßen angefangen:
>
> X [mm]\to X^{t}[/mm]
>
> [mm]\pmat{ a & b \\ c & d }\to\pmat{ a & c \\ b & d }[/mm]
>
> Also lautet die Abbildungsmatrix dazu:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 1 }[/mm] ???
Hallo,
soll die Abbildung vom [mm] K^{2x2} [/mm] in den [mm] K^{2x2} [/mm] gehen? Schaut so aus.
bevor Du irgendwas mit Abbildungsmatrix machst, brauchst Du eine Basis des Vektorraumes. Welches ist die Standardbasis des [mm] K^{2x2} [/mm] ?
Der Raum hat die Dimension 4, und da Start- und Zielraum gleich sind, ist die darstellende Matrix eine 4x4-Matrix.
In den Spalten der darstellenden Matrix stehen die Bilder der Basisvektoren in Koordinaten bzgl der ausgewählten Basis.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:47 Sa 31.01.2009 | | Autor: | Lorence |
Die Basen sind also:
[mm] a=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }
[/mm]
[mm] b=\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }
[/mm]
[mm] c=\pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 }
[/mm]
[mm] d=\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }
[/mm]
Also sieht die Abbildungsmatrix so aus:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1} [/mm] aus?
Danke für die Hilfe
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> Die Basen sind also:
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> [mm]a=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }[/mm]
> [mm]b=\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }[/mm]
>
> [mm]c=\pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 }[/mm]
> [mm]d=\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
Hallo,
das sind nicht die Basen, sondern das ist die Basis, welche aus den von Dir genannten Basisvektoren besteht. (Paß mit so etwas ein bißchen auf, sonnst verwirrst Du Dich am Ende selbst.)
>
>
>
> Also sieht die Abbildungsmatrix so aus:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1}[/mm]
> aus?
Nicht ganz. das wäre ja eine langweilige Abbildung: die Identität.
Der erste Spaltenvektor stimmt, aber worauf wird denn b abgebildet, wenn Deine Abbildung die Transposition ist?
Gruß v. Angela
>
>
> Danke für die Hilfe
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:31 Sa 31.01.2009 | | Autor: | Lorence |
Achso b wird auf c abgebildet:
b [mm] \pmat{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 } \to [/mm] c [mm] \pmat{ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 }
[/mm]
und c wird auf b abgebildet:
c [mm] \pmat{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 } \to [/mm] b [mm] \pmat{ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 }
[/mm]
d wird auf d abgebildet:
d [mm] \pmat{0 \\ 0 \\ 0 \\1 } \to [/mm] d [mm] \pmat{ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 }
[/mm]
also ist die Abbildungsmatrix:
[mm] \pmat{1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1}
[/mm]
???
Danke für die Hilfe
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:18 Sa 31.01.2009 | | Autor: | Lorence |
Okay, ich habe das char Polynom berechnet:
Det [mm] \pmat{ x-1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & x & -1 & 0 \\ 0 & -1 & x & 0 \\ 0 & 0 & 0 & x-1 } [/mm] = [mm] (x-1)(x^3-x^2-x+1) [/mm]
Jetzt habe ich Partialbruch gemacht um das Minimalpolynom zu finden; mit [mm] (x^3-x^2-x+1) [/mm] : [mm] (x+1)=x^2-2x+1
[/mm]
[mm] x^2-2x+1=(x-1)(x-1)
[/mm]
Also zerfällt das charakteristische Polynom in [mm] (x-1)^3(x+1)
[/mm]
Was ist nun das Minimalpolynom, in meinem Tutorium wurde gesagt, dass das Minimalpolynom keine doppelte Nullstelle haben darf, währen im Buch von Falko Lorenz dass nicht so steht:
Ich würde einfach mal vermuten dass,(x+1) das Minimalpolynom ist.
Da das Charakterischtie Polynom komplett in Linearfaktoren zerfällt ist die Matrix also diagonalisierbar,
Liege ich richtig mit meinen Vermutungen und Behauptungen?
Die Eigenwerte sind 1, und -1.
Die Algebraische Vielfachheit des EW 1 = 3, die geometrische ist auch 3!
Die Algebraische Vielfachheit des EW -1 = 1, die geometrische ist auch 1!
Aus Aufgabenstellung:"(Vorsicht: Was passiert bei char(K)=2)"
Was kann man damit anfangen?
Danke für die Hilfe
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> Okay, ich habe das char Polynom berechnet:
>
> Det [mm]\pmat{ x-1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & x & -1 & 0 \\ 0 & -1 & x & 0 \\ 0 & 0 & 0 & x-1 }[/mm]
> = [mm](x-1)(x^3-x^2-x+1)[/mm]
>
> Jetzt habe ich Partialbruch gemacht um das Minimalpolynom
> zu finden; mit [mm](x^3-x^2-x+1)[/mm] : [mm](x+1)=x^2-2x+1[/mm]
>
> [mm]x^2-2x+1=(x-1)(x-1)[/mm]
>
> Also zerfällt das charakteristische Polynom in
> [mm](x-1)^3(x+1)[/mm]
>
> Was ist nun das Minimalpolynom,
Hallo,
dsa Minimalpolynom hat auf jeden Fall dieselben Nullstellen wie das charakteristische und es teilt das charakteristische Polynom, also hat es die Gestalt [mm] (x-1)^k(x+1).
[/mm]
Infrage kommen also (x-1)(x+1), [mm] (x-1)^2(x+1), (x-1)^3(x+1).
[/mm]
Welches es ist, erkennst Du, wenn Du die Matrix einsetzt. Dasjenige der Polynome, welches den kleinsten Grad hat und welches das Nullpolynom ergibt, wenn Du Deine Matrix einsetzt, ist's.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:06 Sa 31.01.2009 | | Autor: | Lorence |
Okay, danke für den Hinweis, aber wie setze ich es in die Matrix ein? oder wie du sagst; wie setze ich die Matrix in das Polynom ein?
Steht "X" für die Abbildungsmatrix? oder muss ich die Matrix ; (1n * X) -Abbildungsmatrix) benutzen?
Danke für die Hilfe Gruß
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Hallo nochmal,
> Okay, danke für den Hinweis, aber wie setze ich es in die
> Matrix ein? oder wie du sagst; wie setze ich die Matrix in
> das Polynom ein?
>
> Steht "X" für die Abbildungsmatrix? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ja!
Und zB. $x-1$ ist dann [mm] $A-1\cdot{}\mathbb{E}_4$ [/mm] ...
Und, wie gesagt, muss $p(A)=0$ (=Nullmatrix) ergeben
> oder muss ich die
> Matrix ; (1n * X) -Abbildungsmatrix) benutzen?
>
> Danke für die Hilfe Gruß
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:17 Sa 31.01.2009 | | Autor: | Lorence |
Okay, dann ist das Minimal Polynom also:
(x-1)(x+1)
weil:
[mm] (\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 &0 \\ 0 & 1 & 0 &0\\ 0 & 0 & 0 &1}- \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 &0 \\ 0 & 0 & 1 &0\\ 0 & 0 & 0 &1})(\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 &0 \\ 0 & 1 & 0 &0\\ 0 & 0 & 0 &1}+\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 &0 \\ 0 & 0 & 1 &0\\ 0 & 0 & 0 &1})
[/mm]
= O-Matrix
Cool, ich hoffe das Stimmt, danke für eure tolle Hilfe!
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Hallo Lorence,
> Okay, dann ist das Minimal Polynom also:
> (x-1)(x+1)
>
> weil:
>
> [mm](\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 &0 \\ 0 & 1 & 0 &0\\ 0 & 0 & 0 &1}- \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 &0 \\ 0 & 0 & 1 &0\\ 0 & 0 & 0 &1})(\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 &0 \\ 0 & 1 & 0 &0\\ 0 & 0 & 0 &1}+\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 &0 \\ 0 & 0 & 1 &0\\ 0 & 0 & 0 &1})[/mm]
>
>
> = O-Matrix
Das sieht gut aus!
>
> Cool, ich hoffe das Stimmt, danke für eure tolle Hilfe!
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:55 Sa 31.01.2009 | | Autor: | Lorence |
Diagonalisierbar ist die Matrix also oder?
- Dim Abbildung = 4 , das Char Polynoms hat auch 4 Nullstellen!!
- Das Minimalpolynom zerfällt in Linearfaktoren, kein Linearfaktor tritt zweimal auf!
- algebraische Vielfachheit und geometrische stimmen überein!
Gruß
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Hallo nochmal,
> Diagonalisierbar ist die Matrix also oder?
>
> - Dim Abbildung = 4 , das Char Polynoms hat auch 4
> Nullstellen!!
Was ist die Dimension einer Abbildung?
> - Das Minimalpolynom zerfällt in Linearfaktoren, kein
> Linearfaktor tritt zweimal auf!
> - algebraische Vielfachheit und geometrische stimmen
> überein!
Das stimmt zwar, hast du aber nicht gezeigt.
Du hast den Punkt 2 gezeigt, dass also das zu der im Ausgangspost definierten linearen Abbildung, nennen wir sie [mm] $\varphi$ [/mm] gehörige MiPo vollst. in verschiedene Linearfaktoren zerfällt.
Damit ist die Diagonalisierbarkeit von [mm] $\varphi$ [/mm] bzw. der zugeh. Abbildungsmatrix A schon gezeigt
>
> Gruß
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:31 Sa 31.01.2009 | | Autor: | Lorence |
Irgendwie ist das aber alles wiedersprüchlich:
In meinem Skript steht:
Die Abbildung [mm] \mu [/mm] ist genau dann diagonalisierbar wenn das charakteristische Polynom, n verschiedene Nullstellen hat!!!
In unserem beispiel sind es aber nur zwei verschiedene Nullstellen anstatt 4 !!!
Weiter steht:
- Die Abbildung [mm] \mu [/mm] ist genau dann diagonlisierbar wenn das Mini.Pol in Linearfaktoren zerfällt, die nur einmal vorkommen! Wie in unserem Beispiel dass der Fall ist.
Also was jetzt? Wir haben 2 Nullstellen und nicht 4 Stück, aber das Minimalpolynom zerfällt vollständig in Linearfaktoren!
Ist die Abbildung nun diagon.bar oder nicht?
Gruß und danke für die Auskunft
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Hallo nochmal,
> Irgendwie ist das aber alles wiedersprüchlich:
>
> In meinem Skript steht:
>
> Die Abbildung [mm]\mu[/mm] ist genau dann diagonalisierbar wenn das
> charakteristische Polynom, n verschiedene Nullstellen
> hat!!!
Das glaube ich nicht! Die Richtung [mm] $[\Rightarrow]$ [/mm] gilt nach dieser Aufgabe doch wohl kaum!
Es gilt doch eher:
[mm] $\mu$ [/mm] ist diagonalisierbar [mm] $\gdw$
[/mm]
(1) Das char. Polynom zerfällt vollst. in Linearfaktoren und
(2) Für jeden Eigenwert (=NST des char. Polynoms) gilt: Algebr. Vielfachheit = geometr. Vielfachheit
>
> In unserem beispiel sind es aber nur zwei verschiedene
> Nullstellen anstatt 4 !!!
>
> Weiter steht:
> - Die Abbildung [mm]\mu[/mm] ist genau dann diagonlisierbar wenn
> das Mini.Pol in Linearfaktoren zerfällt, die nur einmal
> vorkommen! Wie in unserem Beispiel dass der Fall ist.
Jo, das stimmt
>
>
> Also was jetzt? Wir haben 2 Nullstellen und nicht 4 Stück,
> aber das Minimalpolynom zerfällt vollständig in
> Linearfaktoren!
>
> Ist die Abbildung nun diagon.bar oder nicht?
Diejenige in dieser Aufgabe ist es, rechne doch zur Sicherheit mal die geometrische Vielfachheit zum Eigenwert 1 aus, also die Dimension des zu 1 geh. Eigenraumes, dann wirst du's sehen
>
>
> Gruß und danke für die Auskunft
>
Gerne
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:02 So 01.02.2009 | | Autor: | Lorence |
Ja alle Kriterien für die Diagonalisierbarkeit sind erfüllt nur eine nicht:
Für Endophismen gilt: "Die Abbildung ist genau dann diagonalisierbar wenn das charakteristische Polynom, n verschiedene Nullstellen hat!!! "
Das mit dem Endophismus hab ich übersehen vorher! Also was sagst du dazu?
Gruß
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Hallo nochmal,
> Ja alle Kriterien für die Diagonalisierbarkeit sind erfüllt
> nur eine nicht:
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Deine Abb. aus der Aufgabenstellung ist diagonalisierbar!
Hast du die geometrische VFH zum Eigenwert 1 mal ausgerechnet?
>
>
> Für Endophismen gilt: "Die Abbildung ist genau dann
> diagonalisierbar wenn das charakteristische Polynom, n
> verschiedene Nullstellen hat!!! "
Das ist doch schlichtweg falsch.
Das ist keine Äquivalenz, es gilt nur die Richtung [mm] $[\Leftarrow]$, [/mm] also
Wenn das char. Polynom n verschiedene NSTen hat, so ist die Abb. diagonalisierbar
Hier hast du einen Endo von [mm] $K^4$ [/mm] in sich, das zugehör. charakteristische Polynom zerfällt komplett in Linearfaktoren, hat aber nur 2 verschiedene NSTen.
Trotzdem ist der Endo diagonalisierbar.
Es gilt der Satz aus meinem anderen post!
>
> Das mit dem Endophismus hab ich übersehen vorher! Also was
> sagst du dazu?
Woher stammt der Satz?
>
> Gruß
>
>
>
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:31 So 01.02.2009 | | Autor: | Lorence |
Okay, der Satz steht in meinem Skript, ich Studiere in Mannheim.
Dann mal so rum:
Okay, wenn also mein char. Polynom n verschiedene Nullstellen hat, dann ist die Abbildung diagonalisierbar, da ja dann auch das Minimalpolynom komplett in linearfaktoren zerfällt, bzw. dass Charakteristische Polynom ist ja dann schon das Minimalpolynom und dass ist ja komplet in Linearfaktoren zerfallen,
Ich darf aber nicht sagen; dass wenn ein Char. Polynom nicht n verschiedene Nullstellen hat, dass die Abbildung dann nicht diagonalisierbar ist,
Ich glaube ich habs verstanden!
Danke für die Hilfe
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> Okay, der Satz steht in meinem Skript, ich Studiere in
> Mannheim.
Hallo,
dann ist das ein mannheimerscher Fehler.
>
> Dann mal so rum:
>
> Okay, wenn also mein char. Polynom n verschiedene
> Nullstellen hat, dann ist die Abbildung diagonalisierbar,
Ja.
> Ich darf aber nicht sagen; dass wenn ein Char. Polynom
> nicht n verschiedene Nullstellen hat, dass die Abbildung
> dann nicht diagonalisierbar ist,
Genau.
Gruß v. Angela
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
