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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:51 Mo 25.02.2008 | | Autor: | semaJ |
| Aufgabe | a)
Seien A, B Mengen. [mm]A=\{6,7,8\} ; B=\{6,7,8,9\}[/mm]
Gegeben sei die Abbildung
[mm]f : A \to B ; x \mapsto x+1 [/mm]
Untersuchen Sie f auf Injektivität und Surjektivität.
b)
Gegeben seien die (verschiedenen!!) Abbildungen
[mm]f : \IZ \to \IZ ; x \mapsto 2x-5 [/mm] sowie
[mm]g : \IQ \to \IQ ; x \mapsto 2x-5[/mm]
Untersuchen Sie f und g auf Injektivität und Surjektivität. |
Hallo,
ich bins ma wieder :P
Also ich hab mir das Thema Abbildungen vorgenommen und wollte dort 2 Aufgaben rechnen.
Die erste Aufgabe a) hab ich auch geschafft (injektiv, nicht surjektiv)!
Doch dann kam b)...
Bei a) ist es ja ziemlich einfach herauszufinden, ob f injektiv bzw. surjektiv ist, da die Mengen ja endlich und vor allem klein sind.
Aber wenn man nun die Menge der Ganzen Zahlen nimmt, die ist ja unendlich. Meine Frage lautet nun im Grunde wie stellt man fest ob die besagten Abbildungen f und g injektiv bzw. surjektiv sind. Wie geht man da vor?
Ich würde sagen f ist injektiv und nicht surjektiv!
Mein Ansatz:
[mm]1 \mapsto -3[/mm]
[mm]2 \mapsto -1[/mm]
[mm]3 \mapsto 1[/mm]
[mm]4 \mapsto 3[/mm]
Dies wiederum:
[mm]
\bruch{11}{2} \mapsto 6
[/mm]
geht ja nicht, da [mm]\bruch{11}{2} \notin \IZ [/mm]. Es werden nie gerade Zahlen getroffen!
Gibt es da irgendwie noch ein anderen Weg das festzustellen, oder schreibt man das so auch in einer Klausur auf?
Vielleicht kann mir das mal einer bei f zeigen? Ich würde das gerne genau verstehen!
gruß
"Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt."
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:41 Mo 25.02.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
bei der ersten ist es in der Tag recht einfach. Da kannst du ja schon allein wegen f(x)=x+1 sagen, dass das Injektiv ist. Die Surjektivität kannst du einfach zeigen, indem du zeigst, dass es zu der 6 kein Urbild gibt.
Bei den letzen beiden hast du Recht: Es sind unendliche Mengen (aber abzählbare...). D.h. du kannst nicht einfach für alle Elemente durchprobieren.
Deshalb bedient man sich einfach der Definition der Injektivität und der Surjektivität.
Injektivität heißt: f(x)=f(y) [mm] \Rightarrow [/mm] x=y.
D.h. wenn zwei Funktionswerte gleich sind, dann müssen sie schon das selbe Urbild gehabt haben. Anders ausgedrückt: Jedes Element aus deiner Zielmenge hat höchstens einen "Abbildungspfeil". (Es kann auch keinen Abbildungspfeil haben...)
Die Injektivität zu zeigen ist bei den Aufgaben relativ einfach. Das verläuft für beide Mengen analog.
Dann kommt die Surjektivität:
Sei $f: A [mm] \to [/mm] B$. Sei [mm] $y\in [/mm] B$. Dann muss gelten: [mm] $\forall [/mm] y [mm] \exists [/mm] x : f(x)=y$
So würden die Mathematiker das exakt formulieren.
Ich schreibe es dir mal in "Deutsch":
Für jedes Element aus deiner Menge, in die du Abbildest, muss es ein Element aus der Ursprungsmenge geben, so dass f(x)=y gilt. D.h. jedes Element aus der Abbildungsmenge hat mindestens einen Pfeil, der aus der Ursprungsmenge kommt. Es muss mindestens eins haben, kann aber auch mehr haben.
Dein Ansatz ist okay, aber du kannst es auch "formeller" machen:
$y=2x-5 [mm] \gdw x=\frac{y+5}{2}$ [/mm]
Jetzt kannst du am besten einen Widerspruch führen: Sei [mm] y=0\in\IZ. [/mm] Was kannst du dann für x folgern, und was weist du über x?
Nun, wenn x aber aus [mm] \IQ [/mm] sein darf, dann weist du, dass du mit jeder rationalen Zahl auch wieder eine andere rationale Zahl erzeugen kannst, wenn du dir den Bruch ansiehst. Was kannst du dann über die Surjektivität aussagen?
Ich hoffe ,ich konnte dir helfen.
LG
Kroni
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