Abbildung R2x2->R2x2 < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Abbildung F: [mm] \IR^2^x^2 \to \IR^2^x^2 \pmat{ a & b \\ c & d }\mapsto \pmat{ a-b & b-c \\ c-d & a }
[/mm]
linear und Bijektiv ist. Wählen Sie ferner eine Basis B des [mm] \IR^2^x^2 [/mm] und bestimmen Sie die F darstellende Matrix [mm] M^B_B(F) [/mm] |
Hallo,
ich habe die Linearität gezeigt, indem ich zwei Abbildungen definiert für die gilt: F = G * H
mit H: [mm] \pmat{ a & b \\ c & d }\mapsto \vektor{a-b \\ b-c \\c-d \\a}
[/mm]
und G: [mm] \vektor{a \\ b \\c \\d}\mapsto\pmat{ a & b \\ c & d }
[/mm]
Ich hab dann gezeigt dass H und G linear sind und hab begründet das somit dann auch deren Komposition linear ist.
Für H hab ich dann die Standartinterpretations Matrix A aufgestellt mit der Kanonischen Basis.
Wenn ich anhand dieser beweise das G bijektiv ist, müsste das doch eigentlich auch schon beweisen das F bijektiv ist, oder?
Den es ist ja im Prinzip die gleiche Abbildung, nur anders dargestellt.
Wenn ich damit richtig liege, wie kann man das Sinvoll begründen (in einer Klausur)?
Die Matrix A die ich aufgestellt habe, ist ja [mm] M^B_B(G).
[/mm]
Wie kann ich aber [mm] M^B_B(F) [/mm] bestimmen?
Vielen Dank schonmal im Vorraus für alle Antworten!
gruß MatheFreak
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:00 Mo 09.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zeigen Sie, dass die Abbildung F: [mm]\IR^2^x^2 \to \IR^2^x^2 \pmat{ a & b \\ c & d }\mapsto \pmat{ a-b & b-c \\ c-d & a }[/mm]
>
> linear und Bijektiv ist. Wählen Sie ferner eine Basis B
> des [mm]\IR^2^x^2[/mm] und bestimmen Sie die F darstellende Matrix
> [mm]M^B_B(F)[/mm]
> Hallo,
>
> ich habe die Linearität gezeigt, indem ich zwei
> Abbildungen definiert für die gilt: F = G * H
> mit H: [mm]\pmat{ a & b \\ c & d }\mapsto \vektor{a-b \\ b-c \\c-d \\a}[/mm]
>
> und G: [mm]\vektor{a \\ b \\c \\d}\mapsto\pmat{ a & b \\ c & d }[/mm]
>
> Ich hab dann gezeigt dass H und G linear sind und hab
> begründet das somit dann auch deren Komposition linear
> ist.
>
> Für H hab ich dann die Standartinterpretations Matrix A
> aufgestellt mit der Kanonischen Basis.
> Wenn ich anhand dieser beweise das G bijektiv ist, müsste
> das doch eigentlich auch schon beweisen das F bijektiv ist,
> oder?
> Den es ist ja im Prinzip die gleiche Abbildung, nur anders
> dargestellt.
nur kurz dazu:
Nein, Du zeigst damit nicht, dass [mm] $F\,$ [/mm] bijektiv ist. Außerdem ist $G: [mm] \IR^4 \to \IR^{2 \times 2}$ [/mm] in ziemlich trivialer Weise bijektiv. Interessant bzgl. [mm] $F\,$ [/mm] wäre hier eher die Bijektivität von [mm] $H\,:$
[/mm]
Dann kann man argumentieren, dass Kompositionen surjektiver bzw. injektiver Abbildungen surjektiv bzw. injektiv sind, und daher ist dann auch [mm] $F\,$ [/mm] surjektiv und injektiv, also bijektiv.
Ich frage mich aber sowieso, wieso Du die Bijektivität von [mm] $F\,$ [/mm] auf solch' einem Umweg zeigst - nicht, dass es falsch wäre. Aber man kann sich auch einfach schnell klarmachen (und das geht auch ohne die Abbildung [mm] $G\,$), [/mm] dass die Familie
[mm] $$\left(\pmat{1 & 0\\0 & 0},\;\pmat{0 & 1\\0 & 0},\;\pmat{0 & 0\\1 & 0},\;\pmat{0 & 0\\0 & 1}\right)$$
[/mm]
eine Basis des [mm] $\IR^{2 \times 2}$ [/mm] bildet. (Zeige einfach, dass das ein minimales EZS des [mm] $\IR^{2 \times 2}$ [/mm] ist - oder dass die Elemente zusammen eine maximale linear unabhängige Teilmenge des [mm] $\IR^{2 \times 2}$ [/mm] bilden!)
Gruß,
Marcel
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Hallo,
danke für die schnelle Antwort!
> nur kurz dazu:
> Nein, Du zeigst damit nicht, dass [mm]F\,[/mm] bijektiv ist.
> Außerdem ist [mm]G: \IR^4 \to \IR^{2 \times 2}[/mm] in ziemlich
> trivialer Weise bijektiv. Interessant bzgl. [mm]F\,[/mm] wäre hier
> eher die Bijektivität von [mm]H\,:[/mm]
> Dann kann man argumentieren, dass Kompositionen
> surjektiver bzw. injektiver Abbildungen surjektiv bzw.
> injektiv sind, und daher ist dann auch [mm]F\,[/mm] surjektiv und
> injektiv, also bijektiv.
Hatte mich hier verschrieben. Ich meinte auch das man hier die Bijektivität von H zeigt (Die Bijektivität von G würde ich in der Tat als Trivial annehmen (genau wie auch die Linearität)).
> Ich frage mich aber sowieso, wieso Du die Bijektivität von
> [mm]F\,[/mm] auf solch' einem Umweg zeigst - nicht, dass es falsch
> wäre. Aber man kann sich auch einfach schnell klarmachen
> (und das geht auch ohne die Abbildung [mm]G\,[/mm]), dass die
> Familie
> [mm]\left(\pmat{1 & 0\\0 & 0},\;\pmat{0 & 1\\0 & 0},\;\pmat{0 & 0\\1 & 0},\;\pmat{0 & 0\\0 & 1}\right)[/mm]
>
> eine Basis des [mm]\IR^{2 \times 2}[/mm] bildet. (Zeige einfach,
> dass das ein minimales EZS des [mm]\IR^{2 \times 2}[/mm] ist - oder
> dass die Elemente zusammen eine maximale linear
> unabhängige Teilmenge des [mm]\IR^{2 \times 2}[/mm] bilden!)
>
> Gruß,
> Marcel
Ich fand es eigentlich nicht sehr umständlich, da ich ja über G und H auch einfach die Linearität von F zeigen konnte ging die Aufgabe doch ziemlich schnell.
Jedenfalls vielen Dank nochmal für deine Antwort.
Jetzt wäre nur noch die Frage mit dem [mm] M^B_B(F) [/mm] für mich von Großer bedeutung. Also für die Abbildung H ist es kein Problem diese Matrix zu bestimmen, aber da man bei F eine [mm] \IR^2^x^2 [/mm] Matrix rausbekommt und nicht wie z.B. bei H nur einen Vektor, bin ich da leider etwas überfordert.
Wäre toll wenn mir da nochmal jemand weiterhelfen könnte.
gruß
Mathefreak
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:05 Mo 09.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> danke für die schnelle Antwort!
>
> > nur kurz dazu:
> > Nein, Du zeigst damit nicht, dass [mm]F\,[/mm] bijektiv ist.
> > Außerdem ist [mm]G: \IR^4 \to \IR^{2 \times 2}[/mm] in ziemlich
> > trivialer Weise bijektiv. Interessant bzgl. [mm]F\,[/mm] wäre hier
> > eher die Bijektivität von [mm]H\,:[/mm]
> > Dann kann man argumentieren, dass Kompositionen
> > surjektiver bzw. injektiver Abbildungen surjektiv bzw.
> > injektiv sind, und daher ist dann auch [mm]F\,[/mm] surjektiv und
> > injektiv, also bijektiv.
>
> Hatte mich hier verschrieben. Ich meinte auch das man hier
> die Bijektivität von H zeigt (Die Bijektivität von G
> würde ich in der Tat als Trivial annehmen (genau wie auch
> die Linearität)).
>
>
> > Ich frage mich aber sowieso, wieso Du die Bijektivität von
> > [mm]F\,[/mm] auf solch' einem Umweg zeigst - nicht, dass es falsch
> > wäre. Aber man kann sich auch einfach schnell klarmachen
> > (und das geht auch ohne die Abbildung [mm]G\,[/mm]), dass die
> > Familie
> > [mm]\left(\pmat{1 & 0\\0 & 0},\;\pmat{0 & 1\\0 & 0},\;\pmat{0 & 0\\1 & 0},\;\pmat{0 & 0\\0 & 1}\right)[/mm]
>
> >
> > eine Basis des [mm]\IR^{2 \times 2}[/mm] bildet. (Zeige einfach,
> > dass das ein minimales EZS des [mm]\IR^{2 \times 2}[/mm] ist - oder
> > dass die Elemente zusammen eine maximale linear
> > unabhängige Teilmenge des [mm]\IR^{2 \times 2}[/mm] bilden!)
> >
> > Gruß,
> > Marcel
>
> Ich fand es eigentlich nicht sehr umständlich,
nein, das meinte ich auch nicht: Umwege müssen ja nicht immer umständlich sein. Aber es ist halt ein kleiner Umweg - und irgendwie änderst Du ja nicht viel an der ganzen Aufgabe. Im Prinzip, ist das, was Du machst, den [mm] $\IR^{2 \times 2}$ [/mm] mit dem [mm] $\IR^4$ [/mm] zu identifizieren - das geht eben z.B. wegen der von Dir genannten bijektiven linearen Abbildung!
> da ich ja
> über G und H auch einfach die Linearität von F zeigen
> konnte ging die Aufgabe doch ziemlich schnell.
Wie gesagt, ich denke, man hätte halt auch direkt mit dem [mm] $\IR^{2 \times 2}$ [/mm] arbeiten können.
> Jedenfalls vielen Dank nochmal für deine Antwort.
>
> Jetzt wäre nur noch die Frage mit dem [mm]M^B_B(F)[/mm] für mich
> von Großer bedeutung. Also für die Abbildung H ist es
> kein Problem diese Matrix zu bestimmen, aber da man bei F
> eine [mm]\IR^2^x^2[/mm] Matrix rausbekommt und nicht wie z.B. bei H
> nur einen Vektor, bin ich da leider etwas überfordert.
Das geht doch prinzipiell genauso. Die Matrizen des [mm] $\IR^{2 \times 2}$ [/mm] sind halt "die Vektoren". Schau' Dir mal genau die Sätze an mit Basistransformationen. Schlimmstenfalls machst Du das ganze auch wieder erstmal über den Umweg, indem Du eine [mm] $\IR^{2 \times 2}$-Matrix [/mm] als einen [mm] $\IR^4$-Spaltenvektor [/mm] ansiehst, und dann ist diese lineare Abbildung [mm] $\IR^{2 \times 2} \to \IR^{2 \times 2}$ [/mm] doch im Wesentlichen das gleiche wie die entsprechende lineare Abbildung [mm] $\IR^4 \to \IR^4\,.$
[/mm]
> Wäre toll wenn mir da nochmal jemand weiterhelfen
> könnte.
Ich müsste jetzt auch nochmal genau die Sätze in einem LA-Buch nachschlagen - das dauert mir zulange, das nun nochmal selbst zusammenzubasteln. Aber prinzipiell:
Das ganze basiert doch wirklich nur darauf, dass in einem (endlichdimensionalen) Vektorraum jeder Vektor sich in genau einer Weise als Linearkombination der Basisvektoren einer (fest gewählten) Basis darstellen läßt.
Und dann berechnet man die Bilder einzelner Basisvektoren etc.. Ist nicht schwer, nur kommt man schnell durcheinander: Und mein LA-Buch habe ich gerade nicht zur Hand.
Daher lasse ich die Frage mal weiterhin als halboffen stehen (normalerweise interessiert sich etwa Angela gerade für solche Aufgaben - vll. liest sie es ja ^^).
Gruß,
Marcel
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Ok, besten dank für die Hilfe.
Frage hat sich erledigt.
Viele Grüße
MatheFreak
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:14 Di 10.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ok, besten dank für die Hilfe.
>
> Frage hat sich erledigt.
>
> Viele Grüße
>
> MatheFreak
wenn Du magst, darfst Du auch gerne Deine Lösung noch präsentieren - wir schauen (sofern jmd. die Zeit hat) gerne nochmal drüber.
Und natürlich wären wenigstens stichwortartige Hinweise, wie Du auf die Lösung gekommen bist, hilfreich.
Falls Du das tust: Bitte erneut als Frage stellen, damit es nicht übersehen wird! Zwingen wird Dich allerdings niemand 
Gruß,
Marcel
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Hallo,
da ich morgen früh eine Klausur schreibe und ich denke das es eher unwahrscheinlich ist das eine derartige Aufgabe dran kommt, habe ich mich entschieden die Zeit lieber für wahrscheinlichere Aufgabentypen zu verwenden.
Ich habe also noch keine Lösung gefunden, habe aber auch (erstmal) nicht mehr vor weiter danach zu suchen.
gruß
MatheFreak
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