Abbildungen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:57 Di 03.06.2014 | | Autor: | fuoor |
| Aufgabe | Aufgabe.
Gegeben seien die beiden Abbildungen [mm] L_{1}, L_{2}:
[/mm]
[mm] L_{1}:\IR_{\le4}[x]\to\IR^{2,2}; ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e \mapsto \pmat{ d+2c & 2a-b \\ c-d & 2d }
[/mm]
[mm] L_{2}:\IR_{\le4}[x]\to\IR^{2,2}; ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e \mapsto \pmat{ a & 2b-c \\ c+d & e+1 }
[/mm]
a) Überprüfen Sie, ob die Abbildungen [mm] L_{1}, L_{2} [/mm] linear sind.
b) Bestimmen Sie [mm] Kern(L_{1}) [/mm] und seine Dimension.
c) Bestimmen Sie [mm] dim(Bild(L_{1})).
[/mm]
d) Ist [mm] L_{1} [/mm] injektiv/surjektiv/bijektiv? |
Hallo zusammen!
Ich brauche mal wieder support :)
Also zur a) habe ich:
Ich definiere:
[mm] p:=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e [/mm] und [mm] q:=fx^{4}+gx^{3}+hx^{2}+ix+j
[/mm]
[mm] L_{1}(p+q)=L_{1}(ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e+fx^{4}+gx^{3}+hx^{2}+ix+j)
[/mm]
[mm] =(a+f)x^{4}+(b+g)x^{3}+(c+h)x^{2}+(d+i)x+(e+f)
[/mm]
Abbildungsvorschrift
[mm] \pmat{ (d+i)+2(c+h) & 2(a+f)-(b+g) \\ (c+h)-(d+i) & 2(d+i) }
[/mm]
[mm] L_{1}(p)+L_{1}(q)=L_{1}(ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e)+L_{1}(fx^{4}+gx^{3}+hx^{2}+ix+j)
[/mm]
[mm] =\pmat{ d+2c & 2a-b \\ c-d & 2d }+\pmat{ i+2h & 2f-g \\ h-i & 2i }=\pmat{ (d+i)+2(c+h) & 2(a+f)-(b+g) \\ (c+h)-(d+i) & 2(d+i) }
[/mm]
Somit ist [mm] L_{1} [/mm] additiv.
Prüfung ob [mm] L_{1} [/mm] homogen ist.
[mm] L_{1}(\alphap)=L_{1}(\alpha(ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e))=L_{1}(\alphaax^{4}+\alphabx^{3}+\alphacx^{2}+\alphadx+\alphae)
[/mm]
[mm] =\pmat{ \alphad+2\alphac & 2\alphaa-\alphab \\ \alphac-\alphad & 2\alphad }=\alpha\pmat{ d+2c & 2a-b \\ c-d & 2d }
[/mm]
Somit ist [mm] L_{1} [/mm] homogen.
Aus Homogeniität und Linearität von [mm] L_{1} [/mm] folgt, dass [mm] L_{1} [/mm] linear ist.
Zu [mm] L_{2}:
[/mm]
[mm] p:=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e [/mm] und [mm] q:=fx^{4}+gx^{3}+hx^{2}+ix+j
[/mm]
[mm] L_{2}(p+q)=L_{2}(ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e+fx^{4}+gx^{3}+hx^{2}+ix+j)
[/mm]
[mm] =(a+f)x^{4}+(b+g)x^{3}+(c+h)x^{2}+(d+i)x+(e+f)
[/mm]
Abbildungsvorschrift
[mm] \pmat{ (a+f & 2(b+g)-(c+h) \\ (c+h)+(d+i) & (e+j)+1 }
[/mm]
[mm] L_{2}(p)+L_{2}(q)=L_{2}(ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e)+L_{2}(fx^{4}+gx^{3}+hx^{2}+ix+j)
[/mm]
[mm] =\pmat{ a & 2b-c \\ c+d & e+1 }+\pmat{ f & 2g-h \\ h+i & j+1 }=\pmat{ a+f & 2(b+g)-(c+h) \\ (c+h)+(d+i) & (e+j)+2 }
[/mm]
[mm] L_{2} [/mm] ist demnach nicht additiv. [mm] L_{2} [/mm] ist entsprechend nicht linear.
zu b)
[mm] Kern(L_{1})={\p \in \IR_{\le4}[x] | L_{1}(p)=\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }}
[/mm]
Komponentenvergleich:
d+2c=0
2a-b=0
c-d=0
2d=0
=>
a=a
b=2a
c=0
d=0
e=0
[mm] Kern(L_{1})={ax^{4}+(2a)x^{3}+0x^{2}+0x+0}={\vektor{a \\ 2a \\ 0 \\ 0 \\ 0}} [/mm]
Szimmt das?!?! hier bin ich mir sehr unsicher...
zu c)
[mm] Bild(L_{1})={L_{1}(ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e)|a,b,c,d,e \in \IR}={\pmat{ d+2c & 2a-b \\ c-d & 2d }|a,b,c,d \in \IR}
[/mm]
[mm] ={a\pmat{ 0 & 2 \\ 0 & 0 }+b\pmat{ 0 & -1 \\ 0 & 0 }+c\pmat{ 2 & 0 \\ 1 & 0 }+d\pmat{ 1 & 0 \\ -1 & 2 }}
[/mm]
Da a und b linear abhängig folgt daraus [mm] Bild(L_{1})=
[/mm]
[mm] =span{\pmat{ 0 & -1 \\ 0 & 0 }, \pmat{ 2 & 0 \\ 1 & 0 }, \pmat{ 1 & 0 \\ -1 & 2 }}
[/mm]
Also ist [mm] dim(Bild(L_{1}))=3
[/mm]
Stimmt das soweit?
zu d)
Da [mm] L_{1} dim(Kern(L_{1}))=1\not=0 [/mm] ist [mm] L_{1} [/mm] nicht injektiv. Weil [mm] dim(Bild(L_{1}))=3\not=4(dim(Bildraum [/mm] des [mm] \IR^{2,2})) [/mm] ist [mm] L_{1} [/mm] nicht surjektiv.
Daraus folgt, dass [mm] L_{1} [/mm] auch nicht bijektiv ist.
Bin mal gespannt ob das stimmt...
Vielen Dank schonmal!
|
|
| |
|
Hallo,
ganz schön viel für einen thread. Wenn da mal nicht die Übersicht leidet 
Besser die Teilaufgaben separat posten ...
Und die Vorschaufunktion nutzen, ich editiere mir hier einen Wolf
Ich geh's mal an ...
> Aufgabe.
> Gegeben seien die beiden Abbildungen [mm]L_{1}, L_{2}:[/mm]
>
> [mm]L_{1}:\IR_{\le4}[x]\to\IR^{2,2}; ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e \mapsto \pmat{ d+2c & 2a-b \\ c-d & 2d }[/mm]
>
> [mm]L_{2}:\IR_{\le4}[x]\to\IR^{2,2}; ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e \mapsto \pmat{ a & 2b-c \\ c+d & e+1 }[/mm]
>
> a) Überprüfen Sie, ob die Abbildungen [mm]L_{1}, L_{2}[/mm] linear
> sind.
> b) Bestimmen Sie [mm]Kern(L_{1})[/mm] und seine Dimension.
> c) Bestimmen Sie [mm]dim(Bild(L_{1})).[/mm]
> d) Ist [mm]L_{1}[/mm] injektiv/surjektiv/bijektiv?
> Hallo zusammen!
>
> Ich brauche mal wieder support :)
>
> Also zur a) habe ich:
>
> Ich definiere:
>
> [mm]p:=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e[/mm] und
> [mm]q:=fx^{4}+gx^{3}+hx^{2}+ix+j[/mm]
>
> [mm]L_{1}(p+q)=L_{1}(ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e+fx^{4}+gx^{3}+hx^{2}+ix+j)[/mm]
> [mm]=(a+f)x^{4}+(b+g)x^{3}+(c+h)x^{2}+(d+i)x+(e+f)[/mm]
Hier ging [mm]L_1[/mm] verloren ...
[mm]\red{L_1}((a+f)x^4+...)[/mm]
>
> Abbildungsvorschrift
>
> [mm]\pmat{ (d+i)+2(c+h) & 2(a+f)-(b+g) \\ (c+h)-(d+i) & 2(d+i) }[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]L_{1}(p)+L_{1}(q)=L_{1}(ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e)+L_{1}(fx^{4}+gx^{3}+hx^{2}+ix+j)[/mm]
>
> [mm]=\pmat{ d+2c & 2a-b \\ c-d & 2d }+\pmat{ i+2h & 2f-g \\ h-i & 2i }=\pmat{ (d+i)+2(c+h) & 2(a+f)-(b+g) \\ (c+h)-(d+i) & 2(d+i) }[/mm]
>
> Somit ist [mm]L_{1}[/mm] additiv.
>
> Prüfung ob [mm]L_{1}[/mm] homogen ist.
>
> [mm]L_{1}(\red{\alpha p})=L_{1}(\alpha(ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e))=L_{1}(\alphaax^{4}+\alphabx^{3}+\alphacx^{2}+\alphadx+\alphae)[/mm]
Du musst Leerzeichen lassen nach dem [mm]\alpha[/mm], also \alpha x und nicht \alphax ...
[mm]L_{1}(\alpha ax^{4}+\alpha bx^{3}+\alpha cx^{2}+\alpha dx+\alpha e)[/mm]
> [mm]=\pmat{ \alpha d+2\alpha c & 2\alpha a-\alpha b \\ \alpha c-\alpha d & 2\alpha d }=\alpha\pmat{ d+2c & 2a-b \\ c-d & 2d }[/mm]
auch editiert ![[motz]](/images/smileys/motz.gif "[motz]")
>
> Somit ist [mm]L_{1}[/mm] homogen.
Jo
>
> Aus Homogeniität und Linearität von [mm]L_{1}[/mm] folgt, dass
> [mm]L_{1}[/mm] linear ist.
>
>
> Zu [mm]L_{2}:[/mm]
>
>
> [mm]p:=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e[/mm] und
> [mm]q:=fx^{4}+gx^{3}+hx^{2}+ix+j[/mm]
>
> [mm]L_{2}(p+q)=L_{2}(ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e+fx^{4}+gx^{3}+hx^{2}+ix+j)[/mm]
> [mm]=(a+f)x^{4}+(b+g)x^{3}+(c+h)x^{2}+(d+i)x+(e+f)[/mm]
Auch hier ging [mm]L_2[/mm] verloren :-(
>
> Abbildungsvorschrift
>
> [mm]\pmat{ (a+f & 2(b+g)-(c+h) \\ (c+h)+(d+i) & (e+j)+1 }[/mm]
>
> [mm]L_{2}(p)+L_{2}(q)=L_{2}(ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e)+L_{2}(fx^{4}+gx^{3}+hx^{2}+ix+j)[/mm]
>
> [mm]=\pmat{ a & 2b-c \\ c+d & e+1 }+\pmat{ f & 2g-h \\ h+i & j+1 }=\pmat{ a+f & 2(b+g)-(c+h) \\ (c+h)+(d+i) & (e+j)+2 }[/mm]
>
> [mm]L_{2}[/mm] ist demnach nicht additiv. [mm]L_{2}[/mm] ist entsprechend
> nicht linear.
Jo, das +1 im letzten Einrag der Bildmatrix macht's kaputt - kann man fast schon direkt sehen ohne Rechnung
>
>
> zu b)
>
Mengenklammern musst du mit vorangehendem Backslash machen: \{ und \}
> [mm]Kern(L_{1})=\left\{p \in \IR_{\le 4}[x] \ \mid \ L_{1}(p)=\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }\right\}[/mm]
>
> Komponentenvergleich:
>
> d+2c=0
> 2a-b=0
> c-d=0
> 2d=0
>
> =>
>
> a=a
> b=2a
> c=0
> d=0
> e=0
>
> [mm]Kern(L_{1})={ax^{4}+(2a)x^{3}+0x^{2}+0x+0}={\vektor{a \\ 2a \\ 0 \\ 0 \\ 0}}[/mm]
>
> Szimmt das?!?! hier bin ich mir sehr unsicher...
Naja, du meinst es sicher richtig, aber trotz der Klammern, die im Quelltext zuerkennen sind, ist das so nicht richtig aufgeschrieben.
Besser etwa so (oder ähnlich):
[mm]\operatorname{Kern}(L_1)=\left\{ax^4+2ax^3\mid a\in\IR\right\}[/mm]
Und das kannst du isomorph schreiben als Menge aller (Koordinaten-)Vektoren der Form [mm]\vektor{a\\2a\\0\\0\\0}[/mm] mit [mm]a\in\IR[/mm]
Gib mal eine Basis des Bildes an, das ist sicher gut fürs Verständnis ...
>
>
> zu c)
>
> [mm]Bild(L_{1})={L_{1}(ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e)|a,b,c,d,e \in \IR}={\pmat{ d+2c & 2a-b \\ c-d & 2d }|a,b,c,d \in \IR}[/mm]
Lasse ich mal gelten, im Quelltext sieht man die Mengenklammern ...
> [mm]={a\pmat{ 0 & 2 \\ 0 & 0 }+b\pmat{ 0 & -1 \\ 0 & 0 }+c\pmat{ 2 & 0 \\ 1 & 0 }+d\pmat{ 1 & 0 \\ -1 & 2 }}[/mm]
>
> Da a und b linear abhängig folgt daraus [mm]Bild(L_{1})=[/mm]
Das ging verloren ...
Kannst du das bitte nochmal editieren ...
> [mm]%3Dspan%7B%5Cpmat%7B%200%20%26%20-1%20%5C%5C%200%20%26%200%20%7D%2C%20%5Cpmat%7B%202%20%26%200%20%5C%5C%201%20%26%200%20%7D%2C%20%5Cpmat%7B%201%20%26%200%20%5C%5C%20-1%20%26%202%20%7D%7D[/mm]
>
> Also ist [mm]dim(Bild(L_{1}))=3[/mm]
Das muss ja nach dem Dimensionssatz auch so sein ...
>
> Stimmt das soweit?
>
> zu d)
>
> Da [mm]L_{1} dim(Kern(L_{1}))=1\not=0[/mm] ist [mm]L_{1}[/mm] nicht injektiv.
> Weil [mm]dim(Bild(L_{1}))=3\not=4(dim(Bildraum[/mm] des [mm]\IR^{2,2}))[/mm]
> ist [mm]L_{1}[/mm] nicht surjektiv.
>
> Daraus folgt, dass [mm]L_{1}[/mm] auch nicht bijektiv ist.
>
> Bin mal gespannt ob das stimmt...
Jo, im Endlichdimensionalen sind "inj." und "surj." äquivalent.
Wenn [mm]L_1[/mm] nicht inj. ist, kann es auch nicht surj. sein ..
>
> Vielen Dank schonmal!
Soviel auf die Schnelle. Ich hoffe, ich habe nix übersehen. Sonst möge man laut schreien und ergänzen/korrigieren
Gruß
schachuzipus
|
|
|
|
