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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:12 Di 17.05.2011 | | Autor: | chesn |
| Aufgabe | Im unitären Vektorraum [mm] \IC^4 [/mm] (mit dem Standartskalarprodukt) sei der Endomorphismus [mm] \phi [/mm] durch die Abbildungsmatrix A bezüglich der Standartbasis gegeben:
A = [mm] \bruch{1}{9}\pmat{ -4+5i & -4-4i & 0 & -2-2i \\ -4-4i & -5+4i & -2-2i & 0 \\ 0 & -2-2i & -4+5i & 4+4i \\ -2-2i & 0 & 4+4i & -5+4i}
[/mm]
(a) Zeige, dass [mm] \phi [/mm] normal ist. |
Hallo! Wäre nett wenn mir jemand helfen könnte..
Eine Matrix A heißt normal, wenn sie mit ihrer komplex konjugierten Transponierten (hermitesch Adjungierten) kommutiert, [mm] A^{\dagger}A=AA^{\dagger}
[/mm]
Gegeben habe ich:
A = [mm] \bruch{1}{9}\pmat{ -4+5i & -4-4i & 0 & -2-2i \\ -4-4i & -5+4i & -2-2i & 0 \\ 0 & -2-2i & -4+5i & 4+4i \\ -2-2i & 0 & 4+4i & -5+4i} \Rightarrow A^{\dagger} [/mm] = [mm] \bruch{1}{9}\pmat{ -2+2i & 0 & 4-4i & -5-4i \\ 0 & -2+2i & -4-5i & 4-4i \\ -4+4i & -5-4i & -2+2i & 0 \\ -4-5i & -4+4i & 0 & -2+2i}
[/mm]
Zeigen muss ich nun: [mm] A^{\dagger}*A=A*A^{\dagger}
[/mm]
[mm] A^{\dagger}*A=\bruch{1}{81}*\pmat{ -2+2i & 0 & 4-4i & -5-4i \\ 0 & -2+2i & -4-5i & 4-4i \\ -4+4i & -5-4i & -2+2i & 0 \\ -4-5i & -4+4i & 0 & -2+2i}*\pmat{ -4+5i & -4-4i & 0 & -2-2i \\ -4-4i & -5+4i & -2-2i & 0 \\ 0 & -2-2i & -4+5i & 4+4i \\ -2-2i & 0 & 4+4i & -5+4i}=(...)=\bruch{1}{81}*\pmat{0&0&0&81 \\ 0&0&81&0 \\ 0&81&0&0 \\ 81&0&0&0}
[/mm]
[mm] A*A^{\dagger}=\bruch{1}{81}*\pmat{ -4+5i & -4-4i & 0 & -2-2i \\ -4-4i & -5+4i & -2-2i & 0 \\ 0 & -2-2i & -4+5i & 4+4i \\ -2-2i & 0 & 4+4i & -5+4i}*\pmat{ -2+2i & 0 & 4-4i & -5-4i \\ 0 & -2+2i & -4-5i & 4-4i \\ -4+4i & -5-4i & -2+2i & 0 \\ -4-5i & -4+4i & 0 & -2+2i}= [/mm] (*)
(*) Hier habe ich ein Problem: Die Einträge, die in [mm] A^{\dagger}*A [/mm] null wurden, werden das in [mm] A*A^{\dagger} [/mm] bei mir nicht.
Sieht jemand meinen Fehler? Um z.z. dass [mm] \phi [/mm] normal ist, müssten diese Einträge ja null werden.
Aber es gilt ja für [mm] A*A^{\dagger} [/mm] schon z.B.: [mm] a_{11}=(-4+5i)(-2+2i)+(-2-2i)(-4-5i)=(-2-18i)+(-2+18i)=-4 \not=0
[/mm]
Vielen Dank für Eure Hilfe! :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:19 Di 17.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Im unitären Vektorraum [mm]\IC^4[/mm] (mit dem
> Standartskalarprodukt) sei der Endomorphismus [mm]\phi[/mm] durch
> die Abbildungsmatrix A bezüglich der Standartbasis
> gegeben:
Standard ! nicht Standart.
>
> A = [mm]\bruch{1}{9}\pmat{ -4+5i & -4-4i & 0 & -2-2i \\ -4-4i & -5+4i & -2-2i & 0 \\ 0 & -2-2i & -4+5i & 4+4i \\ -2-2i & 0 & 4+4i & -5+4i}[/mm]
>
> (a) Zeige, dass [mm]\phi[/mm] normal ist.
> Hallo! Wäre nett wenn mir jemand helfen könnte..
>
>
> Eine Matrix A heißt normal, wenn sie mit ihrer komplex
> konjugierten Transponierten (hermitesch Adjungierten)
> kommutiert, [mm]A^{\dagger}A=AA^{\dagger}[/mm]
Da fehlt noch was: [mm]A^{\dagger}A=AA^{\dagger}=E[/mm] (E = Einheitsmatrix)
Du mußt also nur zeigen: [mm]AA^{\dagger}=E[/mm] (warum ?)
>
> Gegeben habe ich:
>
> A = [mm]\bruch{1}{9}\pmat{ -4+5i & -4-4i & 0 & -2-2i \\ -4-4i & -5+4i & -2-2i & 0 \\ 0 & -2-2i & -4+5i & 4+4i \\ -2-2i & 0 & 4+4i & -5+4i} \Rightarrow A^{\dagger}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{9}\pmat{ -2+2i & 0 & 4-4i & -5-4i \\ 0 & -2+2i & -4-5i & 4-4i \\ -4+4i & -5-4i & -2+2i & 0 \\ -4-5i & -4+4i & 0 & -2+2i}[/mm]
Aua !! Kannst Du mir mal verraten, wie Du auf obiges [mm] A^{\dagger} [/mm] kommst ? Das ist ja völlig falsch.
FRED
>
> Zeigen muss ich nun: [mm]A^{\dagger}*A=A*A^{\dagger}[/mm]
>
> [mm]A^{\dagger}*A=\bruch{1}{81}*\pmat{ -2+2i & 0 & 4-4i & -5-4i \\ 0 & -2+2i & -4-5i & 4-4i \\ -4+4i & -5-4i & -2+2i & 0 \\ -4-5i & -4+4i & 0 & -2+2i}*\pmat{ -4+5i & -4-4i & 0 & -2-2i \\ -4-4i & -5+4i & -2-2i & 0 \\ 0 & -2-2i & -4+5i & 4+4i \\ -2-2i & 0 & 4+4i & -5+4i}=(...)=\bruch{1}{81}*\pmat{0&0&0&81 \\ 0&0&81&0 \\ 0&81&0&0 \\ 81&0&0&0}[/mm]
>
> [mm]A*A^{\dagger}=\bruch{1}{81}*\pmat{ -4+5i & -4-4i & 0 & -2-2i \\ -4-4i & -5+4i & -2-2i & 0 \\ 0 & -2-2i & -4+5i & 4+4i \\ -2-2i & 0 & 4+4i & -5+4i}*\pmat{ -2+2i & 0 & 4-4i & -5-4i \\ 0 & -2+2i & -4-5i & 4-4i \\ -4+4i & -5-4i & -2+2i & 0 \\ -4-5i & -4+4i & 0 & -2+2i}=[/mm]
> (*)
>
> (*) Hier habe ich ein Problem: Die Einträge, die in
> [mm]A^{\dagger}*A[/mm] null wurden, werden das in [mm]A*A^{\dagger}[/mm] bei
> mir nicht.
>
> Sieht jemand meinen Fehler? Um z.z. dass [mm]\phi[/mm] normal ist,
> müssten diese Einträge ja null werden.
> Aber es gilt ja für [mm]A*A^{\dagger}[/mm] schon z.B.:
> [mm]a_{11}=(-4+5i)(-2+2i)+(-2-2i)(-4-5i)=(-2-18i)+(-2+18i)=-4 \not=0[/mm]
>
> Vielen Dank für Eure Hilfe! :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:39 Di 17.05.2011 | | Autor: | chesn |
Hallo!
Habe gerade selbst gemerkt, dass ich komplett falsch transponiert habe.
Vielen Dank für den Hinweis!
Gruß
chesn
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