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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:18 Do 11.09.2008 | | Autor: | Andy85 |
| Aufgabe | Gegeben sei die Basis B={b1,b2,b3} mit
b1 = [1 2 1], b2 = [0 0 1] und b3 = [1 0 1] (Sollen Spaltenvektoren sein) sowie
die lineare abbildung L: von R3 nach R3 mit
L(b1) = 4b2, L(b2) = b1+b2, L(b3) = 0
a) Bestimmen sie die Abbildungsmatrix A von L bezüglich B
b) Bestimmen Sie den Kern der Abbildung L
c) Wie lautet die Abbildungsmatrix A von L bezüglich der Standardbasis E3 = {e1,e2,e3} der R3? |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:http://matheplanet.com/default3.html?user
Hey leute, irgendwie verstehe ich nicht recht, was es mit einer Abbildungsmatrix auf sich hat. Das inet konnte bisher leider nicht helfen.
Ich dachte eigentlich das eine abbildungsmatrix A einen wert in einen anderen abbildet
also wie in der aufgabe
A * b1 = 4b2
A * b2 = b1 + b2
...
Aber scheinbar ist dies nicht korrekt
also, könnte mir bitte jemand versuchen zu erklären, was genau eine abbildungsmatrix tut und wie ich die lösung dieser aufgabe angehe???
viele danke
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Hallo!
Das ist schon völlig korrekt, du steckst in eine Abbildungsmatrix einen Vektor rein, und dieser wird auf einen anderen Vektor abgebildet.
Nun kann es natürlich sein, daß alle Vektoren z.B. auf eine Grade abgebildet werden: [mm] A=\pmat{0&1\\0&1} [/mm] bildet alles auf die 1. Diagonale ab. Soetwas kannst du am Rang erkennen.
Dummerweise ist eine A.M. immer an eine Basis gebunden, in einer anderen Basis sieht die A.M. anders aus, obwohl sie DIE GLEICHE ABBILDUNG beschreibt.
Beispiel: Gewöhnlich ist die [mm] x_2 [/mm] -Koordinate vertikal, die [mm] x_1 [/mm] -Koordinate horizontal. Eine Spiegelung an der horizontalen ist dann [mm] A=\pmat{1&0\\0&-1} [/mm] .
Die grünen Männchen auf dem Mars haben eine andere Konvention. Hier beschreibt die erste Koordinate die Höhe, und die zweite den horizontalen Weg. Natürlich kennen auch die Marsianer die Spiegelung an der horizontalen, in ihrem System sieht sie aber so aus: [mm] A=\pmat{-1&0\\0&1}
[/mm]
Klar so weit? EINE Funktion, aber BASISABHÄNGIGE A.M.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:54 Do 11.09.2008 | | Autor: | Andy85 |
Soweit sogut :)
ich nähre mich dem ziel!
Aber was sagt dann die Basis B aus der aufgabenstellung aus?
ich weiss das die lösund der aufgabe a) so aussieht :
0 1 0
A = 4 0 0
0 1 0
Aber kann man sich das nicht irgendwie mathematisch als multiplikation aufschreiben?
ich versteh nicht wie man auf das ergebniss kommt, man kann es sehen, aber ich versteh es nicht und das kann ja nicht der sinn sein!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:28 Do 11.09.2008 | | Autor: | fred97 |
Schau Dir nochmal an wie allgemein die Abbildungsmatrix einer linearen Abb. bezgl gegebener Basen def, ist.
In Deinem Fall sind die Basen im Def. -Raum und im Zielraum die gleichen.
Wegen [mm] L(b_1) [/mm] = [mm] 4b_2 [/mm] = [mm] 0b_1 [/mm] + [mm] 4b_2+0b_3 [/mm] ist die erste Spalte der gesuchten Matrix A = [mm] \vektor{0 \\ 4 \\ 0}
[/mm]
Wegen [mm] L(b_2) [/mm] = [mm] b_1+ b_2 [/mm] = [mm] 1b_1 [/mm] + [mm] 1b_2+0b_3 [/mm] ist die zweite Spalte der gesuchten Matrix A = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
Wegen [mm] L(b_3) [/mm] = 0 = [mm] 0b_1 [/mm] + [mm] 0b_2+0b_3 [/mm] ist die dritte Spalte der gesuchten Matrix A = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Fazit : A = [mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 4 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
FRED
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