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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:25 Mi 22.02.2012 | | Autor: | Uzaku |
| Aufgabe | Es seien [mm]v_1, v_2, v_3, v_4[/mm] linear unabhängige Vektoren aus [mm] \IR ^4[/mm]
Zeigen sie, dass es genau eine lineare Abbildung [mm]f:\IR^4\to\IR^4[/mm] gibt, die [mm] f(v_1)=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, f(v_2)=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, f(v_3)=v_1, f(v_4)=v_2[/mm] erfüllt. Geben sie eine Basis für den Kern und eine Basis für das Bild von f an. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hi,
da ich jetzt schon öfters durch google auf dieser Seite gelandet bin, und die Antworten immer sehr gut waren, dachte ich mir, es wird Zeit selber mal eine Frage zu stellen :)
Also ich versuche natürlich obrige Aufgabe zu lösen, und stehe dabei ziemlich auf dem Schlauch.
Deswegen dachte ich mir, ich suche mir erst mal die Abbildung [mm]f[/mm] die ja irgendwie der Natur [mm]f(x)=Ax [/mm] sein muss.
Was mir klar ist, ist dass es eine 4x4 Matrix sein muss, die ich suche.
Also dachte ich mir, dass ich ähnlich wie damals in der Schule wenn man irgendwelche Funktionen gesucht hat, ein Gleichungssystem aufstellt.
[mm] A = \begin{pmatrix}
a & b & c & d \\
e & f & g & h \\
i & j & k & l \\
m & n & o& p
\end{pmatrix} [/mm] und [mm]
f(v_1) = A*v_1 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0\\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
usw. allerdings scheitert es daran, dass ich [mm]v_1 - v_4[/mm] ja gar nicht kenne, und selbst wenn das der Fall wäre, dann wäre es immer noch deutlich mehr Gerechne, als die Zeit die man für so eine Aufgabe wahrscheinlich brauchen sollte hergibt.
Deswegen muss es da einen anderen Weg geben, und ich habe leider nicht die leiseste Idee welchen.
Ich weiß, dass das nicht wirklich ein Lösungsansatz ist, aber mehr habe ich leider nicht :(
danke schon mal,
gruß Uzaku
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> Es seien [mm]v_1, v_2, v_3, v_4[/mm] linear unabhängige Vektoren
> aus [mm]\IR ^4[/mm]
> Zeigen sie, dass es genau eine lineare
> Abbildung [mm]f:\IR^4\to\IR^4[/mm] gibt, die [mm]f(v_1)=\begin{pmatrix} 0 \\
0 \\
0 \\
0 \end{pmatrix}, f(v_2)=\begin{pmatrix} 0 \\
0 \\
0 \\
0 \end{pmatrix}, f(v_3)=v_1, f(v_4)=v_2[/mm]
> erfüllt. Geben sie eine Basis für den Kern und eine Basis
> für das Bild von f an.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Deine Idee , die Darstellungsmatrix zu suchen, ist so übel nicht.
Allerdings ist mir nicht klar, wie Deine Vorkenntnisse bzgl der Darstellungsmatrizen sind bzw. sein sollten.
(Waren Darstellungsmatrizen bzgl verschiedener Basen schon dran?)
Deshalb schlage ich einen anderen Weg zur Lösung vor:
[mm] $v_1, v_2, v_3, v_4$ [/mm] linear unabhängige Vektoren aus dem [mm] $\IR [/mm] ^4$.
Also sind sie eine Basis.
Deshalb kannst Du jedes [mm] v\in \IR^4 [/mm] in eindeutiger Weise schreiben als [mm] v=a_1v_1+a_2v_2+a_3v_3+a_4v_4 [/mm] mit [mm] a_i\in \IR.
[/mm]
Nun suche die Funktionsgleichung f(v):=??? einer lineren Funktion f, welche die vorgegebenen Bedingungen erfüllt.
Bedenke dabei die Linearität.
Es muß für alle [mm] v=v=a_1v_1+a_2v_2+a_3v_3+a_4v_4 [/mm] gelten
[mm] f(v)=f(a_1v_1+a_2v_2+a_3v_3+a_4v_4)= [/mm] ... (Linearitätsbedingungen nutzen)
Anschließend muß man über die Eindeutigkeit nachdenken.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:16 Mi 22.02.2012 | | Autor: | Uzaku |
Hey,
danke für deine wirklich schnelle Antwort :)
Dank deinen Hinweisen, habe ich mir folgendes zusammen gereimt:
[mm] f(x) = f(a_1*v_1 + a_2 * v_2 + a_3 * v_3 + a_4 * v_4)[/mm]
also unter einsetzten der Linearitätsbedingungen:
[mm]f(x) = a_1 * f(v_1) + a_2 * f(v_2) + a_3 * f(v_3) + a_4 * f(v_4)[/mm]
was wenn ich die gegebenen Informationen einsetze zu
[mm]f(x) = a_3 * v_1 + a_4 * v_2[/mm]
wird. Weiter bin ich leider nicht gekommen, was die Abbildungsmatrix angeht.
Allerdings was die Aufgabenstellung betrifft glaube ich schon.
Ganz lösen kann ichs aber noch nicht.
[mm]v_1[/mm] und [mm]v_2[/mm] bilden auf den 0-Vector ab, also sind sie auf jeden Fall teil des Kerns von f. Außerdem sieht man ja an der letzten oben aufgeschriebenen Funktion, dass [mm]a_3 * v_1 + a_4 * v_2[/mm] Teil des Bildes von f sein müssen.
Dummerweise reichen Teile nicht aus, um eine Basis zu bilden. Und es ist mir auch nicht gelungen das x in der Gleichung unterzubringen.
Das wäre also das was mir noch fehlt um das ganze aufzulösen.
Tut mir Leid, falls ich mich gerade unglaublich dämlich anstelle :[
EDIT:
Was mir gerade noch aufgefallen ist, sind die as was könnten das quasi die Elemente von x sein?
Dementsprechend ein schritt weiter, wäre die Basis des Kerns eventuell [mm]\begin{pmatrix} x \\ y \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm] ?
EDIT 2:
Ok, ich glaube ich habe die Abbildugnsmatrix doch, mit Spaltenvektoren [mm] 0, 0, v_1, v_2[/mm]
Dementsprechend müsste das was ich oben als Teil des Bildes vermutet habe, ja das komplette Bild sein, oder?
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> Hey,
> danke für deine wirklich schnelle Antwort :)
> Dank deinen Hinweisen, habe ich mir folgendes zusammen
> gereimt:
>
> [mm]f(x) = f(a_1*v_1 + a_2 * v_2 + a_3 * v_3 + a_4 * v_4)[/mm]
>
> also unter einsetzten der Linearitätsbedingungen:
>
> [mm]f(x) = a_1 * f(v_1) + a_2 * f(v_2) + a_3 * f(v_3) + a_4 * f(v_4)[/mm]
>
> was wenn ich die gegebenen Informationen einsetze zu
>
> [mm]f(x) = a_3 * v_1 + a_4 * v_2[/mm]
Genau! Das ist die eindeutig bestimmte lineare Abbildung, die die geforderten Bedingungen erfüllt, womit der erste teil der Aufgabe erledigt ist.
Da [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] linear unabhängig sind, gilt nun
[mm] f(x)=0\Leftrightarrow a_3=a_4=0\Leftrightarrow x=a_1v_1+a_2v_2
[/mm]
Das bedeutet, dass [mm] \{v_1,v_2\} [/mm] eine Basis des Kerns ist.
Und wegen f(x) = [mm] a_3 [/mm] * [mm] v_1 [/mm] + [mm] a_4 [/mm] * [mm] v_2 [/mm] besteht das Bild von f aus allen Linearkombinationen von [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2, [/mm] also ist [mm] \{v_1,v_2\} [/mm] auch eine Basis des Bildes, d.h. Bild und Kern sind identisch.
>
> wird. Weiter bin ich leider nicht gekommen, was die
> Abbildungsmatrix angeht.
Um die Abbildungsmatrix (bezüglich der Standardbasis) zu berechnen, muss man die [mm] v_i [/mm] kennen (siehe unten).
> Allerdings was die Aufgabenstellung betrifft glaube ich
> schon.
> Ganz lösen kann ichs aber noch nicht.
> [mm]v_1[/mm] und [mm]v_2[/mm] bilden auf den 0-Vector ab, also sind sie auf
> jeden Fall teil des Kerns von f. Außerdem sieht man ja an
> der letzten oben aufgeschriebenen Funktion, dass [mm]a_3 * v_1 + a_4 * v_2[/mm]
> Teil des Bildes von f sein müssen.
> Dummerweise reichen Teile nicht aus, um eine Basis zu
> bilden. Und es ist mir auch nicht gelungen das x in der
> Gleichung unterzubringen.
> Das wäre also das was mir noch fehlt um das ganze
> aufzulösen.
> Tut mir Leid, falls ich mich gerade unglaublich dämlich
> anstelle :[
>
> EDIT:
> Was mir gerade noch aufgefallen ist, sind die as was
> könnten das quasi die Elemente von x sein?
>
> Dementsprechend ein schritt weiter, wäre die Basis des
> Kerns eventuell [mm]\begin{pmatrix} x \\ y \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
> ?
Das ergibt so keinen Sinn, auch wenn du vielleicht das richtige meinst
>
> EDIT 2:
> Ok, ich glaube ich habe die Abbildugnsmatrix doch, mit
> Spaltenvektoren [mm]0, 0, v_1, v_2[/mm]
> Dementsprechend müsste das was ich oben als Teil des
> Bildes vermutet habe, ja das komplette Bild sein, oder?
das komplette Bild ja (siehe oben), aber nicht die Abbildungsmatrix. Wenn du "deine" Matrix C nennst und B die Matrix mit den Spalten [mm] v_1,...,v_4 [/mm] ist, dann muss für die Abbildungsmatrix A gelten [mm] AB=C\Leftrightarrow A=CB^{-1}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:29 Mi 22.02.2012 | | Autor: | Uzaku |
Ok, dann habe ich das ganze jetzt verstanden, vielen dank :)
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Hallo,
mit
> [mm]f(x) = a_3 * v_1 + a_4 * v_2[/mm]
für [mm] x=a_1v_1+a_2v_2+a_3v_3+a_4v_4
[/mm]
ist eine Abbildung gefunden, die tut, was sie soll, wovon man sich durch Einsetzen überzeugen kann.
Die Existenz ist also gezeigt.
Ist auch klar, warum es keine zweite lineare Abbildung gibt, für die die Bedingungen ebenfalls gelten?
>
> wird. Weiter bin ich leider nicht gekommen, was die
> Abbildungsmatrix angeht.
Das mußt Du ja auch nicht unbedingt.
Wie gesagt weiß ich nicht, was zum Thema Abbildungsmatrizen dran war.
Die Abbildungsmatrix zur linearen Abbildung mit den vorgegebenen Bedingungen bzgl der Basis [mm] B:=(v_1, v_2, v_3, v_4) [/mm] ist [mm] _BM(f)_B=\pmat{0&0&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0}.
[/mm]
LG Angela
> Allerdings was die Aufgabenstellung betrifft glaube ich
> schon.
> Ganz lösen kann ichs aber noch nicht.
> [mm]v_1[/mm] und [mm]v_2[/mm] bilden auf den 0-Vector ab, also sind sie auf
> jeden Fall teil des Kerns von f. Außerdem sieht man ja an
> der letzten oben aufgeschriebenen Funktion, dass [mm]a_3 * v_1 + a_4 * v_2[/mm]
> Teil des Bildes von f sein müssen.
> Dummerweise reichen Teile nicht aus, um eine Basis zu
> bilden. Und es ist mir auch nicht gelungen das x in der
> Gleichung unterzubringen.
> Das wäre also das was mir noch fehlt um das ganze
> aufzulösen.
> Tut mir Leid, falls ich mich gerade unglaublich dämlich
> anstelle :[
>
> EDIT:
> Was mir gerade noch aufgefallen ist, sind die as was
> könnten das quasi die Elemente von x sein?
>
> Dementsprechend ein schritt weiter, wäre die Basis des
> Kerns eventuell [mm]\begin{pmatrix} x \\
y \\
0 \\
0 \end{pmatrix}[/mm]
> ?
>
> EDIT 2:
> Ok, ich glaube ich habe die Abbildugnsmatrix doch, mit
> Spaltenvektoren [mm]0, 0, v_1, v_2[/mm]
> Dementsprechend müsste das was ich oben als Teil des
> Bildes vermutet habe, ja das komplette Bild sein, oder?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:08 Do 23.02.2012 | | Autor: | donquijote |
>
> Hallo,
>
> mit
> > [mm]f(x) = a_3 * v_1 + a_4 * v_2[/mm]
> für
> [mm]x=a_1v_1+a_2v_2+a_3v_3+a_4v_4[/mm][/b]
>
> ist eine Abbildung gefunden, die tut, was sie soll, wovon
> man sich durch Einsetzen überzeugen kann.
> Die Existenz ist also gezeigt.
>
> Ist auch klar, warum es keine zweite lineare Abbildung
> gibt, für die die Bedingungen ebenfalls gelten?
>
Uzaku hat doch geschrieben, dass aus der Linearität mit der Darstellung [mm] x=a_1v_1+...+a_4v_4 [/mm] folgt
[mm] f(x)=a_1f(v_1)+...+a_4f(v_4)=a_3v_1+a_4v_2
[/mm]
Damit ist die Eindeutigkeit klar.
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