Abbildung lokal injektiv < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe mal wieder eine Aufgabe wo man Injektivität zeigen muss. Ist aber wieder etwas anders als alle anderen. Vielleicht kann mir jemand helfen.
Seien U{(u,v) [mm] \in \IR^2|u>v} [/mm] eine Teilmenge von [mm] \IR^2 [/mm] und T:U [mm] \to \IR^2 [/mm] eine Abbildung definiert durch [mm] T(u,v)=(u+v,u^2+v^2). [/mm] Zeige dass T lokal injektiv ist.
Welche "Voraussetzungen" muss ich zeigen? Wenn ich mir das in Ruhe anschaue, sieht die Aufgabenstellung nur auf den ersten Blick schwer aus. Dadurch dass u>v ist, ist die Funktion ja immer positiv.
Aber was muss ich zeigen?
Vielen lieben dank!!
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Hallo!
Ich denke, dass folgendes der richtige Ansatz ist: Lokal injektiv bedeutet ja, dass es von jedem Punkt [mm] $(u_0,v_0)\in [/mm] U$ eine Umgebung gibt, in der $T$ injektiv ist. Dazu reicht es zu zeigen, dass die Ableitung von $T$ im Punkt [mm] $(u_0,v_0)$ [/mm] invertierbar ist.
Also: [mm] $\det DT(u_0,v_0)\ne [/mm] 0$...
Gruß, banachella
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Hallo banachella,
danke für den Tipp.
Ich muss die Ableitung jeweils nach u und v machen oder?
Und ich habe ja u+v und [mm] u^2+v^2. [/mm] Wie muss ich damit umgehen? Die sind ja in T "getrennt".
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Hallo!
> Ich muss die Ableitung jeweils nach u und v machen oder?
Genau!
> Und ich habe ja u+v und [mm]u^2+v^2.[/mm] Wie muss ich damit
> umgehen? Die sind ja in T "getrennt".
Betrachte $T$ komponentenweise: $T(u,v)= [mm] \vektor{T_1(u,v)\\T_2(u,v)}$.
[/mm]
Dann bekommst du eine Ableitungsmatrix: [mm] $DT(u,v)=\pmat{\bruch{\partial}{\partial u} T_1(u,v)&\bruch{\partial}{\partial v} T_1(u,v)\\\bruch{\partial}{\partial u} T_2(u,v)&\bruch{\partial}{\partial v} T_2(u,v)}$.
[/mm]
Gruß, banachella
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Danke!
Also ich habe es jetzt so gemacht/versucht.
[mm] T_{1}:=u+v
[/mm]
[mm] T_{2}:=u^2+v^2
[/mm]
[mm] \bruch{\partial}{\partial u}T_{1}(u,v)=1
[/mm]
[mm] \bruch{\partial}{\partial v}T_{1}(u,v)=1
[/mm]
[mm] \bruch{\partial}{\partial u}T_{2}(u,v)=2u
[/mm]
[mm] \bruch{\partial}{\partial v}T_{2}(u,v)=2v
[/mm]
Dann habe ich die Matrix
$ [mm] DT(u,v)=\pmat{\bruch{\partial}{\partial u} T_1(u,v)&\bruch{\partial}{\partial v} T_1(u,v)\\\bruch{\partial}{\partial u} T_2(u,v)&\bruch{\partial}{\partial v} T_2(u,v)} [/mm] $
= [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 2u & 2v }
[/mm]
Die Determinante berechnet man ja so, oder?
[mm] \det DT(u_0,v_0)=1*1-2u*2v=1-4uv=1-4*0*0=1\ne0
[/mm]
So richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:07 Mi 08.06.2005 | | Autor: | R4ph43l |
> Danke!
>
> Also ich habe es jetzt so gemacht/versucht.
>
> [mm]T_{1}:=u+v[/mm]
> [mm]T_{2}:=u^2+v^2[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial}{\partial u}T_{1}(u,v)=1[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial}{\partial v}T_{1}(u,v)=1[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial}{\partial u}T_{2}(u,v)=2u[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial}{\partial v}T_{2}(u,v)=2v[/mm]
>
> Dann habe ich die Matrix
> [mm]DT(u,v)=\pmat{\bruch{\partial}{\partial u} T_1(u,v)&\bruch{\partial}{\partial v} T_1(u,v)\\\bruch{\partial}{\partial u} T_2(u,v)&\bruch{\partial}{\partial v} T_2(u,v)}[/mm]
>
> = [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ 2u & 2v }[/mm]
>
Bis hierher alles ok.
> Die Determinante berechnet man ja so, oder?
> [mm]\det DT(u_0,v_0)=1*1-2u*2v=1-4uv=1-4*0*0=1\ne0[/mm]
>
> So richtig?
Nicht ganz, erstmal ist die Determinante einer 2x2 Matrix A = [mm]\pmat{ a & b \\ c & d }[/mm] so definiert: [mm] \det [/mm] A = a*d - c*b
Sprich in deinem Fall ist die Determinante 2v - 2u.
Ausserdem hast du anscheinend für [mm] u_0 [/mm] und [mm] v_0 [/mm] jeweils 0 eingesetzt, dann wäre die Funktion aber nur im Ursprung lokal injektiv. Du sollst es aber für alle [mm] u_0 [/mm] und [mm] v_0 [/mm] zeigen (das 0 ist da ja nur ein Index der klarmachen soll, dass du dir jetzt ein bestimmtes paar u und v aussuchst).
Das ist aber durch die Voraussetzung u > v einfach, da damit die Determinante 2v - 2u < 0 ist für alle u,v und damit die Bedingung erfüllt.
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hallo R4ph43l,
danke auch dir für den Hinweis!!
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