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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:47 Mi 21.11.2012 | | Autor: | zjay |
| Aufgabe | Es seien f:X [mm] \rightarrow [/mm] Y und g : Y [mm] \rightarrow [/mm] Z Abbildungen.
a) Zeigen Sie: ist f surjektiv und g [mm] \circ [/mm] f injektiv, so ist g injektiv. Geben Sie Abbildungen f und g an, so dass gilt: g [mm] \circ [/mm] f ist injektiv und g ist nicht injektiv.
b) Zeigen Sie: Ist g [mm] \circ [/mm] f bijektiv, so ist f injektiv und g surjektiv. Geben Sie ein Beispiel an, so dass g [mm] \circ [/mm] f bijektiv, aber f nicht surjektiv und g nicht injektiv ist. |
Hey,
auch zu dieser Aufgabe würde ich mir wünschen, dass ihr mal drüberschaut.
Meine Vorschläge
a)
Es seien f: X [mm] \rightarrow [/mm] Y und g: Y [mm] \rightarrow [/mm] Z
-Eine Abbildung heißt surjektiv, falls es zu jedem y [mm] \in [/mm] Y ein x [mm] \in [/mm] X gibt, mit f(x) = y, d.h. falls f(X) = Y gilt.
-Eine Abbildung heißt injektiv, falls für alle x, x' [mm] \in [/mm] X gilt:
x [mm] \not= [/mm] x', so ist auch f(x) [mm] \not= [/mm] f(x').
Sei y [mm] \in [/mm] Y beliebig. Nach Voraussetzung gilt:
f:X [mm] \rightarrow [/mm] Y mit f(x) = y.
Da f:X [mm] \rightarrow [/mm] Y eine Abbildung von X nach Y ist, sind [mm] f(x_{1}), f(x_{2}) \in [/mm] Y.
Da f:X [mm] \rightarrow [/mm] Y eine Abbildung von X nach Y ist, sind [mm] f(x_{1}) [/mm] und [mm] f(x_{2}) \in [/mm] Y.
Nach Voraussetzung gilt für die Komposition mit [mm] f(x_{1}) [/mm] = [mm] f(x_{2} \in [/mm] Y :
[mm] g(f(x_{1})) [/mm] = [mm] g(f(x_{2})), [/mm] d.h. ( g [mm] \circ f)(x_{1}) [/mm] = (g [mm] \circ f)(x_{2}).
[/mm]
Da g: Y [mm] \rightarrow [/mm] Z eine Abbildung von Y nach Z und
[mm] g(y_{1}), g(y_{2}) \in [/mm] Z.
Seien [mm] y_{1}, y_{2} \in [/mm] Y mit [mm] g(y_{1}) [/mm] = [mm] g(y_{2}). [/mm]
zu zeigen:
[mm] y_{1} [/mm] = [mm] y_{2}
[/mm]
Da f:X [mm] \rightarrow [/mm] Y surjektiv und (g [mm] \circ f)(x_{1}) [/mm] = ( g [mm] \circ f)(x_{2}) [/mm] folgt.
[mm] g(f(x_{1}) [/mm] = [mm] g(f(x_{2}) \gdw g(y_{1}) [/mm] = [mm] g(y_{2})
[/mm]
D.h. aufgrund der Komposition g [mm] \circ [/mm] f folgt
[mm] y_{1} [/mm] = [mm] y_{2}
[/mm]
Bsp.:
für Abbildung f und g:
g: [mm] \IR \rightarrow \IR_{\ge 0} [/mm] g(x) = [mm] x_{2}
[/mm]
f: [mm] \IR \ge [/mm] 0 [mm] \rightarrow \IR [/mm] f(x) = [mm] \sqrt{x}
[/mm]
(g [mm] \circ [/mm] f): [mm] \IR \rightarrow \IR [/mm] (g [mm] \circ [/mm] f)(x) = g(f(x))= [mm] \sqrt{x^{2}} [/mm] = |x|
-g: X [mm] \rightarrow [/mm] Y ist nicht surjektiv, da für alle [mm] x_{1}, x_{2} \in [/mm] X mit der Eigentschaft [mm] f(x_{1}) [/mm] = [mm] f(x_{2}) [/mm] nicht [mm] x_{1} [/mm] = [mm] x_{2} [/mm] folgt.
-Komposition ist injektiv
b) folgt.
mfg,
zjay
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> Es seien f:X [mm]\rightarrow[/mm] Y und g : Y [mm]\rightarrow[/mm] Z
> Abbildungen.
>
> a) Zeigen Sie: ist f surjektiv und g [mm]\circ[/mm] f injektiv, so
> ist g injektiv. Geben Sie Abbildungen f und g an, so dass
> gilt: g [mm]\circ[/mm] f ist injektiv und g ist nicht injektiv.
Hallo,
Vorüberlegungen:
> a)
>
> Es seien f: X [mm]\rightarrow[/mm] Y und g: Y [mm]\rightarrow[/mm] Z
> -Eine Abbildung f heißt surjektiv, falls es zu jedem y [mm]\in[/mm]
> Y ein x [mm]\in[/mm] X gibt, mit f(x) = y, d.h. falls f(X) = Y
> gilt.
> -Eine Abbildung f heißt injektiv, falls für alle x, x' [mm]\in[/mm]
> X gilt:
ist
> x [mm]\not=[/mm] x', so ist auch f(x) [mm]\not=[/mm] f(x').
>
> Sei y [mm]\in[/mm] Y beliebig. Nach Voraussetzung
[mm] "f:X\to [/mm] Y surjektiv"
> gilt:
>
Es gibt ein [mm] x\in [/mm] X mit
> f(x) = y.
>
> Da f:X [mm]\rightarrow[/mm] Y eine Abbildung von X nach Y ist, sind
> [mm]f(x_{1})[/mm] und [mm]f(x_{2}) \in[/mm] Y.
> Nach Voraussetzung gilt für die Komposition mit [mm]f(x_{1})[/mm]
> = [mm]f(x_{2} \in[/mm] Y :
>
> [mm]g(f(x_{1}))[/mm] = [mm]g(f(x_{2})),[/mm] d.h. ( g [mm]\circ f)(x_{1})[/mm] = (g [mm]\circ f)(x_{2}).[/mm]
Das hat nichts mit speziellen Voraussetzungen zu tun.
Wenn die Argumente gleich sind, sind bei Funktionen immer die Funktionswerte gleich.
>
> Da g: Y [mm]\rightarrow[/mm] Z eine Abbildung von Y nach Z und
> [mm]g(y_{1}), g(y_{2}) \in[/mm] Z.
Alles, was Du bis hierher getan hast, ist zwar wichtig für Dich, Du brauchst es im Beweis jedoch nicht mit hinzuschreiben.
So, jetzt beginnt der
Beweis:
>
> Seien [mm]y_{1}, y_{2} \in[/mm] Y mit [mm]g(y_{1})[/mm] = [mm]g(y_{2}).[/mm]
>
> zu zeigen:
>
> [mm]y_{1}[/mm] = [mm]y_{2}[/mm]
Genau.
>
> Da f:X [mm]\rightarrow[/mm] Y surjektiv,
gibt es zu [mm] y_1, y_2\in [/mm] Y passende [mm] x_1,x_2\in [/mm] X mit
[mm] f(x_1)=y_1 [/mm] und [mm] f(x_2)=y_2.
[/mm]
Also gilt
>
> [mm]g(f(x_{1})[/mm] [mm] =g(f(x_{2}) [/mm]
<==> [mm] (g\circ f)(x_1)=(g\circ f)(x_2).
[/mm]
Aufgrund der Injektivität von [mm] g\circ [/mm] f folgt ...
Also ist [mm] f(x_1)= f(x_2), [/mm] und somit
>
> [mm]y_{1}[/mm] = [mm]y_{2}[/mm]
>
> Bsp.:
>
> für Abbildung f und g:
>
> g: [mm]\IR \rightarrow \IR_{\ge 0}[/mm] g(x) = [mm]x^{2}[/mm]
>
> f: [mm]\IR \ge[/mm] 0 [mm]\rightarrow \IR[/mm] f(x) = [mm]\sqrt{x}[/mm]
>
> (g [mm]\circ[/mm] f): [mm]\IR \rightarrow \IR[/mm]
Nein. [mm] g\circ [/mm] f bildet aus dem [mm] \IR_{\ge 0} [/mm] in den [mm] \IR_{\ge 0} [/mm] ab.
> (g [mm]\circ[/mm] f)(x) =
> g(f(x))= [mm]\sqrt{x^{2}}[/mm] = |x|
es ist [mm] g(f(x))=(\wurzel{x})^2=x.
[/mm]
>
> -g: X [mm]\rightarrow[/mm] Y ist nicht surjektiv,
Du redest von g: [mm]\IR \rightarrow \IR_{\ge 0}[/mm] mit [mm] g(x):=x^{2}?
[/mm]
Die ist nicht surjektiv.
> da für alle
> [mm]x_{1}, x_{2} \in[/mm] X mit der Eigentschaft [mm]f(x_{1})[/mm] = [mm]f(x_{2})[/mm]
> nicht [mm]x_{1}[/mm] = [mm]x_{2}[/mm] folgt.
???? Die Surjektivität von g hat doch nichts mit den Eigenschaften von f zu tun. (?)
> -Komposition ist injektiv
Das Beispiel funktioniert,
aber Deine Argumentation paßt überhaupt nicht.
Gefragt war doch nach Funktionen f,g, so daß
g [mm]\circ[/mm] f injektiv
und g nicht injektiv ist.
LG Angela
>
> b) folgt.
>
> mfg,
>
> zjay
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:27 Do 22.11.2012 | | Autor: | zjay |
| Aufgabe | Es seien f:X [mm] \rightarrow [/mm] Y und g : Y [mm] \rightarrow [/mm] Z Abbildungen.
a) Zeigen Sie: ist f surjektiv und g [mm] \circ [/mm] f injektiv, so ist g injektiv. Geben Sie Abbildungen f und g an, so dass gilt: g [mm] \circ [/mm] f ist injektiv und g ist nicht injektiv.
b) Zeigen Sie: Ist g [mm] \circ [/mm] f bijektiv, so ist f injektiv und g surjektiv. Geben Sie ein Beispiel an, so dass g [mm] \circ [/mm] f bijektiv, aber f nicht surjektiv und g nicht injektiv ist. |
Hey,
auch zu dieser Aufgabe würde ich mir wünschen, dass ihr mal drüberschaut.
Meine Vorschläge
a)
Es seien f: X [mm] \rightarrow [/mm] Y und g: Y [mm] \rightarrow [/mm] Z
-Eine Abbildung heißt surjektiv, falls es zu jedem y [mm] \in [/mm] Y ein x [mm] \in [/mm] X gibt, mit f(x) = y, d.h. falls f(X) = Y gilt.
-Eine Abbildung heißt injektiv, falls für alle x, x' [mm] \in [/mm] X gilt:
x [mm] \not= [/mm] x', so ist auch f(x) [mm] \not= [/mm] f(x').
Sei y [mm] \in [/mm] Y beliebig. Nach Voraussetzung gilt:
f:X [mm] \rightarrow [/mm] Y mit f(x) = y.
Da f:X [mm] \rightarrow [/mm] Y eine Abbildung von X nach Y ist, sind [mm] f(x_{1}), f(x_{2}) \in [/mm] Y.
Da f:X [mm] \rightarrow [/mm] Y eine Abbildung von X nach Y ist, sind [mm] f(x_{1}) [/mm] und [mm] f(x_{2}) \in [/mm] Y.
Nach Voraussetzung gilt für die Komposition mit [mm] f(x_{1}) [/mm] = [mm] f(x_{2} \in [/mm] Y :
[mm] g(f(x_{1})) [/mm] = [mm] g(f(x_{2})), [/mm] d.h. ( g [mm] \circ f)(x_{1}) [/mm] = (g [mm] \circ f)(x_{2}).
[/mm]
Da g: Y [mm] \rightarrow [/mm] Z eine Abbildung von Y nach Z und
[mm] g(y_{1}), g(y_{2}) \in [/mm] Z.
Seien [mm] y_{1}, y_{2} \in [/mm] Y mit [mm] g(y_{1}) [/mm] = [mm] g(y_{2}). [/mm]
zu zeigen:
[mm] y_{1} [/mm] = [mm] y_{2}
[/mm]
Da f:X [mm] \rightarrow [/mm] Y surjektiv und (g [mm] \circ f)(x_{1})
[/mm]
oh, vielen Dank, ich korrigiere das mal besser schleunigst bevor ich es abgebe.
mfg,
zjay
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