Abbildungen < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:34 Mo 17.01.2011 | | Autor: | moerni |
| Aufgabe | Sei G [mm] \subset \mathbb{R}^n [/mm] offen und beschränkt, f eine stetige Abbildung f: [mm] \overline{G} \to \mathbb{R}^n, f(\overline{G}) \subset \overline{G}, [/mm] f(x)=x auf [mm] \partial [/mm] G.
Zeige: [mm] f(\overline{G})=\overline{G} [/mm] |
Hallo.
Ich sitze bei dieser Aufgabe leider völlig im Dunkeln. Ich habe leider keine Ahnung, wie ich das beweisen kann oder welche Sätze mir dabei helfen könnten. Thematisch ist diese Aufgabe aus dem Bereich Topologie / Differentialtopologie / Funktionentheorie / Differentialgeometrie.
Hat jemand vielleicht einen Ansatz oder eine Idee für mich?
Darüber wäre ich sehr dankbar,
lg moerni
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:24 Fr 21.01.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Sei G [mm]\subset \mathbb{R}^n[/mm] offen und beschränkt, f eine
> stetige Abbildung f: [mm]\overline{G} \to \mathbb{R}^n, f(\overline{G}) \subset \overline{G},[/mm]
> f(x)=x auf [mm]\partial[/mm] G.
> Zeige: [mm]f(\overline{G})=\overline{G}[/mm]
> Hallo.
>
> Ich sitze bei dieser Aufgabe leider völlig im Dunkeln. Ich
> habe leider keine Ahnung, wie ich das beweisen kann oder
> welche Sätze mir dabei helfen könnten. Thematisch ist
> diese Aufgabe aus dem Bereich Topologie /
> Differentialtopologie / Funktionentheorie /
> Differentialgeometrie.
>
> Hat jemand vielleicht einen Ansatz oder eine Idee für
> mich?
Ein paar Ideen:
1. [mm] $\overline{G}$ [/mm] ist kompakt, daher ist [mm] $f(\overline{G})$ [/mm] kompakt.
2. [mm] $f^{-1}(G)$ [/mm] offen und daher eine offene Teilmenge von G.
3. Die Bedingung $f(x)=x$ auf [mm] $\partial [/mm] G$ bedeutet, dass [mm] $f(\partial G)=\partial [/mm] G$ gilt. Also ist
[mm] f(\overline{G}) = f(G\cup \partial G) = f(G)\cup f(\partial G) = f(G)\cup\partial G [/mm] .
Wenn du zeigen kannst, dass $G [mm] \subset [/mm] f(G)$ gilt, so folgt die Behauptung.
Viele Grüße
Rainer
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