Abbildung und Bijektivität < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
ich habe diese Frage in keinem Forum auf einer anderen Internetseite gestellt.
Zeigen sie das folgende Abbildung:
f : ℕ0 ×ℕ0 ∋ (k; l) →k + (1/2)(k + l)(k + l + 1) ∋ ℕ0
bijektiv ist.
Da ich nur die Definitionen gelernt habe ist mir unklar wie ich dies zeigen soll
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:50 Fr 25.10.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> ich habe diese Frage in keinem Forum auf einer anderen
> Internetseite gestellt.
> Zeigen sie das folgende Abbildung:
>
> f : ℕ0 ×ℕ0 ∋ (k; l) →k + (1/2)(k + l)(k + l + 1)
> ∋ ℕ0
>
> bijektiv ist.
>
>
> Da ich nur die Definitionen gelernt habe ist mir unklar wie
> ich dies zeigen soll
Du musst hier zeigen, dass die Funktion injektiv und surjektiv ist.
Injektiv bedeutet, dass keine zwei Elemente aus der Definitionsmenge auf dieselbe Zahl der Wertemenge abgebildet werden..
Hier ist die Definitionsmenge ja ein Wertepaar aus [mm] \IN_{0}\times\IN_{0}
[/mm]
Nimm dir also vier Wertepaare her, also [mm] (k_{1};l_{1}), (k_{2};l_{1}), (k_{1};l_{2}) [/mm] und [mm] (k_{2};l_{2}) [/mm] mit [mm] k_{1}\ne k_{2} [/mm] und [mm] l_{1}\ne l_{2} [/mm] und zeige, dass diese auf verschiedene Punkte abgebildet werden.
Außerdem solltest du noch erwähnen, das im Bildbereich einer der Faktoren (k+l) oder ((k+l)+1) gerade sein muss, so dass die Multiplikation mit [mm] \frac{1}{2} [/mm] immer noch ein Ergebnis aus [mm] \IN_{0} [/mm] ergibt.
Danach versuche mal die Surjektivität zu zeigen, also dass es zu jeder natürlichen Zahl n (mindestens) ein Wertepaar (k;l) gibt, so dass [mm] \frac{1}{2}(k+l)((k+l)+1)=n
[/mm]
Multipliziere dazu am besten beide Seiten dieser Gleichung erstmal mit 2, und überlege dann, dass einer der beiden Faktoren auf der linken Seite definitiv Gerade sein muss, ein anderer muss ungerade sein. Überlege dann, was ein Produkt aus einem geraden Faktor und einem ungeraden Faktor ergibt.
Bedenke, du musst das Wertepaar nicht konkret angeben, nur zeigen, dass es ein solches gibt.
Marius
|
|
|
| |
|
erstmal: Vielen Lieben Dank für die Antwort 
ich habe noch einige Rückfragen und hoffe sie können mir helfen:
1. Wie kann ich zeigen das ein Wertepaar auf verschiedenen Punkten abgebildet werden kann? ( Muss ich hier Zahlen einsetzten?)
2. Wieso gibt nur die Multiplikation mit 1/2 ein Ergebniss aus N0?
3. zur Surjektivität: bis zur Multiplikation mit 2 komm ich mit. mir ist jedoch unklar was das ganze mit gerade und ungerade zu tuen hat. können sie das vielleicht erläutern
Danke
Robin
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:12 Fr 25.10.2013 | | Autor: | Robin1990 |
erstmal: Vielen Lieben Dank für die Antwort
ich habe noch einige Rückfragen und hoffe sie können mir helfen:
1. Wie kann ich zeigen das ein Wertepaar auf verschiedenen Punkten abgebildet werden kann? ( Muss ich hier Zahlen einsetzten?)
2. Wieso gibt nur die Multiplikation mit 1/2 ein Ergebniss aus N0?
3. zur Surjektivität: bis zur Multiplikation mit 2 komm ich mit. mir ist jedoch unklar was das ganze mit gerade und ungerade zu tuen hat. können sie das vielleicht erläutern
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:32 Fr 25.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> ich habe noch einige Rückfragen und hoffe sie können mir
> helfen:
Du darfst hier ruhig jeden duzen!
> 1. Wie kann ich zeigen das ein Wertepaar auf verschiedenen
> Punkten abgebildet werden kann? ( Muss ich hier Zahlen
> einsetzten?)
Nein, es ist allgemein zu zeigen.
> 2. Wieso gibt nur die Multiplikation mit 1/2 ein Ergebniss
> aus N0?
Die Behauptung von Marius war, dass [mm] $\bruch12(k+l)(k+l+1)$ [/mm] für jedes [mm] $(k,l)\in\IN_0\times\IN_0$ [/mm] eine natürliche Zahl ist.
Damit ist auch [mm] $k+\bruch12(k+l)(k+l+1)$ [/mm] eine natürliche Zahl.
Das wird benötigt, damit $f$ überhaupt wohldefiniert ist.
> 3. zur Surjektivität: bis zur Multiplikation mit 2 komm
> ich mit. mir ist jedoch unklar was das ganze mit gerade und
> ungerade zu tuen hat. können sie das vielleicht
> erläutern
Das verstehe ich auch nicht. Daher lasse ich die Frage mal als nur teilweise beantwortet markiert.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 So 27.10.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:34 Fr 25.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo zusammen!
> Du musst hier zeigen, dass die Funktion injektiv und
> surjektiv ist.
> Injektiv bedeutet, dass keine zwei Elemente aus der
> Definitionsmenge auf dieselbe Zahl der Wertemenge
> abgebildet werden..
> Hier ist die Definitionsmenge ja ein Wertepaar aus
> [mm]\IN_{0}\times\IN_{0}[/mm]
> Nimm dir also vier Wertepaare her, also
> [mm](k_{1};l_{1}), (k_{2};l_{1}), (k_{1};l_{2})[/mm] und
> [mm](k_{2};l_{2})[/mm] mit [mm]k_{1}\ne k_{2}[/mm] und [mm]l_{1}\ne l_{2}[/mm] und
> zeige, dass diese auf verschiedene Punkte abgebildet
> werden.
Das erscheint mir umständlich. Einfacher erscheint mir, nur zwei Wertepaare [mm] $(k_1,l_1),(k_2,l_2)\in\IN_0\times\IN_0$ [/mm] mit [mm] $f((k_1,l_1))=f((k_2,l_2))$ [/mm] zu betrachten und [mm] $(k_1,l_1)=(k_2,l_2)$ [/mm] (d.h. [mm] $k_1=k_1$ [/mm] und [mm] $l_1=l_2$) [/mm] zu zeigen.
> Außerdem solltest du noch erwähnen, das im Bildbereich
> einer der Faktoren (k+l) oder ((k+l)+1) gerade sein muss,
> so dass die Multiplikation mit [mm]\frac{1}{2}[/mm] immer noch ein
> Ergebnis aus [mm]\IN_{0}[/mm] ergibt.
Das ist Voraussetzung dafür, dass $f$ überhaupt wohldefiniert ist. Damit gehört diese Überlegung noch vor den Beweis der Injektivität von $f$.
> Danach versuche mal die Surjektivität zu zeigen, also dass
> es zu jeder natürlichen Zahl n (mindestens) ein Wertepaar
> (k;l) gibt, so dass [mm]\frac{1}{2}(k+l)((k+l)+1)=n[/mm]
Hier fehlt der Summand $k$ auf der linken Seite.
> Multipliziere dazu am besten beide Seiten dieser Gleichung
> erstmal mit 2, und überlege dann, dass einer der beiden
> Faktoren auf der linken Seite definitiv Gerade sein muss,
> ein anderer muss ungerade sein. Überlege dann, was ein
> Produkt aus einem geraden Faktor und einem ungeraden Faktor
> ergibt.
> Bedenke, du musst das Wertepaar nicht konkret angeben, nur
> zeigen, dass es ein solches gibt.
Ich sehe nicht, wie man die Existenz des gesuchten Wertepaares zeigen kann, ohne es anzugeben.
An welchen "Trick" zum Nachweis denkst du?
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:27 Fr 25.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Robin1990!
> f : ℕ0 ×ℕ0 ∋ (k; l) →k + (1/2)(k + l)(k + l + 1)
> ∋ ℕ0
>
> bijektiv ist.
>
>
> Da ich nur die Definitionen gelernt habe ist mir unklar wie
> ich dies zeigen soll
Diese Aufgabe ist etwas "knibbelig".
Es erweist sich für den Beweis von Injektivität und Surjektivität als hilfreich, die Hilfsfunktion
[mm] $h\colon\IN_0\to\IN_0,\quad h(i)=\bruch12i(i+1)$
[/mm]
einzuführen.
(Für jede natürliche Zahl [mm] $i\in\IN_0$ [/mm] ist $i$ oder $(i+1)$ gerade und somit $i*(i+1)$ gerade und damit [mm] $\bruch12i(i+1)$ [/mm] tatsächlich eine natürliche Zahl. Somit ist $h$ wohldefiniert.)
Überlege dir:
a) Für alle [mm] $(k,l)\in\IN_0\times\IN_0$ [/mm] gilt $f((k,l))=k+h(k+l)$.
b) Für alle [mm] $i\in\IN$ [/mm] gilt $h(i+1)=h(i)+i+1$.
(Insbesondere gilt $h(i+1)>h(i)$. Somit ist $h$ streng monoton steigend.)
Zur Injektivität von $f$:
Gelte [mm] $f((k_1,l_1))=f((k_2,l_2))$ [/mm] für gewisse [mm] $(k_1,l_1),(k_2,l_2)\in\IN_0\times\IN_0$.
[/mm]
Zu zeigen ist [mm] $(k_1,l_1)=(k_2,l_2)$, [/mm] d.h. [mm] $k_1=k_2$ [/mm] und [mm] $l_1=l_2$.
[/mm]
Wegen [mm] $f((k_1,l_1))=f((k_2,l_2))$ [/mm] gilt gemäß $a)$
(*) [mm] $k_1+h(k_1+l_1)=k_2+h(k_2+l_2)$.
[/mm]
Unter Verwendung von b) folgt
[mm] $h(k_1+l_1)\le k_1+h(k_1+l_1)=k_2+h(k_2+l_2)< h(k_2+l_2)+k_2+l_2+1=h(k_2+l_2+1)$,
[/mm]
also gilt wegen der Monotonie von $h$
[mm] $k_1+l_1
und damit
[mm] $k_1+l_1\le k_2+l_2$.
[/mm]
Analog überlegt man sich
[mm] $k_2+l_2\le k_1+l_1$.
[/mm]
Also
[mm] $k_1+l_1=k_2+l_2$.
[/mm]
Folgere nun mit (*) [mm] $k_1=k_2$.
[/mm]
Daraus wiederum kannst du mit [mm] $k_1+l_1=k_2+l_2$ [/mm] auf [mm] $l_1=l_2$ [/mm] schließen.
Zur Surjektivität von $f$:
Sei [mm] $n\in\IN_0$ [/mm] beliebig vorgegeben.
Zu zeigen ist die Existenz eines Paares [mm] $(k,l)\in\IN_0$ [/mm] mit $f((k,l))=n$.
Überlege dir, dass es nur endlich viele [mm] $i\in\IN_0$ [/mm] mit [mm] $h(i)\le [/mm] n$ gibt.
Somit ist
[mm] $m:=\max\{i\in\IN_0\;|\;h(i)\le n\}\in\IN_0$
[/mm]
wohldefiniert.
Es gilt also
(**) [mm] $h(m)\le [/mm] n$
und
$h(m+1)>n$,
also
(***) [mm] $h(m+1)\ge [/mm] n+1$.
Sei nun $k:=n-h(m)$ und $l:=m-k$.
Zeige nun:
i) Es gilt [mm] $k,l\in\IN_0$. [/mm] Dafür ist [mm] $k,l\ge0$ [/mm] zu zeigen.
ii) Es gilt $f((k,l))=n$.
Viel Erfolg!
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:09 Fr 25.10.2013 | | Autor: | Robin1990 |
ohje. ich bin im ersten Semester und verstehe von dem was du mir schilderst leider nochnichtmal die Hälfte. was natürlich an mir liegt und nicht an ihnen
ist es möglich das du mir das eventuell nochmal in einfacher Form oder mit einem einfacheren Lösungsweg schilderst?
Ich stehe nämlich ziemlich am Schlauch und muss die Übung Montag abgeben.Leider komme ich nicht weiter da die Vorlesung ein anderes Thema behandelte
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:25 Fr 25.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> ohje. ich bin im ersten Semester und verstehe von dem was
> du mir schilderst leider nochnichtmal die Hälfte. was
> natürlich an mir liegt und nicht an ihnen
Ich finde die Aufgabe ohne Tipps zur Lösung auch ziemlich schwer für das erste Semester.
> ist es möglich das du mir das eventuell nochmal in
> einfacher Form oder mit einem einfacheren Lösungsweg
> schilderst?
Einen viel einfacheren Weg weiß ich leider nicht.
Welche Hälfte verstehst du denn nicht?
Frag möglichst konkret zu den Stellen nach, die dir unklar sind.
(Ich erwarte übrigens nicht, dass du verstehst, wie ich auf die einzelnen Schritte gekommen bin. Würde ich versuchen, das zu erklären, würde es noch komplizierter.
Konzentriere dich vielmehr darauf die einzelnen Schritte an sich nachzuvollziehen.)
|
|
|
| |
|
Danke für deine nette Antwort.
Ja. Wir hatten auch erst 3 Mathevorlesungen.
ich verstehe nicht was gerade und ungerade mit bijektivität zu tuen hat. kannst du mir das näher erläutern?
und dann bringst du aufeinmal noch die Variable "h" mit ins Spiel. Hat h die gleiche Bedeutung wie "f"? denn dann könnte ich diesen Schritt nachvollziehen.
und wie kommst du auf die Formel: f(k,l)=k+h(k+l)
und das mit der Monotonie von h verstehe ich leider gar nicht
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:58 Fr 25.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Auf solche konkreten Fragen lässt sich gut eingehen. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Frag weiter so konkret nach!
> und dann bringst du aufeinmal noch die Variable "h" mit
> ins Spiel. Hat h die gleiche Bedeutung wie "f"? denn dann
> könnte ich diesen Schritt nachvollziehen.
Nein, $h$ ist nicht $f$. $h$ ist eine neue Abbildung, die ich hilfsweise betrachte. Sie ist definiert durch
[mm] $h\colon\IN_0\to\IN_0,\quad i\mapsto\bruch12i(i+1)$.
[/mm]
Die Abbildung $h$ ordnet also jeder natürlichen Zahl i die natürliche Zahl [mm] $\bruch12i(i+1)$ [/mm] zu.
Dass [mm] $\bruch12i(i+1)$ [/mm] für jedes [mm] $i\in\IN_0$ [/mm] tatsächlich eine natürliche Zahl ist, muss man sich natürlich überlegen.
Denn das [mm] $\bruch12$-fache [/mm] einer natürlichen Zahl $m$ ist genau dann wieder eine natürliche Zahl, wenn $m$ gerade ist.
Also müssen wir uns überlegen, dass $i(i+1)$ gerade ist.
Dies folgt aber daraus, dass eine der Zahlen $i$ und $i+1$ gerade ist.
> ich verstehe nicht was gerade und ungerade mit
> bijektivität zu tuen hat. kannst du mir das näher
> erläutern?
Da sehe ich jetzt auch keinen direkten Zusammenhang.
> und wie kommst du auf die Formel: f(k,l)=k+h(k+l)
Ich würde mich an deiner Stelle wie gesagt nicht fragen, wie ich darauf gekommen bin, sondern warum diese Formel gilt.
Überprüfen wir dies: Es gilt für alle [mm] $(k,l)\in\IN_0\times\IN_0$
[/mm]
[mm] $f(k,l)=k+\underbrace{\bruch12(k+l)(k+l+1)}_{=h(k+l)}=k+h(k+l)$.
[/mm]
> und das mit der Monotonie von h verstehe ich leider gar
> nicht
Bei b) sollst du nachrechnen: $h(i+1)=h(i)+i+1$ für alle [mm] $i\in\IN_0$.
[/mm]
Somit gilt unter Beachtung von [mm] $i\ge0$
[/mm]
[mm] $h(i+1)=h(i)+i+1\ge [/mm] h(i)+1>h(i)$.
Da dies für alle [mm] $i\in\IN_0$ [/mm] gilt, haben wir
[mm] $h(0)
Allgemein folgt:
$h(i)<h(j)$ für alle [mm] $i,j\in\IN_0$ [/mm] mit $i<j$.
Diese Tatsache kürzt man auch mit "$h$ ist streng monoton steigend" ab.
|
|
|
| |
|
Wie kommt die Funktion h und ihre einzelnen Glieder zustande?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:50 So 27.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Wie kommt die Funktion h und ihre einzelnen Glieder
> zustande?
Die Funktion [mm]h[/mm] lautet
[mm] h\colon\IN_0\to\IN_0,\quad h(i)=\bruch12*i*(i+1) [/mm].
Mehr brauchst du über sie eigentlich nicht zu wissen.
Warum ich sie betrachte? Weil mit deren Hilfe mein Beweis gelingt.
Natürlich könnte ich jetzt versuchen, eine ausführliche Motivation meines Beweises vorzunehmen. Aber ich halte das eher für zusätzlich verwirrend als hilfreich. Du hast genug damit zu kämpfen, den Beweis Schritt für Schritt nachzuvollziehen.
Ist dir klar, was z.B. [mm]h(5)[/mm] ist?
|
|
|
| |
|
okay danke. den Beweis der Injektivität verstehe ich jetzt in etwa.
nur wie kommst du von k1+l1=k2+l2
auf k1=k2 ?
nun zur Surjektivität. das verstehe ich leider gar nicht. Also die Definition von Surjektivität ist mie geläufig. Allerdings verstehe ich nicht wie du hier die Variabeln gebrauchst und wie das Endprodukt die Surjektivität beweisen soll?
Danke für deine Mühen!!!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:29 Fr 25.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> okay danke. den Beweis der Injektivität verstehe ich jetzt
> in etwa.
> nur wie kommst du von k1+l1=k2+l2
> auf k1=k2 ?
Mithilfe von (*). Zur Erinnerung:
(*) [mm] $k_1+h(k_1+l_1)=k_2+h(k_2+l_2)$
[/mm]
Somit folgt
[mm] $k_1+h(k_1+l_1)=k_2+h(k_1+l_1)$.
[/mm]
Durch Subtraktion von [mm] $h(k_1+l_1)$ [/mm] auf beiden Seiten dieser Gleichung erhalten wir wie gewünscht
[mm] $k_1=k_2$.
[/mm]
> nun zur Surjektivität. das verstehe ich leider gar nicht.
> Also die Definition von Surjektivität ist mie geläufig.
> Allerdings verstehe ich nicht wie du hier die Variabeln
> gebrauchst und wie das Endprodukt die Surjektivität
> beweisen soll?
Zu zeigen ist, dass für alle [mm] $n\in\IN_0$ [/mm] ein [mm] $(k,l)\in\IN_0\times\IN_0$ [/mm] existiert mit $f((k,l))=n$.
Also lassen wir uns ein beliebiges [mm] $n\in\IN_0$ [/mm] vorgeben und zeigen, dass es zu diesem $n$ ein [mm] $(k,l)\in\IN_0\times\IN_0$ [/mm] gibt mit $f((k,l))=n$.
Da $n$ beliebig vorgegeben war, folgt dann für ALLE [mm] $n\in\IN_0$ [/mm] die Existenz eines [mm] $(k,l)\in\IN_0\times\IN_0$ [/mm] mit $f((k,l))=n$.
Wir haben also nun ein beliebiges [mm] $n\in\IN_0$ [/mm] vorgegeben.
Die Existenz von [mm] $(k,l)\in\IN_0\times\IN_0$ [/mm] mit $f((k,l))=n$ zeigen wir naheliegenderweise dadurch, dass wir ein solches Paar $(k,l)$ konstruieren.
Die natürliche Zahl $m$ definieren wir dazu hilfsweise.
Unsere eigentlichen Ziele sind die natürlichen Zahlen $k$ und $l$.
|
|
|
| |
|
kann man das ganze auch ohne Formulierungen mit größe und kleiner Zeichen zeigen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Di 29.10.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
