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| Aufgabe | Es sei V ein n-dimensionaler K-Vektorraum.
Weiter sei f:V [mm] \to [/mm] V eine Projektion, d.h. es gilt f = [mm] f^2.
[/mm]
a) Zeigen sie, dass ker f [mm] \oplus [/mm] bild f = V gilt.
b)Es sei [mm] (b_1,...,b_k) [/mm] eine Basis von Ker f und [mm] (b_{k+1},...,b_n) [/mm] eine Basis von Bild f.
Bestimmen sie die Darstellungsmatrix von f bzgl. der basis
[mm] (b_1,...,b_k,b_{k+1},...,b_n). [/mm] |
Hallo,
ich komme hier nicht weiter. Irgendwie sind mir das zu wenige Informationen. Die Aufgabe a) habe ich bereits gelöst, aber bei der b) weiß ich irgendwie nicht so recht, wie ich anfangen kann. Bis jetzt habe ich mir gedacht:
Sei A die gesuchte Matrix.
Es muss gelten für ein v [mm] \in [/mm] V:
A*v=A*A*v
kürze ich das, dann habe ich:
1=Id(?)=A
allerdings würde ja die Gleichung auch mit A={0} erfüllt sein.
So richtig schlau werde ich hier irgendwie nicht.
Es muss ja auch gelten für v [mm] \in [/mm] ker(f):
A * [mm] \lambda [/mm] * v = 0
Kann mir jemand bitte weiterhelfen und mir die Aufgabe etwas näher bringen?
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:46 Fr 02.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Es sei V ein n-dimensionaler K-Vektorraum.
> Weiter sei f:V [mm]\to[/mm] V eine Projektion, d.h. es gilt f =
> [mm]f^2.[/mm]
>
> a) Zeigen sie, dass ker f [mm]\oplus[/mm] bild f = V gilt.
> b)Es sei [mm](b_1,...,b_k)[/mm] eine Basis von Ker f und
> [mm](b_{k+1},...,b_n)[/mm] eine Basis von Bild f.
> Bestimmen sie die Darstellungsmatrix von f bzgl. der
> basis
> [mm](b_1,...,b_k,b_{k+1},...,b_n).[/mm]
> Hallo,
>
> ich komme hier nicht weiter. Irgendwie sind mir das zu
> wenige Informationen. Die Aufgabe a) habe ich bereits
> gelöst, aber bei der b) weiß ich irgendwie nicht so
> recht, wie ich anfangen kann. Bis jetzt habe ich mir
> gedacht:
>
> Sei A die gesuchte Matrix.
> Es muss gelten für ein v [mm]\in[/mm] V:
> A*v=A*A*v
>
> kürze ich das, dann habe ich:
> 1=Id(?)=A
> allerdings würde ja die Gleichung auch mit A={0} erfüllt
> sein.
> So richtig schlau werde ich hier irgendwie nicht.
> Es muss ja auch gelten für v [mm]\in[/mm] ker(f):
>
> A * [mm]\lambda[/mm] * v = 0
>
> Kann mir jemand bitte weiterhelfen und mir die Aufgabe
> etwas näher bringen?
> Vielen Dank!
1. Klar dürfte sein:
(1) [mm] f(b_j)=0 [/mm] für j=1,...,k.
2. Zeige (wenn Du das noch nicht getan hast): für jedes v [mm] \in [/mm] bildf ist f(v)=v.
Damit haben wir:
(2) [mm] f(b_j)=b_j [/mm] für j=k+1,...,n.
Nun bastle Dir mit (1) und (2) die gesuchte Abbildungsmatrix.
FRED
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Hallo, alles klar, so etwas hatte ich mir schon gedacht. Es klang mir nur etwas zu einfach.
Als Ergebnis kommt dann also
[mm] \pmat{ 0 & ... & 0 & 1 & ... & 1 \\ 0 & ... & 0 & 1 & ... & 1 \\ ... \\ 0 & ... & 0 & 1 & ... & 1},
[/mm]
wobei es n Zeilen gibt, es gibt k Nullspalten und n-k Einsspalten.
Edit: Natürlich stehen nur auf der Diagonalen die Einser!
Passt das so?
Vielen Dank!
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> Hallo, alles klar, so etwas hatte ich mir schon gedacht. Es
> klang mir nur etwas zu einfach.
>
> Als Ergebnis kommt dann also
>
> [mm]\pmat{ 0 & ... & 0 & 1 & ... & 1 \\ 0 & ... & 0 & 1 & ... & 1 \\ ... \\ 0 & ... & 0 & 1 & ... & 1},[/mm]
>
> wobei es n Zeilen gibt, es gibt k Nullspalten und n-k
> Einsspalten.
>
> Edit: Natürlich stehen nur auf der Diagonalen die Einser!
Hallo,
wenn Du die Matrix meinst, deren erste bis k-te Spalte Nullspalten sind, und deren k+1-te bis n-te Spalte Einser auf der Hauptdiagonalen hat und sonst nur Nullen, paßt es.
LG Angela
>
> Passt das so?
> Vielen Dank!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:34 Sa 03.05.2014 | | Autor: | RunOrVeith |
Ja, das war gemeint, darum habe ich das Edit rein gemacht.
Vielen Dank!
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