Abbildungen und Peano-Axiome < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sei eine Menge M und die Abbildung s: M [mm] \to [/mm] M. Überprüfe die Peano-Axiome für die folgenen Paare (M,s)
a) [mm] M=\{2,3,6,8,..\}, [/mm] s(x)=x+2
b) [mm] M=\IN \cup \{\IN + \bruch{1}{2}\}, [/mm] s(x)=x+1 |
Hallo,
wir hatten bei uns die Peano-Axiome wie folgt definiert.
Sei $ [mm] \IN [/mm] $ eine ausgezeichnete Menge und 0 $ [mm] \in \IN [/mm] $ ein Element aus $ [mm] \IN. [/mm] $ Weiter sei S: $ [mm] \IN \to \IN [/mm] $ eine Abbildung, für die gilt:
(1) 0 $ [mm] \not\in S(\IN) [/mm] $
(2) S ist injektiv
(3) Sei A $ [mm] \subset \IN [/mm] $ mit 0 $ [mm] \in [/mm] $ A und für jedes a $ [mm] \in [/mm] $ A gelte S(a) $ [mm] \in [/mm] $ A. Dann ist $ [mm] A=\IN. [/mm] $
Jetzt muss ich ja diese Axiome auf die oben gegeben Eigenschaften anwenden.
a) [mm] M=\{2,3,6,8,..\}, [/mm] s(x)=x+2
Ich denke, diese Abbildung erfüllt alle Bedingungen von Peano, da
1) 0 [mm] \not\in [/mm] s(M), denn s(2)=2+2=4
2) Außerdem ist die Abbdilung s injektiv, da:
seien x,y [mm] \in [/mm] M, dann gilt x+2=y+2 [mm] \Rightarrow [/mm] x=y, damit ist s injektiv
Das müsste doch bis hierher stimmen, oder?? jetzt weiß ich nicht, wie ich den dritten Teil zeigen kann....
Und bei b), weiß ich nicht genau, wie das mit M gemeint ist.
b) [mm] M=\IN \cup \{\IN + \bruch{1}{2}\} [/mm]
Ist das gleichbedeutend mit [mm] M=\{1, 1.5, 2, 2.5, 3, 3.5, 4, ... \}???
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:01 Sa 23.04.2011 | | Autor: | Manatu |
Hallo steve.joke,
erstmal ein paar "Richtigstellungen" bzw. Fragen zu deiner Frage:
> a) [mm] $M=\{2,3,6,8,..\}$, [/mm] $s(x)=x+2$
Es muss wohl [mm] $M=\{2,4,6,8,\ldots\}, [/mm] s(x)=x+2$ heißen?!
> b) [mm]M=\IN \cup \{\IN + \bruch{1}{2}\}[/mm]
> Ist das gleichbedeutend mit [mm]M=\{1, 1.5, 2, 2.5, 3, 3.5, 4, ... \}???[/mm]
Auch hier erst einmal eine Gegenfrage:
Ist nicht [mm] $\IN \cup (\IN [/mm] + [mm] \bruch{1}{2})$ [/mm] gemeint? Achtung, das ist ein großer Unterschied. Bei dem, was du notiert hast, würdest du die Menge [mm] $\IN$ [/mm] vereinigen mit der Menge, in der nur das Element [mm] $\IN+\bruch12$ [/mm] drin ist. Ich glaube nicht, dass das gemeint ist. Ich gehe davon aus, dass du meintest:
[mm] $\IN \cup (\IN [/mm] + [mm] \bruch{1}{2})$.
[/mm]
Dann stimmt, was du schreibst, so in etwa. Es bedeutet: Nimm [mm] $\IN$ [/mm] und vereinige mit der Menge, die entsteht, wenn du zu allen (!!) Elementen in [mm] $\IN$ [/mm] jeweils [mm] $\bruch12$ [/mm] dazu addierst.
Jetzt weiß ich nicht, wie ihr [mm] $\IN$ [/mm] verwendet: Ist die 0 enthalten? Wahrscheinlich ja, musst du nachforschen. Denn dann ist [mm] $\IN \cup (\IN [/mm] + [mm] \bruch12) [/mm] = [mm] \{0,\bruch12,1,\bruch32,\ldots\}$.
[/mm]
Nun zu den Axiomen. Hier erst einmal der Hinweis: Bitte auch in diesem Forum vollständige Sätze und in Zusammenhängen schreiben.
> Sei [mm]\IN[/mm] eine ausgezeichnete Menge und 0 [mm]\in \IN[/mm] ein Element
> aus [mm]\IN.[/mm] Weiter sei S: [mm]\IN \to \IN[/mm] eine Abbildung, für die
> gilt:
>
> (1) 0 [mm]\not\in S(\IN)[/mm]
> (2) S ist injektiv
> (3) Sei A [mm]\subset \IN[/mm] mit 0 [mm]\in[/mm] A und für jedes a [mm]\in[/mm] A
> gelte S(a) [mm]\in[/mm] A. Dann ist [mm]A=\IN.[/mm]
Hier fehlt eindeutig ein "Dann ...". Es fehlt mir völlig der Kontext bei dieser Formulierung.
Aber ich verstehe: Es geht also darum, diese drei Axiome (1)-(3) für deine beiden Beispiele a) und b) nachzuweisen.
> 1) 0 [mm]\not\in[/mm] s(M), denn s(2)=2+2=4
Was hat $s(2) = 2+2=4$ damit zu tun, ob [mm] $0\not\in [/mm] s(M)$ gilt?
Du meinst:
Wähle das Element [mm] $2\in [/mm] M$ als 0, dann gilt 1), denn
$s(M) = M+2 = [mm] \{4,6,8,10,\ldots\}$ [/mm] und [mm] $2\not\in [/mm] s(M)$.
> 2) Außerdem ist die Abbdilung s injektiv, da:
>
> seien x,y [mm]\in[/mm] M, dann gilt x+2=y+2 [mm]\Rightarrow[/mm] x=y, damit
> ist s injektiv
gut!
> jetzt weiß
> ich nicht, wie ich den dritten Teil zeigen kann....
vielleicht so: (Erinnerung: Wir haben $2=0$ gewählt!)
Sei [mm] $A\subset [/mm] M$ mit [mm] $2\in [/mm] A$ und für jedes [mm] $a\in [/mm] A$ gelte [mm] $s(a)\in [/mm] A$.
Dann gilt mit [mm] $2\in [/mm] A$ auch [mm] $s(2)=2+2=4\in [/mm] A$, woraus folgt $s(4) = 4+2 =6 [mm] \in [/mm] A$. Und so weiter.
Das heißt, es ist [mm] $A=\{n * 2|n\in\IN\backslash\{0\}\}$ [/mm] und das ist ja gerade $M$. Also folgt $A=M$. Das war zu zeigen.
Ich hoffe, ich konnte helfen. Bei b) kannst du das jetzt nochmal selbst probieren.
Wenn es noch Fragen gibt, einfach wieder posten.
Noch eine allgemeine, letzte Anmerkung:
Achte bitte bei deinen mathematischen Bezeichnern UNBEDINGT auf Groß- und Kleinschreibung! In der Mathematik ist $s$ und $S$ was anderes.
Wenn du deine Abbildungen in der Aufgabe als $s(x) = x+2$ einführst, kannst du nicht später $S(x)$ dafür schreiben.
Viel Erfolg und Spaß beim Rechnen des zweiten Beispiels. Und gerne wieder posten bei Fragen.
Gruß,
Manatu
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HI Manatu,
vielen Dank erstmal für deine Tipps.
> Es muss wohl $ [mm] M=\{2,4,6,8,\ldots\}, [/mm] s(x)=x+2 $ heißen?!
Hier hast du Recht, da hatte ich mich vertippt. Sorry.
> Auch hier erst einmal eine Gegenfrage: Ist nicht $ [mm] \IN \cup (\IN [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}) [/mm] $ gemeint?
Also nach deinem Kommentar habe ich mir gerade extra nochmal das Blatt angeschaut und da steht aber wirklich das, was ich aufgeschrieben hatte. also:
$ [mm] M=\IN \cup \{\IN + \bruch{1}{2}\} [/mm] $
> Bei dem, was du notiert hast, würdest du die Menge $ [mm] \IN [/mm] $ vereinigen mit der Menge, in der nur das Element $ [mm] \IN+\bruch12 [/mm] $ drin ist.
[mm] \{\IN+\bruch12\} [/mm] sind doch einfach alle ungeraden Zahlen, oder?? Also [mm] \{1.5, 2.5, 3., ....\} [/mm] , weil ich ja zu einer natürlichen Zahl einfach 0,5 dazu addiere? Oder was meinst du mit NUR DAS ELEMENT?? Weil für [mm] \IN [/mm] kann ich doch mehrere Zahlen einsetzten.
Deswegen dachte ich auch, dass es auch in meiner Darstellung $ [mm] M=\{1, 1.5, 2, 2.5, 3, 3.5, 4, ... \} [/mm] bedeutet.
> Jetzt weiß ich nicht, wie ihr $ [mm] \IN [/mm] $ verwendet: Ist die 0 enthalten?
Ne, bei uns ist [mm] \IN [/mm] ohne 0, mit 0 haben wir als [mm] \IN_0 [/mm] definiert.
> Hier fehlt eindeutig ein "Dann ...". Es fehlt mir völlig der Kontext bei dieser Formulierung.
> Aber ich verstehe: Es geht also darum, diese drei Axiome (1)-(3) für deine beiden Beispiele a) und b) nachzuweisen.
Ich habe hier leider nur das wiedergeben, was im Skript stand. So hatten wir das nämlich definiert. Und deswegen denke ich, dass wir diese drei Axiome bei den Beispielen überprüfen sollen.
> Was hat $ s(2) = 2+2=4 $ damit zu tun, ob $ [mm] 0\not\in [/mm] s(M) $ gilt?
> Du meinst:
> Wähle das Element $ [mm] 2\in [/mm] M $ als 0, dann gilt 1), denn
$ s(M) = M+2 = [mm] \{4,6,8,10,\ldots\} [/mm] $ und $ [mm] 2\not\in [/mm] s(M) $.
Achso, in der Def. musste man nur 0 überprüfen, weil die Menge N auch 0 enthält, richtig? Da hier unser kleinstest Element 2 ist, muss ich das Spielchen mit der 2 machen. Verstehe.
Ok und um nun das ganze für b) zu machen, müssten wir noch oben den Schritt klären, nämlich was nun [mm] M=\IN \cup \{\IN + \bruch{1}{2}\} [/mm] ist, damit wir wissen, was überhaupt das kleinste Element ist.
Achja und zu der Groß- und Kleinschreibung hast du natürlich Recht. Da muss ich mehr aufpassen. Lag aber auch dran, dass wir im Skript ein großes S (denke ich zumindest, dass das ein großes S war) benutzt haben und in der Aufgabenstellung ein kleines.
Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:23 Di 26.04.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 05:56 Fr 29.04.2011 | | Autor: | Manatu |
Hallo steve.joke,
tut mir leid, dass ich erst jetzt wieder online bin, ich schaffe es leider nicht so sehr häufig in den MatheRaum.
> > Auch hier erst einmal eine Gegenfrage: Ist nicht [mm]\IN \cup (\IN + \bruch{1}{2})[/mm]
> gemeint?
>
> Also nach deinem Kommentar habe ich mir gerade extra
> nochmal das Blatt angeschaut und da steht aber wirklich
> das, was ich aufgeschrieben hatte. also:
>
> [mm]M=\IN \cup \{\IN + \bruch{1}{2}\}[/mm]
Kann ich mir nicht vorstellen, weil das nicht viel Sinn macht.
> [mm]\{\IN+\bruch12\}[/mm] sind doch einfach alle ungeraden Zahlen,
> oder??
Vorsicht mit deiner Sprache: Mit ungeraden Zahlen hat das gar nichts zu tun. Aber ja: Wenn runde Klammern stünden, würde es genau das meinen: Auf jede Zahl in [mm] $\IN$ [/mm] noch ein Halbes drauf addieren.
> Also [mm]\{1.5, 2.5, 3., ....\}[/mm] , weil ich ja zu einer
> natürlichen Zahl einfach 0,5 dazu addiere?
Genau so. (das sind aber nicht die ungeraden Zahlen)
> Oder was meinst
> du mit NUR DAS ELEMENT?? Weil für [mm]\IN[/mm] kann ich doch
> mehrere Zahlen einsetzten.
Also, es ist eine Mengentheoretische Feinheit: Mit den geschweiften Klammern werden Mengen angegeben, die Elemente enthalten.
Die Menge [mm] $(\IN+\bruch12)$ [/mm] hat abzählbar unendlich viele Elemente, nämlich die oben genannten.
Die Menge [mm] $\{\IN+\bruch12\}$ [/mm] hat aber nur ein einziges Element, nämlich [mm] $\IN+\bruch12$. [/mm] Dieses Element ist selbst auch wieder eine Menge, das tut aber nichts zur Sache. Die Menge [mm] $\{\IN+\bruch12\}$ [/mm] hat nur ein Element.
Und wenn du das zu [mm] $\IN$ [/mm] dazu nimmst, dann hilft das gar nichts, schon deshalb, weil nicht erklärt ist, wie man dieses Element [mm] ($\IN+\bruch12$) [/mm] $+1$ rechnen soll, was man in den Peano-Axiomen ja müsste. Da müsste ja wieder ein Element von [mm] $\IN\cup\{\IN+\bruch12\}$ [/mm] rauskommen. Keine Ahnung, was das sein soll ...
> Deswegen dachte ich auch, dass es auch in meiner
> Darstellung $ [mm]M=\{1, 1.5, 2, 2.5, 3, 3.5, 4, ... \}[/mm]
> bedeutet.
Deshalb denke ich auch, dass es runde Klammern sein müssten und dann stimmt das hier.
> > Was hat [mm]s(2) = 2+2=4[/mm] damit zu tun, ob [mm]0\not\in s(M)[/mm] gilt?
> > Du meinst:
> > Wähle das Element [mm]2\in M[/mm] als 0, dann gilt 1), denn
> [mm]s(M) = M+2 = \{4,6,8,10,\ldots\}[/mm] und [mm]2\not\in s(M) [/mm].
> Achso, in der Def. musste man nur 0 überprüfen, weil die
> Menge N auch 0 enthält, richtig? Da hier unser kleinstest
> Element 2 ist, muss ich das Spielchen mit der 2 machen.
> Verstehe.
Jein, wenn du das so verstehst, ok. Stimmt aber nicht ganz: $0$ ist ein beliebiges, aber extra benanntes Element in deiner Menge $M$. Zunächst ist das völlig egal, was das für eines ist. Es wird halt mit dem Symbol $0$ benannt. Dass das zufällig das "kleinste" Element ist, ergibt sich aus der Struktur der Peano-Axiome und daraus, dass du ja immer eines drauf addierst und "zum nächsten" weitergehst.
Aus diesem Grund wählt man hier im Beispiel geschickter Weise eben die 2 als das mit $0$ bezeichnete Element.
Ich hoffe, das konnte noch ein bisschen helfen, auch wenn's zu spät war.
Aber im Wesentlichen hattest du's ja vorher schon.
Viele Grüße,
Manatu
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:30 Di 03.05.2011 | | Autor: | steve.joke |
Hi,
vielen Dank für deine Tipps nochmal. Habe erst jetzt gesehen, dass du darauf nochmal geantwortet hattest. 
Grüße
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