Abbildungsmatrix < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Durch die Abb.Matrix [mm] M^B_C(\varphi) [/mm] = [mm] \pmat{ 3 & -1 & 3 & 2 & 1 \\ 4 & 2 & -1 & 1 & 3 \\ 5 & 1 & 1 & 2 & 3} [/mm] sei eine lin. Abb. [mm] \varphi [/mm] von einem [mm] \IR-Vektorraum [/mm] mit Basis B in einen [mm] \IR-Vektorraum [/mm] W mit Basis C gegeben. Bestimmen Sie die Deminsion der Vektorräume V, W, [mm] Bild\varphi, Kern\varphi, W/Bild\varphi, V/Kern\varphi [/mm] |
Hi, gleich die nächste Frage hab noch zwei Tage um meine LA-Wissensschluchten mit paar improvisierten Hängebrücken auszustatten. Vielen Dank an euch!
Ich hab hier eine Abbildungsmatrix das ist keine Basiswechselmatrix? Ich dachte [mm] M^B_C [/mm] sind Basiswechselmatrizen. Dann hab ich hier eine Formel gefunden:
[mm] \kappa_A(Ker\varphi)=\IL_0(M_\varphi) [/mm] bzw. [mm] Ker\varphi=\kappa^{-1}_A\IL_0(M_\varphi))
[/mm]
[mm] \kappa_B(Im\varphi)=SR(M_\varphi) [/mm] bzw. [mm] Im\varphi=\kappa^{-1}_A SR(M_\varphi))
[/mm]
Könnt ihr mir den Zusammenhang in Wörter erklären? Und was machen eigentlich die Koordinatenabbildungen [mm] \kappa [/mm] ich hab mir das auch angeschaut aber wieso ist z.B. [mm] B=\left(\vektor{1 \\ 1},\vektor{1 \\ -1}\right)
[/mm]
[mm] \kappa_B: \IR^2 \mapsto \IR^2, \vektor{a\\b} \mapsto \vektor{\frac{a+b}{2}\\\frac{a-b}{2}}
[/mm]
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> Ich hab hier eine Abbildungsmatrix das ist keine
> Basiswechselmatrix? Ich dachte [mm]M^B_C[/mm] sind
> Basiswechselmatrizen.
[mm] M_{C}^{B}(\varphi) [/mm] ist die Darstellungsmatrix der Abbildung [mm] \varphi [/mm] bzgl der Basen B im Urbildraum und C im Bildraum.
> Dann hab ich hier eine Formel
> gefunden:
>
> [mm]\kappa_A(Ker\varphi)=\IL_0(M_\varphi)[/mm] bzw.
> [mm]Ker\varphi=\kappa^{-1}_A\IL_0(M_\varphi))[/mm]
>
> [mm]\kappa_B(Im\varphi)=SR(M_\varphi)[/mm] bzw.
> [mm]Im\varphi=\kappa^{-1}_A SR(M_\varphi))[/mm]
>
> Könnt ihr mir den Zusammenhang in Wörter erklären?
Bestimmt.
Aber meine Lust, noch die Bedeutung der Buchstaben zu erraten, ist mehr als mäßig...
Ich übersetze das mal flüchtig für die Matrix [mm] M_{C}^{B}(\varphi):
[/mm]
wenn Du diese Matrix nimmst und in gewohnter Manier ihren Kern bestimmst, dann bekommst Du den Kern in Koodinaten bzgl. B,
und wenn Du in gewohnter Manier das Bild bestimmst, so wird es Dir in Koordinaten bzgl. C geliefert.
Bei Bedarf mußt Du die entsprechenden Koordinatenvektoren noch umwandeln.
> Und
> was machen eigentlich die Koordinatenabbildungen [mm]\kappa[/mm] ich
> hab mir das auch angeschaut aber wieso ist z.B.
> [mm]B=\left(b_1:=\vektor{1 \\ 1},b_2:=\vektor{1 \\ -1}\right)[/mm]
>
> [mm]\kappa_B: \IR^2 \mapsto \IR^2, \vektor{a\\b} \mapsto \vektor{\frac{a+b}{2}\\\frac{a-b}{2}}[/mm]
>
[mm] \kappa_B [/mm] wandelt Vektoren, die in Koordinaten bzgl . der Standardbasis gegeben sind, in Koordinaten bzgl. der Basis B um.
Es ist doch [mm] \vektor{a\\b} =\frac{a+b}{2}b_1+\frac{a-b}{2}b_2=\vektor{\frac{a+b}{2}\\\frac{a-b}{2}}_{(B)}.
[/mm]
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> > Ich hab hier eine Abbildungsmatrix das ist keine
> > Basiswechselmatrix? Ich dachte [mm]M^B_C[/mm] sind
> > Basiswechselmatrizen.
>
> [mm]M_{C}^{B}(\varphi)[/mm] ist die Darstellungsmatrix der Abbildung
> [mm]\varphi[/mm] bzgl der Basen B im Urbildraum und C im Bildraum.
Erinnerst du dich an die Aufgabe von hier: http://www.matheforum.net/read?t=704407
Da hab ich ja eine Abb.Matrix aufgestellt war das einfach [mm] M^B_B?
[/mm]
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Hallo DrNetwork,
> > > Ich hab hier eine Abbildungsmatrix das ist keine
> > > Basiswechselmatrix? Ich dachte [mm]M^B_C[/mm] sind
> > > Basiswechselmatrizen.
> >
> > [mm]M_{C}^{B}(\varphi)[/mm] ist die Darstellungsmatrix der Abbildung
> > [mm]\varphi[/mm] bzgl der Basen B im Urbildraum und C im Bildraum.
>
> Erinnerst du dich an die Aufgabe von hier:
> http://www.matheforum.net/read?t=704407
>
> Da hab ich ja eine Abb.Matrix aufgestellt war das einfach
> [mm]M^B_B?[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ja klar, was haben wir denn in dem erwähnten thread gemacht?
Fasse das mal für dich in Worten zusammen ...
Gruß
schachuzipus
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Nun ja wir hatten zu erst die Bilder der Basisvektoren [mm] (E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}) [/mm] berechnet (1). Damit wir sie später aus den Basisvektoren linear kombinieren (2) können um an die Abbildungsmatrix (3) zu kommen. Der Schritt zwischen 2-3 würd ich noch als schleierhaft bezeichnen, also ich kann es mir so für die Klausur merken, aber was dahinter steckt weiss ich noch nicht richtig.
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Hallo,
> Nun ja wir hatten zu erst die Bilder der Basisvektoren
> [mm](E_{11},E_{12},E_{21},E_{22})[/mm] berechnet (1). Damit wir sie
> später aus den Basisvektoren linear kombinieren (2)
> können um an die Abbildungsmatrix (3) zu kommen. Der
> Schritt zwischen 2-3 würd ich noch als schleierhaft
> bezeichnen, also ich kann es mir so für die Klausur
> merken, aber was dahinter steckt weiss ich noch nicht
> richtig.
Ist dir klar, warum zu jeder linearen Abbildung eine Matrix $ [mm] A_{\varphi} [/mm] $ gehört?
Wenn du das weisst, dann liegt (2) nicht mehr fern.
Oder sag uns, in welcher Hinsicht noch Skepsis besteht.
Grüße
ChopSuey
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Hab ich mal nachgeguckt. Schwer zu sagen, es folgt daraus das es genau eine lineare Abbildung zwischen zwei Vektorräumen gibt für die gilt v-tupel=Basis in V und w-tupel in W und [mm] \varphi(v_i) [/mm] = [mm] w_i. [/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:17 Sa 31.07.2010 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo,
> Hab ich mal nachgeguckt. Schwer zu sagen, es folgt daraus
> das es genau eine lineare Abbildung zwischen zwei
> Vektorräumen gibt für die gilt v-tupel=Basis in V und
> w-tupel in W und [mm]\varphi(v_i)[/mm] = [mm]w_i.[/mm]
Frage: Weisst du nun, weshalb bzw wie die Matrix zustande kommt?
ChopSuey
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Mo 02.08.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:56 Sa 31.07.2010 | | Autor: | DrNetwork |
> wenn Du diese Matrix nimmst und in gewohnter Manier ihren
> Kern bestimmst, dann bekommst Du den Kern in Koodinaten
> bzgl. B,
> und wenn Du in gewohnter Manier das Bild bestimmst, so
> wird es Dir in Koordinaten bzgl. C geliefert.
> Bei Bedarf mußt Du die entsprechenden Koordinatenvektoren
> noch umwandeln.
Das war schonmal sehr sehr hilfreich. Kannst du sagen was mit dem Satz "Bei Bedarf" gemacht werden muss. Also sagen wir ich möchte die Abb. Matrix jetzt aber in die Form [mm] M^B_B [/mm] bringen? Oder als nächstes Szneario nur den Kern in Basis C? Diese Kappa's anwenden?
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> > wenn Du diese Matrix nimmst und in gewohnter Manier ihren
> > Kern bestimmst, dann bekommst Du den Kern in Koodinaten
> > bzgl. B,
> > und wenn Du in gewohnter Manier das Bild bestimmst, so
> > wird es Dir in Koordinaten bzgl. C geliefert.
> > Bei Bedarf mußt Du die entsprechenden
> Koordinatenvektoren
> > noch umwandeln.
>
> Das war schonmal sehr sehr hilfreich. Kannst du sagen was
> mit dem Satz "Bei Bedarf" gemacht werden muss. Also sagen
> wir ich möchte die Abb. Matrix jetzt aber in die Form
> [mm]M^B_B[/mm] bringen? Oder als nächstes Szneario nur den Kern in
> Basis C? Diese Kappa's anwenden?
Hallo,
ich hab' keine Lust, hier ganz allgemeine Kochanleitungen zu verbreiten, die dann womöglich mißverstanden werden.
Wir halten uns lieber an Deine Aufgabe.
(Hab' ich schonmal erwähnt, daß solche screenshots für Antwortende ungemein lästig sind? Ich werde so antworten, daß auch mein Schreibaufwand gering ist...)
Du hast eine Darstellungsmatrix gegeben, welche eine Abbildung [mm] \varphi:V\to [/mm] W repräsentiert.
Welche Dim hat V, welche W?
Es seien nun [mm] B:=(b_1,..., b_{?}) [/mm] und [mm] C:=(c_1,...,c_{?}) [/mm] die hier verwendeten Basen dieser Räume.
Vielleicht bestimmst Du jetzt einfach erstmal Kern und Bild Deiner Matrix.
Dann können wir überlegen, was wir tun, falls wir "Bedarf" haben.
Die Matrix [mm] M_B^B(\varphi) [/mm] kann man doch im konkreten Falle überhaupt nicht aufstellen, und Du solltest Dir mal überlegen, weshalb.
Gruß v. Angela
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> ich hab' keine Lust, hier ganz allgemeine Kochanleitungen
> zu verbreiten, die dann womöglich mißverstanden werden.
Hm muss ja nicht schmecken :) Hauptsache macht satt.
> Wir halten uns lieber an Deine Aufgabe.
>
> (Hab' ich schonmal erwähnt, daß solche screenshots für
> Antwortende ungemein lästig sind? Ich werde so antworten,
> daß auch mein Schreibaufwand gering ist...)
Jo habs geändert.
> Du hast eine Darstellungsmatrix gegeben, welche eine
> Abbildung [mm]\varphi:V\to[/mm] W repräsentiert.
>
> Welche Dim hat V, welche W?
[mm] M^B_C(\varphi) [/mm] = [mm] \pmat{ 3 & -1 & 3 & 2 & 1 \\ 4 & 2 & -1 & 1 & 3 \\ 5 & 1 & 1 & 2 & 3} [/mm]
Da muss ich mit einem 5-tupel Vektor multiplizieren und es kommt ein 3-tupel raus. Also beides Dimension 1?
> Es seien nun [mm]B:=(b_1,..., b_{?})[/mm] und [mm]C:=(c_1,...,c_{?})[/mm]
> die hier verwendeten Basen dieser Räume.
>
> Vielleicht bestimmst Du jetzt einfach erstmal Kern und Bild
> Deiner Matrix.
So wie du sagtest nach üblicher Manier für das Bild Spaltenumformungen:
[mm] Bild\varphi [/mm] = [mm] \left\{ \vektor{0 \\ 5 \\ 4},\vektor{1 \\ 3 \\ 3} \right\}
[/mm]
Zeilenumformungen:
[mm] Kern\varphi [/mm] = [mm] \left\{ \vektor{2 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0},\vektor{0 & 2 & -3 & -1 & 1 & 0} \right\}
[/mm]
> Dann können wir überlegen, was wir tun, falls wir
> "Bedarf" haben.
Ist da :)
> Die Matrix [mm]M_B^B(\varphi)[/mm] kann man doch im konkreten Falle
> überhaupt nicht aufstellen, und Du solltest Dir mal
> überlegen, weshalb.
Wieso nicht? Also weil zu wenig Infos. gegeben sind oder hat das einen mathematischen Grund?
> Gruß v. Angela
Auch viele Grüße zurück Danke :)
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> > ich hab' keine Lust, hier ganz allgemeine Kochanleitungen
> > zu verbreiten, die dann womöglich mißverstanden werden.
>
> Hm muss ja nicht schmecken :) Hauptsache macht satt.
Aber wir wollen doch auch nicht, daß Dir während der Klausur schlecht wird.
> > Wir halten uns lieber an Deine Aufgabe.
> > Du hast eine Darstellungsmatrix gegeben, welche eine
> > Abbildung [mm]\varphi:V\to[/mm] W repräsentiert.
> >
> > Welche Dim hat V, welche W?
> [mm]M^B_C(\varphi)[/mm] = [mm]\pmat{ 3 & -1 & 3 & 2 & 1 \\ 4 & 2 & -1 & 1 & 3 \\ 5 & 1 & 1 & 2 & 3}[/mm]
>
> Da muss ich mit einem 5-tupel Vektor multiplizieren und es
> kommt ein 3-tupel raus. Also beides Dimension 1?
Quatsch mit Soße.
Repetiere das wohlbekannte Sprüchelchen: "In den Spalten der Darstellungsmatrix stehen die Bilder der Basisvektoren von B in Koordinaten bzgl C."
Wieviele Spalten? Wieviele Basisvektoren hat also B? Welche Dim. hat somit V?
Wieviele Einträge haben die Koordinatenvektoren der Bildvektoren? Also?
> > Es seien nun [mm]B:=(b_1,..., b_{?})[/mm] und [mm]C:=(c_1,...,c_{?})[/mm]
> > die hier verwendeten Basen dieser Räume.
> >
> > Vielleicht bestimmst Du jetzt einfach erstmal Kern und Bild
> > Deiner Matrix.
>
> So wie du sagtest nach üblicher Manier für das Bild
> Spaltenumformungen:
> [mm]Bild\varphi[/mm] = [mm]\left\{ \vektor{0 \\ 5 \\ 4},\vektor{1 \\ 3 \\ 3} \right\}[/mm]
Hab' ich jetzt nicht geprüft, wir nehmen das als Tatsache.
Das Bild ist dann natürlich nicht die von Dir angegebenen Menge, sondern es wird von dieser Menge erzeugt.
Die beiden erzeugenden Vektoren sind Koordinatenvektoren bzgl. C.
Umgeschrieben hätte man
[mm] \vektor{0 \\ 5 \\ 4}_{(C)}=0*c_1+5*c_2+4*c_3, [/mm] der andere analog.
>
> Zeilenumformungen:
> [mm]Kern\varphi[/mm] = [mm]\left\{ \vektor{2 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0},\vektor{0 & 2 & -3 & -1 & 1 & 0} \right\}[/mm]
Ich prüfe auch diese Rechnung nicht- obgleich ich gerade Zweifel bekomme, ob Du weißt, wie man den Kern einer Matrix bestimmt.
Ich gehe darauf nicht genauer ein, weil es nicht das Thema dieses Threads ist.
Zweierlei:
den Kern erhält man hier als Koordinatenvektoren bzgl. B.
1. Ich gehe davon aus, daß diese auch bei Euch Spaltenvektoren sind, oder etwa nicht?
2. Wieso haben Deine Vektoren 6 Einträge?
>
> > Dann können wir überlegen, was wir tun, falls wir
> > "Bedarf" haben.
>
> Ist da :)
Das solltest Du für den Kern jetzt lösen können.
> > Die Matrix [mm]M_B^B(\varphi)[/mm] kann man doch im konkreten
> Falle
> > überhaupt nicht aufstellen, und Du solltest Dir mal
> > überlegen, weshalb.
> Wieso nicht? Also weil zu wenig Infos. gegeben sind oder
> hat das einen mathematischen Grund?
Es hat einen mathematischen Grund. Die Dimensionen im Start- und Zielraum sind verschieden, so daß man nicht dieselbe Basis verwenden kann.
Gruß v. Angela
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> > > Welche Dim hat V, welche W?
> > [mm]M^B_C(\varphi)[/mm] = [mm]\pmat{ 3 & -1 & 3 & 2 & 1 \\ 4 & 2 & -1 & 1 & 3 \\ 5 & 1 & 1 & 2 & 3}[/mm]
> Repetiere das wohlbekannte Sprüchelchen: "In den Spalten
> der Darstellungsmatrix stehen die Bilder der Basisvektoren
> von B in Koordinaten bzgl C."
>
> Wieviele Spalten? Wieviele Basisvektoren hat also B? Welche
> Dim. hat somit V?
5
> Wieviele Einträge haben die Koordinatenvektoren der
> Bildvektoren? Also?
3
> > Spaltenumformungen:
> > [mm]Bild\varphi[/mm] = [mm]\left\{ \vektor{0 \\ 5 \\ 4},\vektor{1 \\ 3 \\ 3} \right\}[/mm]
>
> Hab' ich jetzt nicht geprüft, wir nehmen das als
> Tatsache.
> Das Bild ist dann natürlich nicht die von Dir angegebenen
> Menge, sondern es wird von dieser Menge erzeugt.
> Die beiden erzeugenden Vektoren sind Koordinatenvektoren
> bzgl. C.
> Umgeschrieben hätte man
>
> [mm]\vektor{0 \\ 5 \\ 4}_{(C)}=0*c_1+5*c_2+4*c_3,[/mm] der andere
> analog.
>
> >
> > Zeilenumformungen:
> > [mm]Kern\varphi[/mm] = [mm]\left\{ \vektor{2 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0},\vektor{0 & 2 & -3 & -1 & 1 & 0} \right\}[/mm]
>
> Ich prüfe auch diese Rechnung nicht- obgleich ich gerade
> Zweifel bekomme, ob Du weißt, wie man den Kern einer
> Matrix bestimmt.
> Ich gehe darauf nicht genauer ein, weil es nicht das Thema
> dieses Threads ist.
>
> Zweierlei:
> den Kern erhält man hier als Koordinatenvektoren bzgl.
> B.
> 1. Ich gehe davon aus, daß diese auch bei Euch
> Spaltenvektoren sind, oder etwa nicht?
> 2. Wieso haben Deine Vektoren 6 Einträge?
Hier hab ich mich vertan also die zwei Vektoren sind die ersten beiden Zeilen
nach dem Gauß-Algo.
[mm] \pmat{2 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -3 & -1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0} [/mm] Jetzt müsst ich parametrisieren, wo sollte ich sowas machen? kann ich da einfach irgend eine der Nullen auf 1 setzen? z.B. die zweite von rechts:
[mm] \pmat{2 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 | -a \\ 0 & 2 & -3 & -1 & 0 & 0 | -a\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 | a }
[/mm]
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> > > > Welche Dim hat V, welche W?
> > > [mm]M^B_C(\varphi)[/mm] = [mm]\pmat{ 3 & -1 & 3 & 2 & 1 \\ 4 & 2 & -1 & 1 & 3 \\ 5 & 1 & 1 & 2 & 3}[/mm]
>
> > Repetiere das wohlbekannte Sprüchelchen: "In den Spalten
> > der Darstellungsmatrix stehen die Bilder der Basisvektoren
> > von B in Koordinaten bzgl C."
> >
> > Wieviele Spalten? Wieviele Basisvektoren hat also B? Welche
> > Dim. hat somit V?
> 5
> > Wieviele Einträge haben die Koordinatenvektoren der
> > Bildvektoren? Also?
> 3
>
>
> > > Spaltenumformungen:
> > > [mm]Bild\varphi[/mm] = [mm]\left\{ \vektor{0 \\ 5 \\ 4},\vektor{1 \\ 3 \\ 3} \right\}[/mm]
>
> >
> > Hab' ich jetzt nicht geprüft, wir nehmen das als
> > Tatsache.
> > Das Bild ist dann natürlich nicht die von Dir
> angegebenen
> > Menge, sondern es wird von dieser Menge erzeugt.
> > Die beiden erzeugenden Vektoren sind
> Koordinatenvektoren
> > bzgl. C.
> > Umgeschrieben hätte man
> >
> > [mm]\vektor{0 \\ 5 \\ 4}_{(C)}=0*c_1+5*c_2+4*c_3,[/mm] der andere
> > analog.
> >
> > >
> > > Zeilenumformungen:
> > > [mm]Kern\varphi[/mm] = [mm]\left\{ \vektor{2 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0},\vektor{0 & 2 & -3 & -1 & 1 & 0} \right\}[/mm]
>
> >
> > Ich prüfe auch diese Rechnung nicht- obgleich ich gerade
> > Zweifel bekomme, ob Du weißt, wie man den Kern einer
> > Matrix bestimmt.
> > Ich gehe darauf nicht genauer ein, weil es nicht das Thema
> > dieses Threads ist.
> >
> > Zweierlei:
> > den Kern erhält man hier als Koordinatenvektoren bzgl.
> > B.
> > 1. Ich gehe davon aus, daß diese auch bei Euch
> > Spaltenvektoren sind, oder etwa nicht?
> > 2. Wieso haben Deine Vektoren 6 Einträge?
>
> Hier hab ich mich vertan also die zwei Vektoren sind die
> ersten beiden Zeilen
> nach dem Gauß-Algo.
Hallo,
Du weißt wirklich nicht, wie man den Kern bestimmt... Schlimm - aber es läßt sich schnell erlernen:
>
> [mm]\pmat{2 & 0 & 1 & 1 & 1 & |0 \\ 0 & 2 & -3 & -1 & 1 & |0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & |0}[/mm]
1. Methode:
die führenden Zeilenelemente der ZSF stehen in der 1. und 2. Zeile.
Also können die 3.,4., 5. Variable frei gewählt werden.
Mit [mm] x_5:=t
[/mm]
[mm] x_4:=s
[/mm]
[mm] x_3:=r
[/mm]
erhält man aus Zeile 2
[mm] x_2=0.5*(3r+s-t),
[/mm]
und aus der ersten Zeile
[mm] x_1=-r-s-t.
[/mm]
Damit haben die Elemente des Kerns die gestalt
[mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5}= \vektor{...\\...\\...\\...\\...}= r\vektor{...\\...\\...\\...\\...}+s\vektor{...\\...\\...\\...\\...}+t\vektor{...\\...\\...\\...\\...}.
[/mm]
Die drei Vektoren spannen den Kern auf.
2. Methode
> [mm]\pmat{2 & 0 & 1 & 1 & 0 & | 0\\ 0 & 2 & -3 & -1 & 0 &|0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 &| 0 }[/mm] -->
[mm]\pmat{1 & 0 & 0.5 & 0.5 & 0 & | 0\\ 0 & 1 & -1.5 & -0.5 & 0& |0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &| 0 }[/mm]
Die Matrix ist nun in reduzeirter ZSF. (Führende Einsen, über und unter denen Nullen stehen.)
Jetzt Minuseinsen einschieben auf die Diagonalen:
--> [mm]\pmat{1 & 0 & 0.5 & 0.5 & 0 & | 0\\ 0 & 1 & -1.5 & -0.5 & 0 &|0\\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 &| 0 \\ 0 & 0 & 0& -1 & 0 &| 0\\ 0 & 0 &0 & 0 &-1&| 0}[/mm] .
Die Spalten mit den Minuseinsen bilden eine Basis des Kerns.
Gruß v. Angela
P.S.: die Zeilenstufenform habe ich nicht geprüft.
>
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Danke, hat mich zwar etwas verwirrt, aber ich hab eine Frage. Ist die Basis des Kerns eingesetzt in die lin.Abb bzw. multiplziert mit der Abb.Matrix der Kern selber?
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Hallo DrNetwork,
> Danke, hat mich zwar etwas verwirrt, aber ich hab eine
> Frage. Ist die Basis des Kerns eingesetzt in die lin.Abb
> bzw. multiplziert mit der Abb.Matrix der Kern selber?
Nein. Die Elemente (Basis) des Kerns werden ja gerade durch
die Abbildungsmatrix auf den Nullvektor abgebildet.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:46 Sa 31.07.2010 | | Autor: | DrNetwork |
Aso, das ist logisch!
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Kern von [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 }
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 2 & |0 \\ 3 & 4 & |0} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 0 & |0 \\ 0 & 0 & |0} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 0 & |0 \\ 0 & 1 & |a} \Rightarrow Kern(\varphi) [/mm] = [mm] \left<\vektor{0 \\ 1}\right>
[/mm]
Richtig?
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> Kern von [mm]\pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 }[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & |0 \\ 3 & 4 & |0}[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 0 & |0 \\ 0 & 0 & |0}[/mm]
Hallo,
diese beiden Matrizen sind nicht gleich, und sie gehen auch nicht durch Zeilenumformungen auseinander hervor.
[mm]\pmat{ 1 & 2 & |0 \\ 3 & 4 & |0}[/mm]
2.Zeile - 3*1.Zeile
--> [mm]\pmat{ 1 & 2 & |0 \\ 0& -2& |0}[/mm]
damit ist die Matrix auf ZSF.
Die führenden Zeilenelemente stehen in Spalte 1 und 2.
Also ist keine Variable frei zu wählen, denn es gibt ja nur zwei Variable.
Der Kern enthält nur den Nullvektor.
> = [mm]\pmat{ 1 & 0 & |0 \\ 0 & 1 & |a} \Rightarrow Kern(\varphi)[/mm]
> = [mm]\left<\vektor{0 \\ 1}\right>[/mm]
Daß [mm] \vektor{0 \\ 1} [/mm] nicht im Kern ist, siehst Du sofort, wenn Du mal [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 0& -2}*\vektor{0\\1} [/mm] rechnest: der Nullvektor kommt da nicht raus.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:56 Sa 31.07.2010 | | Autor: | DrNetwork |
Ja war etwas durcheinander blöder Fehler. Also da kommt natürlich
[mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 } [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 0 & |0 \\ 0 & 1 & |0} \Rightarrow Kern(\varphi) [/mm] = [mm] \left<0\right>
[/mm]
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Ist der Vektor, der für den Kern verantwortlich ist nicht einfach die Lösung des homogenen Gleichungssystems?
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> Ist der Vektor, der für den Kern verantwortlich ist nicht
> einfach die Lösung des homogenen Gleichungssystems?
Wenn du es wie folgt schreibst, dann ja:
"Sind die Vektoren, die für den Kern verantwortlich sind nicht
einfach die Lösung des homogenen Gleichungssystems? "
[mm]\ker(A):=\{x\in \IR^n : Ax=0\}[/mm]
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