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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:16 Mo 11.02.2013 | | Autor: | soundso2 |
| Aufgabe | In R2 seien die Vektoren v1 = e1 − e2 und v2 = e1 gegeben. Weiter sei eine lineare
Abbildung f : R2 → R2 definiert durch
f(v1 ) = v1 − v2
und f(v2 ) = −v1 .
a) Ist B = (v1 , v2 ) eine Basis von R2 ?
b) Geben Sie die Abbildungsmatrix A von f bez. der Basis B an.
̃
c) Wie lautet die Abbildungsmatrix A' von f bez. der Standardbasis B0 = (e1 , e2 )? |
Hey, ich bereite mich gerade auf die Prüfung vor. Das ist eine alte Klausuraufgabe, allerdings gibt es dazu keine Lösungen, und ich bin mir nicht sicher ob ich alles richtig verstanden habe. Ich würde mich freuen, wenn sich jemand meine Lösungen mal angucken könnte und mir mitteilen würde, ob die so korrekt sind.
Zu a) Na ja, ich würde ja so argumentieren, dass Aufgabenteil b) bereits impliziert, das (v1,v2) eine Basis ist, allerdings darf ich das wohl nicht, weswegen ich es mal so versucht habe:
Wenn es eine Basis ist, dann sind die Vektoren nicht linear abhängig. Das hab ich geprüft, ich hoffe das geht so:
wenn sie lin. abhängig sind, dann ist k [mm] \cdot v_1=v_2 \Rightarrow k\cdot (e_1-e_2)=e_1 \Rightarrow k\cdot e_1-k \cdot e_2=e_1 \Rightarrow e_1\cdot (k-1)=k\cdot e_2 [/mm]
und das kann nicht sein, da [mm] e_1 [/mm] und [mm] e_2 [/mm] linear unabhängig sind. Damit sind auch [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] linear unabhängig und Basen von [mm] \mathbb{R}^2
[/mm]
zu b)
hier hab ich jetzt die gegebenen Bilder genommen und diese als Linearkombination der Basen [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] dargestellt. Die Koeffizienten sollten meine Abbildungsmatrix ergeben. Um das ganze zu machen, hab ich die [mm] e_1, e_2 [/mm] als Vektoren dargestellt und das dann einfach ausgerechnet. Mein Ergebnis ist: [mm] A=\pmat{ 1 & -1 \\ -1 & 0 }
[/mm]
zu c)
ja, da wusste ich erst gar nicht, wie ich das machen soll. Am Ende hab ich mich selbst darauf geeinigt, dass ich erstmal zwei zu sich inverse Matrizen suchen muss, weil in meinem Buch steht [mm] S^{-1}AS=A'
[/mm]
Um diese Matrizen zu finden, habe ich zuerst meine Basen [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] als Linearkombination der Standardtbasen aufgeschrieben und die Koeffizientenmatrix [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ -1 & 0 } [/mm] hab ich [mm] S^{-1}
[/mm]
genannt. Umgekehrt hab ich dann die Standardtbasen als Linearkombination der [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] dargestellt und diese Koeffizientenmatrix S genannt: [mm] \pmat{ 0 & -1 \\ 1 & 1 }
[/mm]
Glücklicherweise sind die tatsächlich zueinander invers, hat zumindest meine Prüfung ergeben. Dann hab ich [mm] S^{-1}AS=A' [/mm] ausgerechnet und komme zu folgendem ergebnis:
[mm] \pmat{ -1 & -1 \\ 1 & 2 }
[/mm]
ich würde mich wirklich freuen, wenn mir jemand sagen könnte, ob ich totalen Blödsinn gemacht habe, oder ob ich das soweit richtig verstanden habe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo soundso2, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
> In R2 seien die Vektoren v1 = e1 − e2 und v2 = e1
> gegeben. Weiter sei eine lineare
> Abbildung f : R2 → R2 definiert durch
> f(v1 ) = v1 − v2
> und f(v2 ) = −v1 .
> a) Ist B = (v1 , v2 ) eine Basis von R2 ?
> b) Geben Sie die Abbildungsmatrix A von f bez. der Basis B
> an.
> c) Wie lautet die Abbildungsmatrix A' von f bez. der
> Standardbasis B0 = (e1 , e2 )?
> Zu a) Na ja, ich würde ja so argumentieren, dass
> Aufgabenteil b) bereits impliziert, das (v1,v2) eine Basis
> ist, allerdings darf ich das wohl nicht
Absolut. Du musst das mit der Def. nachprüfen!
> Wenn es eine Basis ist, dann sind die Vektoren nicht linear
> abhängig. Das hab ich geprüft, ich hoffe das geht so:
> wenn sie lin. abhängig sind, dann ist k [mm]\cdot v_1=v_2 \Rightarrow k\cdot (e_1-e_2)=e_1 \Rightarrow k\cdot e_1-k \cdot e_2=e_1 \Rightarrow e_1\cdot (k-1)=k\cdot e_2[/mm]
> und das kann nicht sein, da [mm]e_1[/mm] und [mm]e_2[/mm] linear unabhängig
> sind. Damit sind auch [mm]v_1[/mm] und [mm]v_2[/mm] linear unabhängig und
> Basen von [mm]\mathbb{R}^2[/mm]
Es heißt: " [mm] $(v_1, v_2)$ [/mm] bilden eine Basis von [mm] $\IR^2$ [/mm] ", nicht "Basen".
Ansonsten ist dein Beweis nicht schlecht. Etwas exakter wäre es noch, wenn du sagen würdest, woher dein k kommt.
Alternativmöglichkeit: Seien [mm] $\lambda_1, \lambda_2 \in \IR$ [/mm] mit
[mm] $\lambda_1 v_{1} [/mm] + [mm] \lambda_2 v_2 [/mm] = 0$.
Es folgt
$0 = [mm] \lambda_1 (e_1 [/mm] - [mm] e_2) [/mm] + [mm] \lambda_2 e_1 [/mm] = [mm] e_1*(\lambda_1 [/mm] + [mm] \lambda_2) [/mm] + [mm] e_2 [/mm] * [mm] (-\lambda_1)$
[/mm]
Weil [mm] $(e_1, e_2)$ [/mm] eine Basis des [mm] $\IR^2$ [/mm] ist, folgt
[mm] $\lambda_1 [/mm] + [mm] \lambda_2 [/mm] = 0$, [mm] $-\lambda_1 [/mm] = 0$
Daraus folgt sofort
[mm] $\lambda_1 [/mm] = [mm] \lambda_2 [/mm] = 0$.
Damit sind [mm] $v_1, v_2$ [/mm] linear unabhängig.
> zu b)
> hier hab ich jetzt die gegebenen Bilder genommen und diese
> als Linearkombination der Basen [mm]v_1[/mm] und [mm]v_2[/mm] dargestellt.
Ja. Es heißt nicht "der Basen" sondern "der Basisvektoren" !
> Die Koeffizienten sollten meine Abbildungsmatrix ergeben.
Ja. In den Spalten der Abbildungsmatrix stehen die Koordinatenvektoren der Bilder der Basisvektoren.
> Um das ganze zu machen, hab ich die [mm]e_1, e_2[/mm] als Vektoren
> dargestellt und das dann einfach ausgerechnet.
Das verstehe ich nicht.
Was meinst du damit??
> Mein
> Ergebnis ist: [mm]A=\pmat{ 1 & -1 \\
-1 & 0 }[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Meine Lösung:
[mm] $f(v_1) [/mm] = [mm] v_1 [/mm] - [mm] v_2 [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}1 \\ -1\end{pmatrix}_{B}$ [/mm] (Koordinatenvektor bzgl. Basis B)
[mm] $f(v_2) [/mm] = [mm] -v_1 [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}-1 \\ 0\end{pmatrix}_{B}$
[/mm]
Die Koordinatenvektoren stehen in den Spalten der Darstellungsmatrix. Damit komme ich genau auf dein $A$ von oben.
> zu c)
> ja, da wusste ich erst gar nicht, wie ich das machen soll.
> Am Ende hab ich mich selbst darauf geeinigt, dass ich
> erstmal zwei zu sich inverse Matrizen suchen muss, weil in
> meinem Buch steht [mm]S^{-1}AS=A'[/mm]
> Um diese Matrizen zu finden, habe ich zuerst meine Basen
> [mm]v_1[/mm] und [mm]v_2[/mm] als Linearkombination der Standardtbasen
> aufgeschrieben und die Koeffizientenmatrix [mm]\pmat{ 1 & 1 \\
-1 & 0 }[/mm]
> hab ich [mm]S^{-1}[/mm]
> genannt. Umgekehrt hab ich dann die Standardtbasen als
> Linearkombination der [mm]v_1[/mm] und [mm]v_2[/mm] dargestellt und diese
> Koeffizientenmatrix S genannt: [mm]\pmat{ 0 & -1 \\
1 & 1 }[/mm]
>
> Glücklicherweise sind die tatsächlich zueinander invers,
> hat zumindest meine Prüfung ergeben. Dann hab ich
> [mm]S^{-1}AS=A'[/mm] ausgerechnet und komme zu folgendem ergebnis:
> [mm]\pmat{ -1 & -1 \\
1 & 2 }[/mm]
Es ist alles richtig. Du solltest das Verfahren evtl. noch ein bisschen für dich ordnen. Wenn wir mit [mm] $M_{(v_1,v_2)}^{(v_1,v_2)}(f)$ [/mm] die Darstellungsmatrix von $f$ bzgl. der Basis $B$ bezeichnen, dann gilt nach der Basistransformationsformel:
[mm] $M_{(e_1,e_2)}^{(e_1,e_2)}(f) [/mm] = [mm] S_{(v_1,v_2)}^{(e_1,e_2)} [/mm] * [mm] M_{(v_1,v_2)}^{(v_1,v_2)}(f) [/mm] * [mm] S_{(e_1,e_2)}^{(v_1,v_2)}$ [/mm] (*)
wobei $S$ die Basiswechselmatrizen bezeichnen. Es gilt
[mm] $\Big[S_{(e_1,e_2)}^{(v_1,v_2)}\Big]^{-1} [/mm] = [mm] S_{(v_1,v_2)}^{(e_1,e_2)}$.
[/mm]
[mm] $S_{(v_1,v_2)}^{(e_1,e_2)}$ [/mm] drückt aus, wie Koordinatenvektoren bzgl. [mm] $(v_1,v_2)$ [/mm] in Koordinatenvektoren bzgl. [mm] $(e_1,e_2)$ [/mm] übergehen. Man erhält diese Matrix, indem man [mm] $v_1, v_2$ [/mm] in der Basis [mm] $(e_1,e_2)$ [/mm] darstellt.
Das hast du oben gemacht und die Matrix
[mm] $S_{(v_1,v_2)}^{(e_1,e_2)} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}1 & 1\\ -1 & 0\end{pmatrix}$
[/mm]
herausbekommen. Durch invertieren gelangst du zu
[mm] $S_{(e_1,e_2)}^{(v_1,v_2)} [/mm] = [mm] \Big[S_{(v_1,v_2)}^{(e_1,e_2)}\Big]^{-1} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}0 & -1\\ 1& 1\end{pmatrix}.
[/mm]
Nun kannst du über die Formel (*) die Abbildungsmatrix bzgl. der Basis [mm] $(e_1,e_2)$ [/mm] ausrechnen.
Du solltest das in dieser systematischen Form evtl. nochmal an einem anderen Beispiel üben.
Viele Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:41 Di 12.02.2013 | | Autor: | soundso2 |
Das Grundprinzip scheine ich also richtig verstanden zu haben. Mir fällt es manchmal schwer, das Formale im Buch in eine tatsächliche Rechnung zu übersetzen.
Ich bin positiv überrascht, wie schnell und vollständig ich in diesem Forum eine Antwort erhalten habe. Dafür einen herzlichen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:50 Di 12.02.2013 | | Autor: | fred97 |
Das hatten wir hier schon:
https://matheraum.de/read?t=949601
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:42 Di 12.02.2013 | | Autor: | soundso2 |
Entschuldige, ich hatte trotz intensivem googeln diese Aufgabe noch nirgendwo gefunden. Vielleicht hab ich die falschen Begriffe eingegeben.
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