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(Frage) überfällig  | | Datum: | 00:12 Mi 10.10.2007 | | Autor: | Schalk |
| Aufgabe | Sei f: [mm] \IR \backslash [/mm] {-1,1} [mm] \to \IR \backslash [/mm] {-1,1} definiert durch f(x) = [mm] \bruch{x+3}{1-x} [/mm] für alle x [mm] \in \IR \backslash [/mm] {-1,1}, und sei g: [mm] \IR \backslash [/mm] {-1,1} [mm] \to \IR \backslash [/mm] {-1,1} definiert durch g(x) = [mm] \bruch{x-3}{1+x} [/mm] für alle x [mm] \in \IR \backslash [/mm] {-1,1}
1. Beweisen Sie, dass f und g Abbidlungen sind.
2. Berechnen Sie (f [mm] \circ [/mm] g)(x), (g [mm] \circ [/mm] f)(x) und (g [mm] \circ [/mm] g)(x) für alle x [mm] \in \IR \backslash [/mm] {-1,1}.
Beweisen Sie, dass f und g bijektiv sind. |
1.) Zu zeigen: f und g sind Abbildungen
Nach Definition für eine Abbildung gilt:
i) Für x [mm] \in \IR \backslash [/mm] {-1,1} gibt es ein y [mm] \in \IR \backslash [/mm] {-1,1}, so dass (x,y) [mm] \in [/mm] f und
ii) Wenn (x,y) [mm] \in [/mm] f und (x, y´) [mm] \in [/mm] f, so folgt y = y´
f = (x, [mm] \bruch{x+3}{1-x})| [/mm] x [mm] \in \IR \backslash [/mm] {-1,1} [mm] \subseteq \IR \backslash [/mm] {-1,1} x [mm] \IR \backslash [/mm] {-1,1}
Für alle x [mm] \in \IR \backslash [/mm] {-1,1} gibt es ein y [mm] \in \IR \backslash [/mm] {-1,1} , nämlich [mm] \bruch{x+3}{1-x}, [/mm] so dass (x,y) [mm] \in [/mm] f gilt.
Wenn (x,y) [mm] \in [/mm] f und (x,z) [mm] \in [/mm] f, so gilt y = [mm] \bruch{x+3}{1-x} [/mm] und z = [mm] \bruch{x+3}{1-x}, [/mm] also y = z. Somit liegt eine Abbildung vor.
g ist analog zu beweisen.
Zu2)
(f [mm] \circ [/mm] g)(x)
= f [mm] (\bruch{x-3}{1+x}) [/mm]
= [mm] \bruch{\bruch{x-3}{1+x}+3}{1-\bruch{x-3}{1+x}}
[/mm]
= [mm] \bruch [/mm] {x-3+3+x}{1+x-x-3})
= - x
(g [mm] \circ [/mm] f)(x)
= g [mm] (\bruch{x+3}{1-x})
[/mm]
= [mm] \bruch{\bruch{x+3}{1-x}-3}{1+\bruch{x+3}{1-x}}
[/mm]
= [mm] \bruch{x+3-3+x}{1-x+x+3}
[/mm]
= 0,5 x
(g [mm] \circ [/mm] g)(x)
= g [mm] (\bruch{x-3}{1+x})
[/mm]
= [mm] \bruch{\bruch{x-3}{1+x}-3}{1+\bruch{x-3}{1+x}}
[/mm]
= [mm] \bruch{x-3-3-x}{1+x+x-3}
[/mm]
= - [mm] \bruch{6}{x-2}
[/mm]
Da jedoch x = 2 zulässig ist, also [mm] \in \IR \backslash [/mm] {-1,1}, muss dieses ebenfalls ausgeschlossen werden. Für (g [mm] \circ [/mm] g)(x) gilt x [mm] \in \IR \backslash [/mm] {-1,1,2}.
Zu 3)
f(x) = [mm] \bruch{x+3}{1-x} [/mm] = y ergibt
y (1-x) = x + 3
-xy +y =x+3
y-xy-x = 3
-xy-x = 3-y
-x(y+1) = 3-y
x = [mm] \bruch{y-3}{y+1}
[/mm]
Sei y [mm] \in \IR. [/mm] Setze x = [mm] \bruch{y-3}{y+1}. [/mm] Dann liegt x in [mm] \IR \backslash [/mm] {-1,1} und es gilt [mm] f(\bruch{y-3}{y+1}) [/mm] = y. Zu jedem y [mm] \in \IR \backslash [/mm] {-1,1} gibt es also ein x [mm] \in \IR \backslash [/mm] {-1,1} mit f(x) = y. Daraus folgt: f ist surjektiv.
Behauptung: f ist injektiv
Beweis:
Seien [mm] x,x´\in \IR \backslash [/mm] {-1,1} und f(x) = f(x´). Dann gilt:
[mm] \bruch{x+3}{1-x} [/mm] = [mm] \bruch{x´+3}{1-x´}
[/mm]
(x+3) (1-x´) = (x´+3) (1-x)
x-xx´+3-3x´ = x´-xx´+3-x
x-3x´ = x´-3x
4x = 4x´
x=x´
Somit ist f injektiv und schließlich auch bijektiv.
g ist analog zu beweisen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:32 Fr 12.10.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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