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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:16 Mi 18.01.2012 | | Autor: | Philphil |
| Aufgabe | Die Abbildung L : [mm] \IR^4 \to \IR^3 [/mm] sei gegeben durch
L [mm] \vektor{x \\ y \\ z \\ w} [/mm] = [mm] \vektor{x+2y-2z+3w \\ 2x+4y-3z+4w \\ 5x+10y-8z+11w}.
[/mm]
a) Finden sie alle Lösungen des linearen Gleichungssystems
L [mm] \vektor{x \\ y \\ z \\ w } [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 5 \\ 12}
[/mm]
b) Ermitteln sie den kern der ABbildung L. Geben sie zwei verschiedene Basen von Kern(L) an.
c) Bestimmen sie die Dimension des Bildes von L und geben sie eine Basis von Bild(L) an. Finden sie zudem einen Vektor b, der nicht in Bild(L) liegt. |
Hallo,
ich weiß, dass ich im Moment noch eine andere offene Frage habe, aber ich muss glaub langsam Anfangen und erstmal diese hier lösen.
Mit der a) hatte ich keine Probleme, aber bei der b) gings schon wieder los. Bin mir wegen den Basen vom Kern nicht ganz sicher.
Ich dachte mir, ich kann doch einfach die Spalten nehmen und überprüfen ob sie linear unabhängig sind, und das sind dann meine Basen. z.B. hier Spalte 2 und 3 wären linear unabhängig. ist das richtig?
Dann hab ich mir aber gedacht, dass die Matrix von oben ja das Bild ist oder nicht?! Darum muss das doch anderst gehen...
Aber wie?!
Gruß Phil
Dank für eure Mühe
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moin Phil,
Als erstes würde ich dir raten die Abbildungsmatrix von L aufzustellen.
Wenn du diese hast, weißt du wie man den Kern einer Matrix berechnet?
Wenn nicht: Du musst das Gleichungssystem $Lx = 0$ lösen.
Die Menge aller Lösungen bildet dann einen Unterraum des [mm] $\IR^4$.
[/mm]
Wenn du davon eine Basis gefunden hast, dann ist es kein Problem eine andere Basis zu finden; einfach ein wenig mit der Basis rumspielen.^^
Das Bild der Abbildung ist einfach der Spaltenraum der Matrix L, also da hast du schon mehr oder minder Recht. ;)
Wenn du das schon weißt kannst du das Bild damit berechnen; wenn nicht würde ich dir raten das zu beweisen, ist mit einer kleinen Sammlung von Sätzen gar nicht all zu schwer.
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:49 Mi 18.01.2012 | | Autor: | Philphil |
Hey,
Danke für deine schnelle Antwort.
Lx hab ich auch schon gemacht, da komm ich dann auf
x+2y-2z+3w=0
-4y+2z-2w=0
-1z+2w=0
Dann hab ich w=s gemacht und dann komm ich auf den Vektor
Lx = [mm] \vektor{0 \\ 2 \\ 1 \\ 0} [/mm] + s * [mm] \vektor{0 \\ \bruch{1}{2} \\ 2 \\ 1} [/mm] (also ich hab den Vektor dann auseinander gezogen).
Kann ich jetzt sozusagen das mit s noch splitten in:
s * [mm] \vektor{0 \\ \bruch{1}{2} \\ 2 \\ 1} [/mm] = s * [mm] \vektor{0 \\ \bruch{1}{2} \\ 0 \\ 0} [/mm] + s * [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 2 \\ 0} [/mm] + s * [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
oder wie meinst du das mit dem mehr finden ist easy?
Gruß Phil
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Hmm, das Ergebnis ist noch nicht ganz richtig.
Erzähl mal, wie du auf deine Gleichungen da gekommen bist und überprüfe deine Rechnungen mal.
Als Tipp:
Der Kern hat die Form $s*v + t*w$ für zwei Vektoren $v,w$.
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:12 Do 19.01.2012 | | Autor: | Philphil |
Hey,
naja ich hab das LGS = 0 gesetzt und erstmal das Gauß verfahren angewedent. Da es 3 Gleichungen aber 4 unbekannte ist habe ich eine Variable ersetzt durch einen Parameter (s).
x + 2y -2z + 3w = 0
- 4y +2z - 2w = 0
- z + 2w = 0
dann krieg ich raus: w = s ; z = 2s ; y = [mm] \bruchs{1}{2} [/mm] s ; x = 0
Zumindest krieg ich das so raus :)
und dann hab ich daraus: s * [mm] \vektor{0 \\ \bruchs{1}{2} \\ 2 \\ 1 } [/mm]
Und da ich noch n zweiten brauch habe ich versucht den zu splitten aber ich glaub da wurds endgültig falsch ...
Gruß Phil
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:40 Do 19.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
deine 2te Gleichung ist falsch . wenn du -2*1.Z+2. Zeile rechnest habe ich 0*x*0*y+...
-5*1. Z+3.te Z
wieder 0'x+0*y+....
auch wenn ich deinen Vektor (s=1)in die 1. Gleichung einsetze erhalte ich : [mm] 12*2-2*2+3*1\ne0
[/mm]
so ne einfache Probe solltest du machen, am besten mit dem ursprünglichen System
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:35 Do 19.01.2012 | | Autor: | Philphil |
Hey,
tut mir leid, das Ergebnis war komplett falsch und ich habs nich verstanden weil ich mich verrechnet habe... :/ (Schon bei der Matrix)
Es sollte am Ende rauskommen: [mm] \pmat{1 & 2 & -2 & 3 \\ 0 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0} [/mm]
Das heißt, ich muss es abhängig von 2 variablen machen wodurch ich auch gleich 2 Basen habe... Es hat sich somit gekklärt...
Meine Basen sind [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 2 \\ 1} [/mm] und [mm] \vektor{-2 \\ 1 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Die Dimension sollte 2 sein, da es ja nur 2 nicht null Zeilen gibt.
Für den Vektor, welcher nicht im Bild sein soll habe ich einfach gesagt:
b = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 3} [/mm] Da wa für das LGS keine Lösung ergibt:
x + 2y - 2z + 3w = 0
0 + 0 + -z + 2w = 0
0 + 0 + 0 + 0 = 3
Kann das jemand überprüfen? :)
Danke schön.
Grüße von Phil
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Hallo Philphil,
> Hey,
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> tut mir leid, das Ergebnis war komplett falsch und ich habs
> nich verstanden weil ich mich verrechnet habe... :/ (Schon
> bei der Matrix)
>
> Es sollte am Ende rauskommen: [mm]\pmat{1 & 2 & -2 & 3 \\ 0 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0}[/mm]
>
> Das heißt, ich muss es abhängig von 2 variablen machen
> wodurch ich auch gleich 2 Basen habe... Es hat sich somit
> gekklärt...
>
> Meine Basen sind [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 2 \\ 1}[/mm] und [mm]\vektor{-2 \\ 1 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
> Die Dimension sollte 2 sein, da es ja nur 2 nicht null
> Zeilen gibt.
>
> Für den Vektor, welcher nicht im Bild sein soll habe ich
> einfach gesagt:
>
> b = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 3}[/mm] Da wa für das LGS keine Lösung
> ergibt:
>
> x + 2y - 2z + 3w = 0
>
> 0 + 0 + -z + 2w = 0
>
> 0 + 0 + 0 + 0 = 3
>
Stimmt alles. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Kann das jemand überprüfen? :)
>
> Danke schön.
>
> Grüße von Phil
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:00 Do 19.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast EINE Basis des Kerns, bestehend aus 2 Vektoren angegeben! es fehlt eine zweite Basis!
solltest du nicht auch eine basis des Bildes angeben?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:10 Do 19.01.2012 | | Autor: | Philphil |
Hey,
also sind die beiden Vektoren die ich hingeschrieben habe nur eine Basis?! Muss ich dann das gleiche nochmal machen in dem ich für 2 andere variablen parameter einsetzte?
Wie komme ich denn auf die Basis des Bildes? Kann ich da nich einfach den Vektor [mm] \vektor{2 \\ 5 \\ 12} [/mm] nehmen?
Gruß Phil
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Hallo Philphil,
> Hey,
>
> also sind die beiden Vektoren die ich hingeschrieben habe
> nur eine Basis?! Muss ich dann das gleiche nochmal machen
> in dem ich für 2 andere variablen parameter einsetzte?
Es sind 2 linear unabhängige Linearkombinationen der bisherigen Basisvektoren zu wählen.
> Wie komme ich denn auf die Basis des Bildes? Kann ich da
> nich einfach den Vektor [mm]\vektor{2 \\ 5 \\ 12}[/mm] nehmen?
>
Nein.
Bilde die Einheitsvektoren des [mm]\IR^{4}[/mm] ab,
und wähle daraus linear unabhängige Vektoren aus.
> Gruß Phil
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:50 Do 19.01.2012 | | Autor: | Philphil |
Hi,
Dann kann ich doch einfach vielfache von den vektoren nehmen die ich schon habe oder nicht?
Gruß Phil
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Hallo Philphil,
> Hi,
>
> Dann kann ich doch einfach vielfache von den vektoren
> nehmen die ich schon habe oder nicht?
>
Dann sind das nicht wirklich zwei verschiedene Basen.
> Gruß Phil
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:01 Do 19.01.2012 | | Autor: | Philphil |
Hallo,
ja das scheint ein Argument zu sein :D
Ich meld mich morgen wieder (nur ein wacher Kopf kann arbeiten)...
Gruß Phil
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:03 Fr 20.01.2012 | | Autor: | Philphil |
Hey,
Tut mir leid, aber ich verstehe nicht ganz wie und wo ich die 4 Vektoren des [mm] \IR^4 [/mm] abbilden soll. Könntest du das noch etwas spezifizieren?
Gruß Phil
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Hallo Philphil,
> Hey,
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> Tut mir leid, aber ich verstehe nicht ganz wie und wo ich
> die 4 Vektoren des [mm]\IR^4[/mm] abbilden soll. Könntest du das
> noch etwas spezifizieren?
>
Bilde [mm]L\pmat{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}, \ L\pmat{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0}, \ L\pmat{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0}, \ L\pmat{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
> Gruß Phil
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:49 Fr 20.01.2012 | | Autor: | Philphil |
Hey,
achso, mit der gegeben Gleichung erhalten wir:
für [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0} [/mm] den vektor [mm] \vektor [/mm] {1 [mm] \\ [/mm] 2 [mm] \\ [/mm] 5} und das für alle 4 und dann habe ich meine 2. Basis?!
Wenn man mal weis wies geht ist das doch schon alles einfacher als es am Anfang der Aufgabe schein.
Vielen Dank
Gruß Phil
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Hallo Philphil,
> Hey,
>
> achso, mit der gegeben Gleichung erhalten wir:
>
> für [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}[/mm] den vektor [mm]\vektor[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{1 [mm]\\[/mm] 2
> [mm]\\[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
5} und das für alle 4 und dann habe ich meine 2.
> Basis?!
>
Dann hast Du erstmal die 4 Bildvektoren.
Von den 4 Bildvektoren suchst Du
die diejenigen Vektoren heraus, die linear unabhängig sind.
Das ist dann eine Basis des Bildes.
> Wenn man mal weis wies geht ist das doch schon alles
> einfacher als es am Anfang der Aufgabe schein.
>
> Vielen Dank
>
> Gruß Phil
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:18 Fr 20.01.2012 | | Autor: | Philphil |
Hallo,
ja 2. Basis meinte ich :)
Zu dem 2. was noch gefehlt hat oben:
eine Basis des Bildes finde ich doch indem ich mir den gegebene Vektor für L anschaue:
[mm] \vektor{x+ 2y-2z+ 3w \\
2x+ 4y-3z+ 4w \\
5x+10y-8z+11w }
[/mm]
jede Spalte als Vektor schreibe und auf lineare unabhängigkeit prüfe. Richtig?!
Gruß Phil
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Hallo Philphil,
> Hallo,
>
> ja 2. Basis meinte ich :)
>
> Zu dem 2. was noch gefehlt hat oben:
>
> eine Basis des Bildes finde ich doch indem ich mir den
> gegebene Vektor für L anschaue:
> [mm]\vektor{x+ 2y-2z+ 3w \\
2x+ 4y-3z+ 4w \\
5x+10y-8z+11w }[/mm]
>
> jede Spalte als Vektor schreibe und auf lineare
> unabhängigkeit prüfe. Richtig?!
>
Ja.
> Gruß Phil
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:36 Sa 21.01.2012 | | Autor: | Philphil |
Hallo,
ich soll 2 Basen des Kerns angeben. Die eine Basis hab ich ja gefunden, aber wie findet man noch eine, die dazu verschieden ist?!
Sonst hätt ich einfach linearkombinationen aus den bekanntne genommen....
Gruß Phil
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:52 Sa 21.01.2012 | | Autor: | leduart |
hallo
hast du eine basis v1,v2
so kannst du z.bsp v1+v2, v1 oder 2v1+v2, v2 nehmen oder irgend 2 linearkombinationen von v1 und v2 sie lin. unabhängig sind.
Gruss leduart
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