Abbildungsmatrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:20 So 16.12.2007 | | Autor: | Tyskie84 |
| Aufgabe | | Betrachte die lineare Abbildung f: [mm] \IR^{4} \to \IR^{3}, [/mm] die bezüglich der Standardbasen durch die Matrix [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 } [/mm] beschrieben ist. Bestimmen Sie die Basen B von [mm] \IR^{4} [/mm] und B` von [mm] \IR³, [/mm] so dass die Matrix von f bezüglich B und B` die Normalform [mm] M_{B`}^{B} [/mm] (f) = [mm] \pmat{ E & 0 \\ 0 & 0 } [/mm] hat. Hierbei bezeichnet E eine Identitätsmatrix geeigneter Größe und 0 Null- Matrix geeigneter Größe. |
Hallo!
Ich hab hier irgendwie ein verständnisproblem bei der Aufgabe. Ich soll ja eine Basis B und B'bezüglich der oben genannten Matrix finden. Das bedeutet ja das die Basis B 4- dimensional ist und die Basis B' 3-dimensional ist. Aber wie komme ich zu der Basis? Kann ich für B dann einfach die Standardbasis nehmen? Die Abbildungsmatrix die ich berechnen soll hat ja stark von der Wahl der Basis ab sodass wenn ich die Basis dann ändere dann eine andere Abbildungsmatrix bekomme. Irgendwie muss es doch ein verfahren geben wie ich die richtige Basis finden kann? Kann mir da vielleicht einer weiterhelfen und einen tipp geben?
Viele Grüße
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> Betrachte die lineare Abbildung f: [mm]\IR^{4} \to \IR^{3},[/mm] die
> bezüglich der Standardbasen durch die Matrix [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
> beschrieben ist. Bestimmen Sie die Basen B von [mm]\IR^{4}[/mm] und
> B' von [mm]\IR³,[/mm] so dass die Matrix von f bezüglich B und B'
> die Normalform [mm]M_{B'}^{B}[/mm] (f) = [mm]\pmat{ E & 0 \\ 0 & 0 }[/mm]
> hat. Hierbei bezeichnet E eine Identitätsmatrix geeigneter
> Größe und 0 Null- Matrix geeigneter Größe.
Hallo,
mach es so:
bestimme eine Basis des Kerns von f.
Diese Vektoren bilden die letzten Basisvektoren Deiner Basis B von [mm] \IR^4.es [/mm]
(Wenn ich nicht schief gucke, ist in Deiner Aufgabe die Dimension des Kerns =1, es ist also nur ein Vektor, der den Kern aufspannt.)
Ergänze diese Vektoren zu einer Basis B des [mm] \IR^4.
[/mm]
Die ersten Vektoren dieser Basis bilden nun auf eine Basis des Bildes ab.
Berechne nun die Bilder der ersten Basisvektoren. Diese kannst Du dann als Basis B' v. [mm] \IR^3 [/mm] verwenden, und Deine Darstellende Matrix hat damit genau die geforderte Gestalt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:16 So 16.12.2007 | | Autor: | Tyskie84 |
Hallo!
Erst mal vielen Dank für die schnelle Antwort und den Tipp!
Also ich habe jetzt den rang der Matrix bestimmt um auf die dimension des Kernes von f zu schließen. du hast recht er ist 1. Dan habe ich den Vektor des Kerns. Er ist Ker(f) = [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 1 \\ 0} [/mm] Dann ergänze ich ihn zu einer Basis des [mm] \IR^{4}. [/mm] Also [mm] \IB [/mm] = { [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 }, \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 }, \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1} [/mm] }. Nun habe ich die Basis B'bestimmt. Und komme auf [mm] \IB' [/mm] = { [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1}, \vektor{0 \\ 1 \\ 0}, \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] } Hier komm ich irgendwie nicht weiter.....Im Prinzip weiss ich wie man eine Abbildungsmatrix bestimmt. Man muss ja die Bilder die wir vorhin berechnet haben als Linearkombination der Basis [mm] \IB [/mm] ' darstellen. Also f( [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0})= \vektor{1 \\ 0 \\ 1} [/mm] f( [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0})= \vektor{0 \\ 1 \\ 0 }, [/mm] f( [mm] \vektor{ 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 }) [/mm] = ? und f( [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 }) [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 }. [/mm] Sorry wenn das ein bisschen durcheinander ist. Ich komme irgendwie nicht weiter...
Gruß
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>Dan habe ich den Vektor des Kerns. Er ist Ker(f) =
> [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 1 \\ 0}[/mm]
Hallo,
Du meinst das Richtige: es ist [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 1 \\ 0} [/mm] eine basis des Kerns, also ist der Kern der von [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 1 \\ 0} [/mm] aufgespannte Raum, dh. [mm] Kernf=<\vektor{0 \\ 1 \\ 1 \\ 0}>.
[/mm]
Dann ergänze ich ihn zu einer
> Basis des [mm]\IR^{4}.[/mm]
Ja, aber ich hatte gesagt: nimm die Basis des Kerns als die letzten Vektoren.
Denn die darstellende Matrix soll dann ja so aussehen, daß am Ende der zu findenden Basis des [mm] \IR^4 [/mm] die Vektoren stehen, die auf den Nullvektor abgebildet werden, schau Dir die geforderte Matrix daraufhin nochmal an.
Also [mm]\IB[/mm] = { [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 }, \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 }, \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1}}.
[/mm]
Also B':=(vektor{1 [mm] \\ [/mm] 0 [mm] \\ [/mm] 0 [mm] \\ [/mm] 0 }, [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1}, \vektor{0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 })
[/mm]
Nun habe ich die Basis B'bestimmt. Und komme auf [mm]\IB'[/mm] =
> { [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1}, \vektor{0 \\ 1 \\ 0}, \vektor{1 \\ 0 \\ 0}} [/mm]
Ganz richtig.
Das sind die Bilder der ersten drei Basisvektoren v. B'.
Jetzt paß auf:
Es ist
[mm] f(\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 })=\vektor{1 \\ 0 \\ 1}=1*\vektor{1 \\ 0 \\ 1}+0*\vektor{0 \\ 1 \\ 0}+0*\vektor{1 \\ 0 \\ 0}=\vektor{1 \\ 0 \\ 0}_{B'}
[/mm]
[mm] f(\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0})=\vektor{0 \\ 1 \\ 0}=0*\vektor{1 \\ 0 \\ 1}+1*\vektor{0 \\ 1 \\ 0}+0*\vektor{1 \\ 0 \\ 0}=\vektor{0 \\ 1 \\ 0}_{B'}
[/mm]
[mm] f(\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1})=\vektor{1 \\ 0 \\ 0}=0*\vektor{1 \\ 0 \\ 1}+0*\vektor{0 \\ 1 \\ 0}+1*\vektor{1 \\ 0 \\ 0}=\vektor{0 \\ 0 \\ 1}_{B'},
[/mm]
und damit hast Du die ersten drei Spalten Deiner Matrix - keine Überraschung, denn die Basis B' ist ja gerade so gewählt, daß das klappt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:46 So 16.12.2007 | | Autor: | Tyskie84 |
Hallo
Demnach wäre dann meine Abbildungsmatrix: [mm] M^{B}_{B'}(f) [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0} [/mm] Aber das passt doch nicht zu meiner geforderten Form...
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> Hallo
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> Demnach wäre dann meine Abbildungsmatrix: [mm]M^{B}_{B'}(f)[/mm] =
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0}[/mm]
> Aber das passt doch nicht zu meiner geforderten Form...
Doch.
Die Nullmatrizen der letzten Zeile sind halt außerordentlich klein...
Die Matrix kann ja kein anderes als das 3x4-Format zu haben, und ihr Rang MUSS =3 sein.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:11 So 16.12.2007 | | Autor: | Tyskie84 |
Ok danke für deine Mühe aber ich verstehe nicht was du damit meinst
>
> Die Nullmatrizen der letzten Zeile sind halt
> außerordentlich klein...
Wie meinst du das?
> Die Matrix kann ja kein anderes als das 3x4-Format zu
> haben, und ihr Rang MUSS =3 sein.
Das ist klar! Ich hätte nur gedacht das sowas rauskommen müsste: [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]") Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:01 So 16.12.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Angela meinte augenzwinkernd dass auch gar keine Nullmatrix -also sehr winzig-
die Aufgabe erfüllt. also einfach (E,0)
deine vermutete hätte ja nicht Rang 3!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:23 Di 18.12.2007 | | Autor: | marteen |
Hallo,
vielen Dank für die verständliche Erläuterung. Nur habe ich an einer Stelle einen Knoten im Kopf. Warum kann ich mit Hilfe der angegebenen Matrix der Abbildung f bezüglich der Standardbasen die Bilder der neuen Basis B berechnen? Ich dachte, dass eine Matrix stark von der Wahl der Basis abhängt - und die Matrix ja "Auskunft" über die Darstellung einer ganz anderen Basis des [mm] R^4 [/mm] gibt - oder kann ich das gerade weil weil diese Matrix eine Matrix bezüglich der Standardbasis ist? So habe ich es mir erklärt, bin mir aber nicht sicher, ob das richtig ist.
Ich hoffe meine Frage ist einigermaßen verständlich formuliert.
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> Warum kann ich mit
> Hilfe der angegebenen Matrix der Abbildung f bezüglich der
> Standardbasen die Bilder der neuen Basis B berechnen? Ich
> dachte, dass eine Matrix stark von der Wahl der Basis
> abhängt - und die Matrix ja "Auskunft" über die Darstellung
> einer ganz anderen Basis des [mm]R^4[/mm] gibt - oder kann ich das
> gerade weil weil diese Matrix eine Matrix bezüglich der
> Standardbasis ist?
Hallo,
die tatsache, daß die Matrix die darstellende Matrix der Abbildung bzgl der Standardbasis ist, macht die Sache leicht. Gehen tut es aber prinzipiell - man muß sich halt u.U. mehr anstrengen.
Wir haben [mm] M(f)_{EE}=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 },
[/mm]
und wir können mit dieser Matrix den Funktionswert von jedem beliebigen Vektor aus dem [mm] \IR^4 [/mm] berechnen, einfach, indem wir den Vektor mit der Matrix multiplizieren.
Ich denke auch, daß Dir das völlig klar ist.
Nun schauen wir mal eine andere Basis des [mm] \IR^4 [/mm] an, die Basis [mm] C:=(c_1, ...,c_4) [/mm] mit
[mm] c_1=\vektor{1 \\ 2\\3\\4}_E, c_2:=\vektor{1 \\ 2\\3\\0}_E, c_3:=\vektor{1 \\ 2\\0\\0}_E, c_4:=\vektor{1 \\ 0\\0\\0}_E
[/mm]
Natürlich kann ich mit der Matrix das Bild von [mm] c_1 [/mm] berechnen - vorausgesetzt, ich verfüttere [mm] c_1 [/mm] so, daß der Vektor in Koordinaten bzgl. E vorliegt. Andere Vektoren "frißt" die Matrix nicht, bzw. sie kann sie nicht verdauen.
Ich stecke also mein [mm] c_1 [/mm] in Koordinaten bzgl E hinein, heraus kommt [mm] f(c_1) [/mm] in Koordinaten bzgl. E.
Wenn ich [mm] f(c_1) [/mm] in Koordinaten bzgl. C umwandeln möchte, macht das dann im Anschluß etwas zusätzliche Mühe.
Nächster Vektor:
Ich möchte das Bild von [mm] \vektor{1 \\ 1\\1\\1}_C [/mm] wissen. Dies ist ein Koordinatenvektor bzgl. C, und meine matrix kann ihn nur fressen, wenn ich ihn in einen Vektor bzgl. E umwandle.
Es ist [mm] \vektor{1 \\ 1\\1\\1}_C=1*c_1+...+1*c_4=\vektor{1 \\ 2\\3\\4}_E+\vektor{1 \\ 2\\3\\0}_E+\vektor{1 \\ 2\\0\\0}_E+\vektor{1 \\ 0\\0\\0}_E=\vektor{4 \\ 6\\6\\4}_E,
[/mm]
und diesen nimmt die Matrix anstandslos.
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Ein kleines anderes Beispiel. E sei die Standardbasis.
Es sei [mm] A:=\pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 } [/mm] die darstellende Matrix der Abbildung f bzgl der Basis [mm] G:=(\vektor{2 \\ 2}_E, \vektor{3 \\ 2}_E).
[/mm]
Die Basis H sei [mm] H:=(\vektor{7 \\ 6}_E, \vektor{1 \\ 0}_E)
[/mm]
Wenn ich mit dieser Matrix das Bild von [mm] \vektor{1\\ 0}_H, [/mm] also dem ersten Basisvektor v. H bestimmen will, muß ich ihn zuerst umwandeln in Koordinaten bzgl. G:
[mm] \vektor{1\\ 0}_H=1*\vektor{7 \\ 6}_E+0*\vektor{1 \\ 0}_E=\vektor{7 \\ 6}_E=2*\vektor{2 \\ 2}_E+1*\vektor{3 \\ 2}_E=\vektor{2 \\ 1}_G
[/mm]
Damit ist
[mm] f(\vektor{1\\ 0}_H)=f(\vektor{2 \\ 1}_G)=\pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 }*\vektor{2 \\ 1}_G=\vektor{4 \\ 10}_G=
[/mm]
[mm] 3*\vektor{2 \\ 2}_E+ 10*\vektor{3 \\ 2}_E=\vektor{36 \\ 26}_E, [/mm] und den müßte man dann wieder umwandeln in Koordinaten bzgl H, sofern einen diese interessieren.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:40 Di 18.12.2007 | | Autor: | marteen |
Vielen Dank für die tolle & umfassende Erläuterung!!
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