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Forum "Abbildungen und Matrizen" - Abbildungsmatrix aufstellen
Abbildungsmatrix aufstellen < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Abbildungsmatrix aufstellen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:07 Di 15.01.2013
Autor: Benja91

Guten Abend,

ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.

Es geht darum, dass ich eine Basis erstellen sollte, mit der man alle 2x2 Matrixen erreicht, bei denen Spur(A)=0. Diese Menge nennen wir dann sI Dabei bin ich auf folgende Lösung gekommen (steht auch in der Musterlösung).

B={ [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1 } [/mm] , [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 } [/mm] , [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 } [/mm] }
Nun soll ich die Matrix für die lineare Abbildung
f:sI --> sI: A-->AP-PA   , mit P [mm] =\pmat{ 3 & -2 \\ 1 & 2 } [/mm]

Nun soll ich die Abbildungsmatrix bezüglich der Basis B aufstellen. Dazu müsste ich ja die Bilder der Basisvektoren berechnen. Dann bekommt man doch aber immer 2x2 Matrixen, oder? Deshalb komme ich auch nicht auf die Lösung. Dort steht nämlich:
[mm] \pmat{ 0 & 1 & 2 \\ -4 & -1 & 0 \\ -2 & 0 & 1 } [/mm]

Es wäre klasse, wenn mir jemand erklären könnte wie man darauf kommt. Vielen Dank und noch einen schönen Abend :)

Gruß
Benja

        
Bezug
Abbildungsmatrix aufstellen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:35 Di 15.01.2013
Autor: phychem

Hallo


Dass die Bilder dieser Basisvektoren (2x2-Matrizen) unter dem Endomorphismus f wieder 2x2-Matrizen sind, stimmt schon, aber die Abbildungsmatrix von f bezüglich der Basis B muss eine 3x3 Matrix sein.
Vielleicht solltest du dir den Begriff der Abbildungsmatrix nochmals etwas genauer anschauen:
Die i-te Spalte gibt quasi das Bild des i-ten Mitglieds von B an. Und zwar wie folgt:

Ist [mm] b_{i} [/mm] das i-te Mitglied von B und [mm] M=(m_{i,j}) [/mm] die Abbildungsmatrix von f bzgl. der Basis B, dann gilt:

[mm] f(b_{i}) [/mm] = [mm] m_{1,i}b_{1}+m_{2,i}b_{2}+m_{3,i}b_{3} [/mm]

Die Einträge in der i-ten Spalten von M entsprechen also den Koeffizienten in der Darstellung von [mm] f(b_{i}) [/mm] als Linearkombination der Basisvektoren [mm] b_{1}, b_{2} [/mm] und [mm] b_{3}. [/mm]


Die Bilder der einzelnen Basisvektoren unter f zu berechnen, reicht also noch nicht aus. Du musst noch bestimmen, wie sich diese als Linearkombination der Mitglieder von B schreiben lassen. Mit den Koeffizienten erhälst du dann gerade die Einträgen der gesuchten Abbildungsmatrix.

Bezug
                
Bezug
Abbildungsmatrix aufstellen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:48 Mi 16.01.2013
Autor: Benja91

Vielen Dank für die Erklärung. Stimmt, das habe ich vollkommen vergessen. Sonst arbeiten wir nämlich meistens mit der kanonischen Basis...

Gruß
Benja

Bezug
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