Abbildung,Quotientenvektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Es sei K ein Körper und V ein K-Vekorraum. Weiter sei [mm] \nu \inEnd(V).
[/mm]
Weiter sei [mm] \pi:V \toV/Ker \nu, [/mm] x [mm] \to [/mm] x+Ker [mm] \nu.
[/mm]
Zeigen Sie: [mm] \pi \circ \gdw \nu²=\nu [/mm] |
Hallo allerseits, ich sitze mal wieder am Übungsblatt und komme nicht weiter. Es muss es einfach klar Lösung geben, aber ich komme nicht wirklich voran. Ich kann alles mögliche umschreiben, zum Beispiel weiß ich das [mm] V/Ker\nu [/mm] dem Bild vom [mm] \nu (Im\nu) [/mm] entspricht, aber wie zeige ich die geforderte Bedingung? Wenn mir jemand helden kann, wäre ich sehr dankbar, aber ich versuche weiter was zu finden.
Danke,
Sara
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:51 Di 24.01.2006 | | Autor: | Stefan |
Hallo Sara!
Bitte überprüfe die Aufgabenstellung.
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:27 Di 24.01.2006 | | Autor: | kampfsocke |
Ja, du hast recht, sie ist Falsch geschrieben. [mm] \nu [/mm] soll Element von End(V) sein. Also Element von Hom(V,V). Weiter ist [mm] \pi [/mm] :V [mm] \to [/mm] V/Ker [mm] \nu [/mm] und x [mm] \mapsto [/mm] x+Ker [mm] \nu.
[/mm]
Und ich soll zeigen das [mm] \pi \circ \nu \gdw \nu [/mm] ² = [mm] \nu.
[/mm]
Hoffe jetzt stimmt es.
Danke schon mal
|
|
|
| |
|
Hallo Sara,
also Deine Aufgabenstellung ist auch in der auf Anregung von Stefan hin korrigierten Version formal noch nicht korrekt.
Lass mich raten, was gemeint sein koennte:
[mm] v^2=v \:\:\Longleftrightarrow\:\: \pi [/mm] | [mm] im(v)\colon im(V)\to V\slash [/mm] kern(v) bijektiv
Probieren wir es:
[mm] ''\Rightarrow [/mm] '' Klar, denn nimm eine Klasse [mm] [x]_{kern(v)}, [/mm] dann ist ja [mm] v^2(x)=v(x),
[/mm]
also v(x-v(x))=0 und somit also per def. [mm] v(x)\in [x]_{kern(v)}. [/mm] Das zeigt Surjektivitaet.
Injektivitaet: Angenommen [mm] \pi(v(x))= [0]_{kern(v)}.
[/mm]
Wir muessen zeigen: v(x)=0.
Es ist [mm] v^2(x)=v(x). [/mm] Waere also [mm] v(x)\neq [/mm] 0, so koennte demnach auch nicht v(v(x))=0 sein,
also muss bereits v(x)=0 gelten.
[mm] ''\Leftarrow [/mm] " Betrachte [mm] x\in [/mm] V, wir wollen zeigen: [mm] v^2(x)=v(x).
[/mm]
Es ist [mm] v(x)\in [/mm] Im (v), und es gibt kein [mm] y\in [/mm] V mit [mm] v(x)\neq [/mm] v(y) und [mm] v^2(x)=v^2(y).
[/mm]
Wenn andererseits [mm] v^2(x)\neq [/mm] v(x) waere, so muesste es aber ein [mm] z\in [/mm] Im(v) geben
mit v(z-v(x))=0, d.h. ein [mm] y\neq [/mm] x mit v(y)=z und somit [mm] v^2(y)=v^2(x), [/mm] ein Widerspruch.
Also gilt [mm] v^2=v.
[/mm]
Viele Gruesse,
Mathias
|
|
|
|
