Abbildung: surjektiv/injektiv? < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:33 Mo 21.11.2005 | | Autor: | Leoric |
Hi @ll,
folgende Aufgabe bereitet mir mal wieder Kopfzerbrechen (immer diese doofen Mengen ^_^):
Es sei 6 [mm] \IN [/mm] = { 0, 6, 12, 18, ... }
1. Zeigen Sie, daß die Abbildung f: [mm] \IN \to \IN [/mm] , x [mm] \to x^{3} [/mm] - x NICHT injektiv ist und daß das Bild von f eine Teilmenge von 6 [mm] \IN [/mm] ist.
2. Zeigen Sie, daß die Abbildung g: [mm] \IN [/mm] \ {0} [mm] \to [/mm] 6 [mm] \IN, [/mm] x [mm] \to x^{3} [/mm] - x nicht surjektiv, aber injektiv ist.
Hinweis: [mm] x^{3} [/mm] - [mm] y^{3} [/mm] = (x-y)( [mm] x^{2} [/mm] + xy + [mm] y^{2} [/mm] )
Vielleicht könnt ihr mir ja auf die Sprünge helfen.
Danke,
Leoric
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:11 Mo 21.11.2005 | | Autor: | SEcki |
> 1. Zeigen Sie, daß die Abbildung f: [mm]\IN \to \IN[/mm] , x [mm]\to x^{3}[/mm]
> - x NICHT injektiv ist
Tja, dann probier doch mal die ersten paar durch ...
> und daß das Bild von f eine
> Teilmenge von 6 [mm]\IN[/mm] ist.
[m]x^3-x=(x^2-1)*x=(x+1)(x-1)*x[/m]
> 2. Zeigen Sie, daß die Abbildung g: [mm]\IN[/mm] \ {0} [mm]\to[/mm] 6 [mm]\IN,[/mm] x
> [mm]\to x^{3}[/mm] - x nicht surjektiv, aber injektiv ist.
Zeige: die Funktion ist monoton, also aus [m]x
> Hinweis: [mm]x^{3}[/mm] - [mm]y^{3}[/mm] = (x-y)( [mm]x^{2}[/mm] + xy + [mm]y^{2}[/mm] )
Komischer Hinweis.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:37 Mo 21.11.2005 | | Autor: | Leoric |
Hallo SEcki,
also den Beweis der Nichtinjektivität habe ich nach ein bißchen Probieren allein hinbekommmen. War gar nicht so schwer.
Deine Formel für den Beweis, daß das Bild fon f eine Teilmenge von 6N ist, habe ich aber noch nicht so ganz verstanden.
Und von Monotonie in Bezug auf Surjektivität/Injektivität habe ich auch noch nie etwas gehört. Vielleicht sollte ich mal im Internet danach suchen.
Auf alle Fälle schon mal Danke für deine Bemühungen.
Tschüssie,
Leoric
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:07 Mo 21.11.2005 | | Autor: | SEcki |
> Deine Formel für den Beweis, daß das Bild fon f eine
> Teilmenge von 6N ist, habe ich aber noch nicht so ganz
> verstanden.
Das ist ja kein Beweis - du sollst aus der Formel folgern, das die Zahlen aus dem Bild durch 6 teilbar sind, das ist ja genau deine Menge - die Zahlen, die durch 6 teilbar sind.
> Und von Monotonie in Bezug auf Surjektivität/Injektivität
> habe ich auch noch nie etwas gehört. Vielleicht sollte ich
> mal im Internet danach suchen.
Wenn eine Funkltion streng monoton ist, dann ist sie injektiv. Zum anderen: wenn die monotoen Funktion surjektiv sein sollte, so gibt es demnacvh nur eine begranzte anzahl an Urbildern - ich meine: wenn man einm,al zu hoch ist, kommt man nicht wider drunter.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:27 Mo 28.11.2005 | | Autor: | Leoric |
Hi,
du hast mich auf den richtigen Weg gebracht. Monotonie war das Stichwort nach dem ich gesucht habe. Von dort an war es dann einfacher als ich dachte. Danke !
Leoric
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