Abbildung wohldef & bijektiv < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:38 Fr 11.05.2007 | | Autor: | franzl87 |
| Aufgabe | Zeige, das folgende Abbildung wohl definiert und bijektiv ist.
{ A [mm] \in M_{n}(\IR) [/mm] | [mm] A^{T}=-A [/mm] } [mm] \to [/mm] { [mm] Q\in SO_{n}(\IR)|-1 [/mm] kein Eigenwert von Q}.
A [mm] \mapsto (E-A)(E+A)^{-1} [/mm] |
Hallo,
danke das ihr euch meinem Problem annehmt.Ich weis nicht so recht wie ich die Bijektivität und Wohldefiniertheit zeigen soll. Könnt ihr mir helfen?
Freue mich auf eure Antworten, vielen Dank
Franz
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Hallo Franz!
> Ich weis nicht so
> recht wie ich die Bijektivität und Wohldefiniertheit zeigen
> soll. Könnt ihr mir helfen?
Wohldefiniertheit bedeutet, daß die so vorgegebene Abbildung immer Ergebnisse in der angegebenen Wertemenge liefert, also eben keine, die nicht in der Wertemenge landen. Sind
X = { A [mm] \in M_{n}(\IR) [/mm] | [mm] A^{T}=-A [/mm] } und
Y = { [mm] Q\in SO_{n}(\IR)|-1 [/mm] kein Eigenwert von Q},
so mußt Du zeigen, daß zu beliebigem A [mm] \in [/mm] X das Ergebnis von [mm] (E-A)(E+A)^{-1} [/mm] in Y liegt, d.h. also daß die Matrix [mm] (E-A)(E+A)^{-1} [/mm] sowohl in [mm] SO_{n}(\IR) [/mm] liegt, als auch, daß -1 kein Eigenwert dieser Matrix ist.
LG
Karsten
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Hallo Karsten,
seht guter Tipp! da kann ich nichts hinzufügen :), ist alles klar Franz?
schöne grüße
Gerorg
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Hallo nochmal, Franz!
Bezüglich Bijektivität noch eine Idee, die ich jetzt allerdings nicht durchgerechnet habe: Du könntest versuchen die beiden Mengen als Vektorräume und die gegebene Abbildung als Homomorphismus nachzuweisen. Möglicherweise liefert Dir der Homomorphiesatz für Vektorräume [mm] V/\ker(\varphi) \cong \varphi(V)[/mm] die Antwort.
Schlimmstenfalls mußt Du die Bijektivität "zu Fuß" durchrechnen.
LG
Karsten
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