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Forum "Gruppe, Ring, Körper" - Abbildung Ringepimorphismus
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Abbildung Ringepimorphismus: Abbildung funktion finden Hom.
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:38 Fr 28.09.2012
Autor: nero08

Aufgabe
Zeigen Sie, dass die Abbildung [mm] $\varphi: \mathrm{Abb}( \mathbb [/mm] R, [mm] \mathbb [/mm] R) [mm] \to \mathbb [/mm] R$, definiert durch [mm] $\varphi(f)=f(2)$ [/mm] für $f [mm] \in \mathrm{Abb}( \mathbb [/mm] R, [mm] \mathbb [/mm] R)$, ein Ringepimorphismus ist.


hi!

das beispiel bereitet mir grße probleme und ich glaub es wäre sehr wichtig, dass ich es bis morgen habe zwecks klausur.

bis jetzt glaube ich dass ich eine funkio gefunde habe die sujektiv ist: x-2 + a=a

nun stehe ich vor dem Probem, dass ich den homomorphismus zeigen muss hier hänge ich leider :(

bitte um hilfe

lg

Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=501276

da es schon dringed ist muss ich leider doppelt posten, sorry

        
Bezug
Abbildung Ringepimorphismus: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:55 Fr 28.09.2012
Autor: angela.h.b.


> Zeigen Sie, dass die Abbildung [mm]\varphi: \mathrm{Abb}( \mathbb R, \mathbb R) \to \mathbb R[/mm],
> definiert durch [mm]\varphi(f)=f(2)[/mm] für [mm]f \in \mathrm{Abb}( \mathbb R, \mathbb R)[/mm],
> ein Ringepimorphismus ist.
>  
> hi!
>  
> das beispiel bereitet mir grße probleme

Hallo,

schauen wir erstmal die Abbildung [mm] \varphi [/mm] an.

Was tut sie?
Sie ordnet jeder Funktion, die aus em [mm] \IR [/mm] in den [mm] \IR [/mm] abbildet, ihren Funktionswert an der Stelle 2 zu.

Nehmen wir als Beispiele mal die Funktionen [mm] f,g,h:\IR^\to \IR [/mm] mit
f(x):=5
g(x):=sin(x)
[mm] h(x)=e^x+\pi. [/mm]

Es ist
[mm] \varphi(f)=f(2)=5, [/mm]
[mm] \varphi(g)=g(2)=sin(2), [/mm]
[mm] \varphi(h)=h(2)=e^2+\pi. [/mm]

Du sollst nun zeigen, daß dies ein Ringepimorphismus ist.

> bis jetzt glaube ich dass ich eine funkio gefunde habe die
> sujektiv ist: x-2 + a=a

Ich übersetze  den Quatsch, den Du schreibst, mal:
Du glaubst, eine Funktion f gefunden zu haben, mit welcher Du die  Surjektivität von [mm] \varphi [/mm] zeigen kannst, nämlich, indem Du für jeses [mm] a\in\IR [/mm] die durch [mm] f_a(x):=x-2+a [/mm] definierte Funktion betrachtest.

Schauen wir mal nach, ob das stimmt:
Um zu zeigen, daß [mm] \varphi [/mm] surjektiv ist, mußt Du zu jeem [mm] a\in \IR [/mm] eine Funktion [mm] f\in Abb(\IR,\IR) [/mm] liefern, so daß [mm] \varphi(f)=a. [/mm]

Sei also [mm] a\in \IR. [/mm]
Es ist [mm] \varphi(f_a)=f_a(2)=2-2+a=a. [/mm]

Juchu, klappt! Die Surjektivität ist gezeigt.

>  
> nun stehe ich vor dem Probem, dass ich den homomorphismus
> zeigen muss hier hänge ich leider :(

Dann schreibst Du jetzt sinnigerweise erstmal auf, was ein Ringhomomorphismus ist. Wie habt Ihr das definiert?
Ohne das  zu wissen, geht es ja nicht.

LG Angela



Bezug
                
Bezug
Abbildung Ringepimorphismus: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:26 Fr 28.09.2012
Autor: nero08

hi!

danke für die Antwort!

die tastatur spinnt ei wenig und ich glaub dank der späten Uhrzeit gestern fiel mir dies nicht mehr auf.

Also ein Ringhom. ist eine Abbildung  [mm] \varphi: \IR->\IR' [/mm] mit den Eigenschaften:
a,b [mm] \in \IR [/mm]
[mm] \varphi(a+b) [/mm] = [mm] \varphi(a) [/mm] + [mm] \varphi(b) [/mm] und [mm] \varphi(ab)=\varph(a)\varphi(b) [/mm]

[mm] \varphi(1R) [/mm] = [mm] \varphi(1R') [/mm]

wie gehe ich in disem fall vor? einfach für a und b meine funktion  einsetzten?

also [mm] \varphi(2x-4+2a) [/mm] = 2*2 -4 + 2a = 2a


[mm] \varphi(x-2+a) [/mm] + [mm] \varphi(x-2+a)= [/mm] a + a = 2a


okay also wären sie gleich? damit müsste die erste eigenschaft nachgewiesen sein?

zur zweiten:

hmm, was soll das Einselement sein? da weiß ich leider nicht wirklich weiter..

lg




Bezug
                        
Bezug
Abbildung Ringepimorphismus: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:29 Fr 28.09.2012
Autor: fred97


> hi!
>  
> danke für die Antwort!
>  
> die tastatur spinnt ei wenig und ich glaub dank der späten
> Uhrzeit gestern fiel mir dies nicht mehr auf.
>  
> Also ein Ringhom. ist eine Abbildung  [mm]\varphi: \IR->\IR'[/mm]
> mit den Eigenschaften:
>  a,b [mm]\in \IR[/mm]
>  [mm]\varphi(a+b)[/mm] = [mm]\varphi(a)[/mm] + [mm]\varphi(b)[/mm] und
> [mm]\varphi(ab)=\varph(a)\varphi(b)[/mm]
>  
> [mm]\varphi(1R)[/mm] = [mm]\varphi(1R')[/mm]

Ich nehme an, Du meinst mit [mm] \IR [/mm] und [mm] \IR' [/mm] zwei Ringe. Diese Bez. ist schlecht, denn [mm] \IR [/mm] ist für die Menge der reellen Zahlen reserviert.


>  
> wie gehe ich in disem fall vor? einfach für a und b meine
> funktion  einsetzten?
>  
> also [mm]\varphi(2x-4+2a)[/mm] = 2*2 -4 + 2a = 2a
>  
>
> [mm]\varphi(x-2+a)[/mm] + [mm]\varphi(x-2+a)=[/mm] a + a = 2a
>  
>
> okay also wären sie gleich? damit müsste die erste
> eigenschaft nachgewiesen sein?

Unsinn ! Für  $ f, g  [mm] \in \mathrm{Abb}( \mathbb [/mm] R, [mm] \mathbb [/mm] R) $ mußt Du zeigen:

   [mm] \varphi(f*g)=\varphi(f)*\varphi(g) [/mm]

    [mm] \varphi(f+g)=\varphi(f)+\varphi(g) [/mm]

FRED

>  
> zur zweiten:
>  
> hmm, was soll das Einselement sein? da weiß ich leider
> nicht wirklich weiter..
>  
> lg
>  
>
>  


Bezug
                                
Bezug
Abbildung Ringepimorphismus: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:43 Fr 28.09.2012
Autor: nero08

[mm] \varphi(f*g) [/mm] = (f*g)(2) = f(2) * g(2) = [mm] \varphi(f)* \varphi(g) [/mm]

so?  

das gleiche für +....

Bezug
                                        
Bezug
Abbildung Ringepimorphismus: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:47 Fr 28.09.2012
Autor: fred97


> [mm]\varphi(f*g)[/mm] = (f*g)(2) = f(2) * g(2) = [mm]\varphi(f)* \varphi(g)[/mm]
>  
> so?  
>
> das gleiche für +....

Ja

FRED


Bezug
                                                
Bezug
Abbildung Ringepimorphismus: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:55 Fr 28.09.2012
Autor: nero08

okay...

jetzt bleibt halt noch das Einselemnt:

was ist eigentlich das Einselemn der funtion?

es kommt ja immer f(2) heraus....

Bezug
                                                        
Bezug
Abbildung Ringepimorphismus: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:01 Fr 28.09.2012
Autor: fred97


> okay...
>  
> jetzt bleibt halt noch das Einselemnt:
>  
> was ist eigentlich das Einselemn der funtion?
>
> es kommt ja immer f(2) heraus....

Du suchst also das Einselement in [mm] \mathrm{Abb}(\IR, \IR) [/mm] .....

Nennen wirs mal [mm] f_1. [/mm] Dann gilt doch:

              [mm] f*f_1=f [/mm]    für alle f [mm] \in \mathrm{Abb}(\IR, \IR), [/mm]

also         [mm] $f(x)*f_1(x)=f(x)$ [/mm]  für alle f [mm] \in \mathrm{Abb}(\IR, \IR) [/mm] und alle $x [mm] \in \IR$. [/mm]

Na, welche Funktion [mm] f_1 [/mm] erfüllt das wohl ?

FRED


Bezug
                                                                
Bezug
Abbildung Ringepimorphismus: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:12 Fr 28.09.2012
Autor: nero08

naja eine die konstant auf 1 abbildet...

/varphi(f1) = f1(2) = 1

noch eine kleine zusatzfrage:

I = { [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR| [/mm] f(2) = 0 }

zz. [mm] ABB(\IR,\IR)/I \cong \IR [/mm] // Isomorph finde das richtige zeichen leider nicht.

nun ja ohne dieses I was den kern repreäsentiert bildet die funktion doch genau in die Bildmenge ab. reicht dies?

lg

Bezug
                                                                        
Bezug
Abbildung Ringepimorphismus: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:28 Fr 28.09.2012
Autor: fred97

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

> naja eine die konstant auf 1 abbildet...
>  
> /varphi(f1) = f1(2) = 1
>  
> noch eine kleine zusatzfrage:
>  
> I = { [mm]\IR[/mm] -> [mm]\IR|[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

f(2) = 0 }

>
> zz. [mm]ABB(\IR,\IR)/I \cong \IR[/mm] // Isomorph finde das richtige
> zeichen leider nicht.
>  
> nun ja ohne dieses I was den kern repreäsentiert bildet
> die funktion doch genau in die Bildmenge ab. reicht dies?
>  
> lg


Vielleicht meinst Du das Richtige, vielleicht aber auch nicht ...

Es ist [mm] I=kern(\varphi). [/mm]

Der Homomorphiesatz sagt nun:

     [mm] $Abb(\IR,\IR)/I$ [/mm] ist isomorph zu [mm] Bild(\varphi) [/mm]

Und [mm] Bild(\varphi)=? [/mm]

FRED

Bezug
                                                                                
Bezug
Abbildung Ringepimorphismus: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:36 Fr 28.09.2012
Autor: nero08

naja das im(/varphi) = /IR

haben wir ja vorher gezeigt, dass surj. herrscht also wird jedes Element in /IR getroffen.

lg

Bezug
                                                                                        
Bezug
Abbildung Ringepimorphismus: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:47 Fr 28.09.2012
Autor: fred97


> naja das im(/varphi) = /IR
>  
> haben wir ja vorher gezeigt, dass surj. herrscht also wird
> jedes Element in /IR getroffen.

Richtig

FRED

>
> lg


Bezug
                                                                                                
Bezug
Abbildung Ringepimorphismus: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:57 Fr 28.09.2012
Autor: nero08

danke für deine Hilfe!

lg

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