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Schönen Tag euch allen.
Kann mir jemand zeigen/erklären wie die Aufgabe geht?
Seien [mm] \bruch{\partial}{\partial x}(\bruch{\partial f}{\partial x})=\bruch{\partial^2 f}{\partial x^2} [/mm] und [mm] \bruch{\partial}{\partial y}(\bruch{\partial f}{\partial y})=\bruch{\partial^2 f}{\partial y^2}. [/mm] Welche der folgenden Abbildungen erfüllen die Gleichung [mm] \bruch{\partial^2 f}{\partial x^2}+\bruch{\partial^2 f}{\partial y^2}=0 [/mm] ?
[mm] f:\IR^2 \to \IR [/mm] mit [mm] f(x,y)=e^x*cosy
[/mm]
Hier muss ich zunächst ja die Ableitungen nach x und y ausrechnen. Wie kann ich das am besten machen?
Wenn man das hat muss ich ja eigentlich nur die Bedingungen Gleichungen prüfen. Was ist der Unterschied ob das x bzw. y quadriert werden oder [mm] \partial [/mm] quadriert wird? Also wie wirkt es sich auf die Ableitung aus?
Viel Spass euch noch!
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:09 Mi 25.05.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi und Dir auch einen schönen, sonnigen Tag !
[mm]\bruch{\partial}{\partial x}(\bruch{\partial f}{\partial x})=\bruch{\partial^2 f}{\partial x^2}[/mm] ist f ZWEIMAL nach x abgeleitet (also die Ableitung der Ableitung), während $ [mm] \bruch{\partial f}{\partial x} [/mm] $ nur f einmal nach x abgeleitet wird.
d.h. du musst f sowohl nach x zweimal ableiten und dann noch nach y zweimal ableiten und schauen, ob die Summe Null ergibt.
beim Ableiten nach x kannst du alle y als Konstanten betrachten (insbesondere dann auch cos(y)=konstant ), bei den Ableitungen nach y entspr. x als konstant betrachten.
versuche dich mal.
viele Grüße
DaMenge
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Hallo,
danke für die Erläuterung. Jetzt weiß ich wenigstens dass man hier jeweils 2 mal ableiten muss.
Aber wie leite ich [mm] e^x [/mm] ab?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:29 Do 26.05.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
$ [mm] e^x [/mm] $ abgeleitet (nach x) ist wieder $ [mm] e^x [/mm] $ - dies ist die einzige Funktion, die abgeleitet wieder sich selbst ergibt.
Wie ist dann also die zweite Ableitung 
für solche Fragen kannst du übrigens jederzeit ein Tafelwerk oder ähnliches befragen.
nächtliche Grüße
DaMenge
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Hallo DaMenge,
danke dir nochmal!
Ich habe für die Ableitung:
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x}=cos(y)e^x
[/mm]
[mm] \bruch{\partial^2 f}{\partial x^2}=cos(y)e^x
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f}{\partial y}=-sin(y)e^x
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f^2}{\partial y^2}=-cos(y)e^x
[/mm]
Richtig??
[mm] \bruch{\partial^2 f}{\partial x^2}+\bruch{\partial f^2}{\partial y^2}=cos(y)e^x-cos(y)e^x=0
[/mm]
f(x,y) erfüllt also die Gleichung [mm] \bruch{\partial^2 f}{\partial x^2}+\bruch{\partial f^2}{\partial y^2}=0
[/mm]
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Hallo Prinzessin!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Stimmt ...
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:31 Do 26.05.2005 | | Autor: | Paulus |
Lieber Damenge
> Hi,
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> [mm]e^x[/mm] abgeleitet (nach x) ist wieder [mm]e^x[/mm] - dies ist die
> einzige Funktion, die abgeleitet wieder sich selbst
> ergibt.
Das stimmt nicht ganz. Nur die einzige nicht identisch verschwindende Funktion.
Mit lieben Grüssen
Paul
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:48 Mo 30.05.2005 | | Autor: | JoJo_o |
also bei der Ableitung von e^ax wird das a vor den term gezogen und der teil mit e^ bleibt unverändert -> e^ax abgeleitet ist a*e^ax
Daher kommt
[mm] e^x [/mm] = e^1x abgeleitet -> 1*e^1x = [mm] e^x
[/mm]
deshalb ist in diesem fall auch die zweite und dritte Ableitung [mm] e^x [/mm] hingegen ist es bei e^ax -> a*e^ax -> a*a*e^ax = a²*e^ax
bei e^-x ist auch darauf zu achten, dass das Vorzeichen mit abgeleitet wird -> -e^-x
Gruß JoJo
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