Abbildung von Ringen < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:47 Do 02.02.2006 | | Autor: | ElemEnt |
| Aufgabe | | Man finde eine Abbildung f: R [mm] \to [/mm] S für Ringe R, S, so dass f( [mm] r_1 [/mm] + [mm] r_2 [/mm] ) = [mm] f(r_1) [/mm] + [mm] f(r_2) [/mm] und [mm] f(r_1*r_2) [/mm] = [mm] f(r_1) [/mm] * [mm] f(r_2) [/mm] für alle [mm] r_1r_2 \in [/mm] R, aber f die Eins von R nicht auf die Eins von S abbildet. |
Hallo an alle!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich finde hier irgentwie keinen Ansatz, dachte mir vielleicht ist möglich:
f: R [mm] \to [/mm] S, r [mm] \mapsto [/mm] 2r dann gilt:
f(r) = 2r
[mm] f(r_1 [/mm] + [mm] r_2) [/mm] = 2 [mm] (r_1 [/mm] + [mm] r_2) [/mm] = [mm] 2r_1 [/mm] + [mm] 2r_2
[/mm]
aber leider:
[mm] f(r_1 [/mm] * [mm] r_2) [/mm] = 2( [mm] r_1 [/mm] * [mm] r_2) \not= 2r_1 [/mm] * [mm] 2r_2
[/mm]
Leider komme ich an dieser Stelle nicht weiter, finde einfach keinen Weg diese doch schon fast richtige Lösung wie ich finde noch soweit zu verbessern, dass auch die letzte Anforderung noch erfüllt ist
Wär lieb wenn mir da einer helfen kann!
ElemEnt
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Hallo Daniel,
du kannst die Abbildung [mm] $f:R{\to}R{\times}R$ [/mm] verwenden.
Wenn du definierst, dass $f(r)=(r,0)$, dann sind die Homomorphiebedingungen erfüllt, aber $f(1)=(1,0)$ nicht die Eins in [mm] $R{\times}R$.
[/mm]
Nachzulesen ist das Ganze auch im ![[]](/images/popup.gif) Algebra-Skript von Prof. Barth aus Erlangen im Kapitel über Ringe.
Hugo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:31 Do 02.02.2006 | | Autor: | ElemEnt |
Hallo Hogo!
Sei bedankt für deine Antwort!
Alerdings ist mir nicht ganz klar, wieso RxR dem Ring S zu substituieren erlaubt ist. Ich kann die Assoziativität der Multiplikation nicht erkennen.
Die ist für Ringe ja ein Axiom.
[mm] (\vektor{a \\ 0 } [/mm] * [mm] \vektor{ b \\ 0 }) [/mm] * [mm] \vektor{ c \\ 0 }
[/mm]
= ????
Wenn ich die Vektormultiplikation heranziehe (ähnlich der Matrizenmultiplikation), habe ich das doch nicht definiert, da ich keine Zeilenvektoren habe.
Oder darf ich diese Multiplikation "frei definieren" nach dem Skalarprodukt, welches ja Komponentenweise berechnet wird?
Dann wäre das klar!
Ich kann das vorgeschlagene Skript von Prof. Barth leider nicht lesen.
ElemEnt
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Hallo Daniel,
der Ring S darf doch irgendein passender Ring sein. Die Assoziativität der Multiplikation ist gewährleistet, weil sich die Bilder (r,0) genauso verhalten wie ihre Urbilder r in R. Du definierst die Multiplikation in S=RxR als
(r1,r2)*(r3,r4)=(r1*r3,r2*r4).
Dann ist (r1,0)*(r2,0)=(r1*r2,0).
Das Einselement von RxR ist (e,e). Das Bild von e aus R ist jedoch (e,0).
Hugo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:55 Fr 03.02.2006 | | Autor: | ElemEnt |
Hallo Hugo!
Wie du siehst habe ich Schwierigkeiten damit zu entscheiden, was im Zuge der Lösung einer Aufgabe erlaubt ist.
Aber wenn das Skalarprodukt so definiert werden darf, das meinte ich mit kopnentenweise, dann ist mir die Lösung klar!
Ich danke dir für deine Hilfe, so kann ich die Lösung hinbekommen!
Daniel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:04 Fr 03.02.2006 | | Autor: | banachella |
Hallo Daniel!
Du solltest mit der Verwendung mathematischer Begriffe etwas vorsichtiger sein: Die Verknüpfung [mm] $*\colon (R\times R)\times (R\times R)\to R\times [/mm] R,\ [mm] (r_1,r_2)*(r_3,r_4):=(r_1r_3,r_2r_4)$ [/mm] ist kein Skalarprodukt.
Ein Skalarprodukt ist grundsätzlich nur für Vektorräume definiert, denn es bildet zwei Elemente eines Vektorraumes auf ein Element des zugrundeliegenden Körpers - auch Skalar genannt - ab.
Ist dir der Begriff jetzt etwas klarer?
Am Anfang des Studiums geraten einem diese Dinge leicht durcheinander. Aber gerade die klare Abgrenzung der Begriffe gegeneinander hilft einem sehr, sich durch diesen Dschungel zu kämpfen...
Gruß, banachella
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:42 Fr 03.02.2006 | | Autor: | ElemEnt |
Hi banachella!
Du hast natürlich Recht, diese komponentenweise Multiplikation ist kein Skalarprodukt!
Ich hatte mich nur daran angelehnt und dann fälschlicher Weise diesen Begriff verwendet.
Es ist bei uns ein Skalarprodukt definiert als Summe der Produkte der Komponenten zweier Spaltenvektoren, das ist natürlich ein Skalar.
Die hier definierte Multiplikation ist doch aber, ausgenommen der Summe, gleich zu berechnen.
Klar ist mir das hier ein Vektor und kein Skalar berechnet wird!
Aber danke für deinen Hinweis, gut das es Leute gbt die darauf achten!
Also ich denke ich weiß was du meinst, alledings ist mir hier
> Die Verknüpfung [mm]*\colon (R\times R)\times (R\times R)\to R\times R,\ (r_1,r_2)*(r_3,r_4):=(r_1r_3,r_2r_4)[/mm]
nicht ganz klar warum da noch ein [mm] \times [/mm] ist zwischen den zwei [mm] (R\times [/mm] R).
Ist das Kreuzprodukt, wenn es das denn jetzt ist *unsicher sein*, nicht Assoziativ? Dann müsste der Ausdruck doch dem hier entsprechen oder??
( [mm] R\times R\times R\times [/mm] R )
Oder ist das wieder etwas ganz anderes??
Daniel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:04 Fr 03.02.2006 | | Autor: | DerHein |
Naja dein Ring S heißt halt nun mal $ [mm] R\times [/mm] R [mm] \$. [/mm] Und um eine Ringstruktur
auf einer Menge anzugeben benötigt man 2 Abbildungen:
$a: [mm] \, [/mm] S [mm] \times [/mm] S [mm] \rightarrow [/mm] S$ und
$ m: [mm] \, [/mm] S [mm] \times [/mm] S [mm] \rightarrow [/mm] S$
wobei das Symbol $m(x,y)$ auch häufig durch $x [mm] \cdot [/mm] y$ oder $x [mm] \, [/mm] y$ ersetzt wird. (analog $a(x,y)=x + y$). Als Forderungen hat man dann zusätzlich so sachen wie: Distributivität, Assoziuativität damit man Das Tupel
(R,a,m) auch wirrklich Ring nennt. "By abuse of notation" schreibt man natürlich häufig nur R wenn man eigentlich (R,a,m) meint.
Ok Damit ist also deine Multiplikation auf $S$ gegeben durch eine Abb:
$ m: S [mm] \times [/mm] S [mm] \rightarrow [/mm] S$ und [mm] $S\times [/mm] S = [mm] (R\times [/mm] R) [mm] \times (R\times [/mm] R) [mm] \cong R\times [/mm] R [mm] \times R\times [/mm] R $. Wobei man statt [mm] $\cong$, [/mm] was soviel heißen soll wie bijektiv / isomorph, auch $=$ verwendet. Das eine
Sind streng genommen Paare von 2-Tupeln und das andere 4-Tupel
was eigentlich keinen wirklichen Unterscheid macht.
Ich meine Wann sind zwei Räume schonmal wirklich gleich ??
Eigentlich dürften wir $=$ garnimcht mehr verwenden...
mfg Heinrich
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:26 Fr 03.02.2006 | | Autor: | ElemEnt |
Hallo Heinrich!
Wenn man das so erklärt bekommt ist das nicht mehr so unübersichtlich und schwer zu verstehen.
Meine: ist klar warum der Ausdruck so lauten muss!
DANKE EUCH!!!!!
Damit sind meine Fragen eigentlich alle beantwortet
Grüße Daniel
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