Abbildungsmatrix zu lin. Abb. < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:08 So 16.10.2011 | | Autor: | tedd |
| Aufgabe | Eine lin. Abbidung [mm] \rho [/mm] : [mm] \IR^2 \to \IR^2 [/mm] bildet den Ortsvektor [mm] \vec{v} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 1} [/mm] auf den Ortsvektor [mm] \vec{w} [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 1} [/mm] ab, und umgekehrt.
Wie sieht die Abbildungsmatrix [mm] \vec{A} [/mm] für [mm] \rho [/mm] bezüglich der kart. Standard-Basis [mm] \{\vec{e^{1}},\vec{e^{2}}\} [/mm] aus?
Die Aufgabe soll mit Hilfe von Transformationsmatrizen gelöst werden. |
Hi!
Also ich bin noch nicht so ganz warm georden mit dem Thema...
Die Abbildung bedeutet doch meines Wissens nach folgendes:
[mm] \vec{v} \cdot \vec{A} [/mm] = [mm] \vec{w}
[/mm]
also
[mm] \vektor{2 \\ 1} \cdot \pmat{a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}} [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 1}
[/mm]
beziehungsweise
[mm] \vektor{2 \cdot a_{11} + 1 \cdot a_{12} \\ 2 \cdot a_{21} + 1 \cdot a_{22}} [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 1}
[/mm]
Jetzt kann man eine Lösung (sofern das richtig sein sollte) schonmal erraten
zum Beispiel
[mm] A=\pmat{-1 & 1 \\ 1 & -1}, [/mm] aber man sieht ja auch das es noch weitere Lösungen gibt....
zum Beispiel:
[mm] A=\pmat{1 & -3 \\ -1 & 3}
[/mm]
Aber wie gehe ich jetzt weiter vor um alle Lösungen zu finden?
Gruß,,
Tedd
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> Eine lin. Abbidung [mm]\rho[/mm] : [mm]\IR^2 \to \IR^2[/mm] bildet den
> Ortsvektor [mm]\vec{v}[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ 1}[/mm] auf den Ortsvektor
> [mm]\vec{w}[/mm] = [mm]\vektor{-1 \\ 1}[/mm] ab, und umgekehrt.
>
> Wie sieht die Abbildungsmatrix [mm]\vec{A}[/mm] für [mm]\rho[/mm] bezüglich
> der kart. Standard-Basis [mm]\{\vec{e^{1}},\vec{e^{2}}\}[/mm] aus?
>
> Die Aufgabe soll mit Hilfe von Transformationsmatrizen
> gelöst werden.
> Hi!
>
> Also ich bin noch nicht so ganz warm georden mit dem
> Thema...
>
> Die Abbildung bedeutet doch meines Wissens nach folgendes:
>
> [mm]\vec{v} \cdot \vec{A}[/mm] = [mm]\vec{w}[/mm]
>
> also
>
> [mm]\vektor{2 \\ 1} \cdot \pmat{a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}}[/mm]
> = [mm]\vektor{-1 \\ 1}[/mm]
>
> beziehungsweise
>
> [mm]\vektor{2 \cdot a_{11} + 1 \cdot a_{12} \\ 2 \cdot a_{21} + 1 \cdot a_{22}}[/mm]
> = [mm]\vektor{-1 \\ 1}[/mm]
öhm, nö, das wird nix so.^^
guck dir nochmal genau an wie ein Matrixprodukt definiert ist (Zeile*Spalte), so rum passt es nicht.
Es muss gelten:
Av = w
Aw = v
> Jetzt kann man eine Lösung (sofern das richtig sein
> sollte) schonmal erraten
>
> zum Beispiel
>
> [mm]A=\pmat{-1 & 1 \\ 1 & -1},[/mm] aber man sieht ja auch das es
> noch weitere Lösungen gibt....
>
> zum Beispiel:
>
> [mm]A=\pmat{1 & -3 \\ -1 & 3}[/mm]
>
> Aber wie gehe ich jetzt weiter vor um alle Lösungen zu
> finden?
>
> Gruß,,
> Tedd
In der Abbildungsmatrix stehen die Bilder der Basis.
Also nehmen wir (v,w) als Basis des [mm] $\IR^2$ [/mm] dann wäre die Matrix bezüglich dieser Basis:
$M = [mm] \pmat{0 & 1 \\ 1 & 0}$
[/mm]
Wie sieht nun die Matrix bezüglich der Basis [mm] $(e_1,e_2)$ [/mm] aus?
Wie kommst du darauf und was haben Transformationsmatrizen damit zu tun?
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:40 Mo 17.10.2011 | | Autor: | tedd |
Hi!
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> öhm, nö, das wird nix so.^^
> guck dir nochmal genau an wie ein Matrixprodukt definiert
> ist (Zeile*Spalte), so rum passt es nicht.
> Es muss gelten:
> Av = w
> Aw = v
Okay, da habe ich was vertauscht :)
Aber muss hier nicht gelten:
Av = w
und
[mm] A^{-1}w [/mm] = v ?
> In der Abbildungsmatrix stehen die Bilder der Basis.
> Also nehmen wir (v,w) als Basis des [mm]\IR^2[/mm] dann wäre die
> Matrix bezüglich dieser Basis:
> [mm]M = \pmat{0 & 1 \\ 1 & 0}[/mm]
>
> Wie sieht nun die Matrix bezüglich der Basis [mm](e_1,e_2)[/mm]
> aus?
> Wie kommst du darauf und was haben Transformationsmatrizen
> damit zu tun?
>
Hmm
also die Basisvektoren schauen doch eigentlich so aus:
[mm] \vec{e^{1}} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] und [mm] \vec{e^{2}} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 1}
[/mm]
Dann lautet die zu [mm] \vec{v} [/mm] zugehörige Linearkombination:
[mm] \vec{v}=2 \cdot \vektor{1 \\ 0} [/mm] + 1 [mm] \cdot \vektor{0 \\ 1}
[/mm]
jetzt muss ich die Abbildung doch auch irgendwie über welche?! Basen ausdrücken...
Werde aus meinem Matheskript und dem Wikiartikel dazu irgendwie nicht schlau...
>
> lg
>
> Schadow
>
gruß
tedd
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> Aber muss hier nicht gelten:
>
> Av = w
> und
> [mm]A^{-1}w[/mm] = v ?
Hallo,
nein.
Lies den Aufgabentext genau, dann stellst Du fest, daß gelten muß
Av=w und
Aw=v.
Hieraus bekommst Du, wenn Du Deinen ursprünglichen Ansatz weiterverfolgst, ein LGS aus 4 Gleichungen mit den 4 Unbekannten [mm] a_1_1 [/mm] usw.,
welches Du lösen könntest.
> >
>
> Hmm
>
> also die Basisvektoren schauen doch eigentlich so aus:
>
> [mm]\vec{e^{1}}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\
0}[/mm] und [mm]\vec{e^{2}}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\
1}[/mm]
>
> Dann lautet die zu [mm]\vec{v}[/mm] zugehörige Linearkombination:
>
> [mm]\vec{v}=2 \cdot \vektor{1 \\
0}[/mm] + 1 [mm]\cdot \vektor{0 \\
1}[/mm]
Du aber interessierst Dich eher für
[mm] e_1=...*v+...*w [/mm] und
[mm] e_2=...*v+...*w, [/mm] denn dann kennst Du [mm] \rho (e_i)=\rho(...*v+...*w), [/mm] (Linearität ausnutzen!), und damit die Spalten der Darstellungsmatrix von [mm] \rho [/mm] bzgl der Standardbasis.
Achso, Du sollst ja mit Transformationsmatrizen arbeiten!
Also: Seien B:=(v,w), und [mm] E:=(e_1, e_2) [/mm] die beiden Basen, die hier im Spiel sind.
Die Darstellungsmatrix bzgl. B ist, wie bereits im anderen Post festgestellt [mm] _BM(\rho)_B=\pmat{0&1\\1&0}.
[/mm]
Um [mm] _EM(\rho)_E [/mm] zu bekommen, brauchst Du die beiden Transformationsmatrizen
[mm] _EM(id)_B, [/mm] welche Dir Koordinatenvektoren bzgl B in solche bzgl E verwandelt
und
[mm] _BM(id)_E, [/mm] welche Dir Koordinatenvektoren bzgl E in solche bzgl B verwandelt.
[mm] _EM(id)_B [/mm] ist leicht: die beiden Spalten sind v und w.
Es ist dann [mm] E_M(\rho)_E=_EM(id)_B*_BM(\rho)_B*_BM(id)_E.
[/mm]
Gruß v. Angela
>
> jetzt muss ich die Abbildung doch auch irgendwie über
> welche?! Basen ausdrücken...
> Werde aus meinem Matheskript und dem Wikiartikel dazu
> irgendwie nicht schlau...
> >
> > lg
> >
> > Schadow
> >
> gruß
> tedd
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:45 Fr 21.10.2011 | | Autor: | tedd |
> Hallo,
Hallo hi!
Tut mir leid ich habe es immernoch nicht verstanden und muss mal ganz dumme Fragen stellen...
>
> nein.
> Lies den Aufgabentext genau, dann stellst Du fest, daß
> gelten muß
>
> Av=w und
> Aw=v.
>
> Hieraus bekommst Du, wenn Du Deinen ursprünglichen Ansatz
> weiterverfolgst, ein LGS aus 4 Gleichungen mit den 4
> Unbekannten [mm]a_1_1[/mm] usw.,
> welches Du lösen könntest.
Okay da habe ich den Aufgabentext wirklich nicht genau genug gelesen...
nach Lösung des GLS bekomme ich folgende Matrix raus
[mm] $A=\pmat{ -1 & 1 \\ 0 & 1 }$
[/mm]
für die also gilt
[mm] $A\cdot\vec{v}=\vec{w}$
[/mm]
und
[mm] $A\cdot\vec{w}=\vec{v}$
[/mm]
Ist das nun eine Abbildungsmatrix,Darstellungsmatrix oder Transformationsmatrix?
>
> Du aber interessierst Dich eher für
>
> [mm]e_1=...*v+...*w[/mm] und
> [mm]e_2=...*v+...*w,[/mm] denn dann kennst Du [mm]\rho (e_i)=\rho(...*v+...*w),[/mm]
> (Linearität ausnutzen!), und damit die Spalten der
> Darstellungsmatrix von [mm]\rho[/mm] bzgl der Standardbasis.
>
Hmm...
also hierfür habe ich raus wenn
[mm] $e_1=\vektor{1 \\ 0}$ [/mm] und [mm] $e_2=\vektor{0 \\ 1}$ [/mm] ist,dass
[mm] $e_1=\frac{1}{3}\cdot\vec{v}-\frac{1}{3}\cdot\vec{w}$
[/mm]
und
[mm] $e_2=\frac{1}{3}\cdot\vec{v}+\frac{2}{3}\cdot\vec{w}$
[/mm]
sind.
> Achso, Du sollst ja mit Transformationsmatrizen arbeiten!
> Also: Seien B:=(v,w), und [mm]E:=(e_1, e_2)[/mm] die beiden Basen,
> die hier im Spiel sind.
>
> Die Darstellungsmatrix bzgl. B ist, wie bereits im anderen
> Post festgestellt [mm]_BM(\rho)_B=\pmat{0&1\\1&0}.[/mm]
Wie bestimme ich diese Darstellungsmatrix B?
Nochmal (ganz doof) zur Klarheit: Die Basisvektoren zur Basis B:=(v,w) sind dann [mm] \vec{v} [/mm] und [mm] \vec{w}?
[/mm]
Was ich jetzt an mehreren Stellen gelesen habe ist, dass in den Spalten der Darstellungsmatrix die Bilder der Basisvektoren stehen...
Da kommt die nächste Frage auf:
Was sind denn die Bilder der Basisvektoren?
>
> Um [mm]_EM(\rho)_E[/mm] zu bekommen, brauchst Du die beiden
> Transformationsmatrizen
>
> [mm]_EM(id)_B,[/mm] welche Dir Koordinatenvektoren bzgl B in solche
> bzgl E verwandelt
> und
> [mm]_BM(id)_E,[/mm] welche Dir Koordinatenvektoren bzgl E in solche
> bzgl B verwandelt.
>
> [mm]_EM(id)_B[/mm] ist leicht: die beiden Spalten sind v und w.
>
> Es ist dann [mm]E_M(\rho)_E=_EM(id)_B*_BM(\rho)_B*_BM(id)_E.[/mm]
>
> Gruß v. Angela
Sorry, dass ich hier so schwer von Begriff bin...
Danke und Gruß
tedd
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:13 Sa 22.10.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. zu einer festen Basis sind die Spaltenvektoren der Abbildungsmatrix die Bilder der Basisvektoren .
2. wenn die Basisvektoren b1=v, b2=w sind un d b1 auf b2 und b2 auf b1 abgebildet wird, hast du eben die von den anderen angegebene matrix.
jetzt habt ihr Basistransformation behandelt, was ist die Transformationsmatrix von der Basis (v,w) auf [mm] e_1,e2 [/mm] die standardbasis?
Lies das nach!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:39 Sa 22.10.2011 | | Autor: | tedd |
> Hallo
Hii!
> 2. wenn die Basisvektoren b1=v, b2=w sind un d b1 auf b2
> und b2 auf b1 abgebildet wird, hast du eben die von den
> anderen angegebene matrix.
Das bedeutet doch, dass
[mm] A\cdot\vec{v}=\vec{w}
[/mm]
und
[mm] A\cdot\vec{w}=\vec{v}
[/mm]
sind - also A die Abbildungsmatrix $ [mm] _BM(\rho)_B$ [/mm] ist - oder nicht?
Dann verstehe ich aber immernoch nicht, wie da $ [mm] _BM(\rho)_B=\pmat{0&1\\1&0}. [/mm] $ rauskommen kann, denn ich würde es so machen:
[mm] \vec{v}=\vektor{2 \\ 1} [/mm] und [mm] \vec{w}=\vektor{-1\\1}
[/mm]
[mm] \pmat{a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}}\cdot\vektor{2 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 1} [/mm] ; [mm] \pmat{a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}}\cdot\vektor{-1 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 1}
[/mm]
woraus man folgende Gleichungen erhält:
(I) : [mm] a_{11} \cdot [/mm] 2 + [mm] a_{12} [/mm] = -1
(II) : [mm] -a_{11} [/mm] + [mm] a_{12} [/mm] = 2
(III) : [mm] a_{21} \cdot [/mm] 2 + [mm] a_{22} [/mm] = 1
(IV) : [mm] -a_{21} [/mm] + [mm] a_{22} [/mm] = 1
[mm] a_{22}=1 [/mm] + [mm] a_{21} [/mm] in (III):
[mm] a_{21} \cdot [/mm] 2 + 1 [mm] +a_{21} [/mm] = 1 [mm] \Rightarrow a_{21}=0 [/mm] , und somit [mm] a_{22} [/mm] = 1
[mm] a_{12} [/mm] = 2 + [mm] a_{11} [/mm] in (I)
[mm] a_{11} \cdot [/mm] 2 + 2 + [mm] a_{11} [/mm] = -1 [mm] \Rightarrow a_{11}=-1, [/mm] und somit [mm] a_{12}=1
[/mm]
und dann ergibt sich:
[mm] A=\pmat{-1 && 1 \\ 0 && 1}
[/mm]
?
> Lies das nach!
Das mache ich schon die ganze Zeit aber ich werde weiterlesen ;)
> Gruss leduart
Danke und Gruß
tedd
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Hallo tedd,
> > Hallo
> Hii!
> > 2. wenn die Basisvektoren b1=v, b2=w sind un d b1 auf
> b2
> > und b2 auf b1 abgebildet wird, hast du eben die von den
> > anderen angegebene matrix.
>
> Das bedeutet doch, dass
> [mm]A\cdot\vec{v}=\vec{w}[/mm]
> und
> [mm]A\cdot\vec{w}=\vec{v}[/mm]
> sind - also A die Abbildungsmatrix [mm]_BM(\rho)_B[/mm] ist - oder
> nicht?
>
> Dann verstehe ich aber immernoch nicht, wie da
> [mm]_BM(\rho)_B=\pmat{0&1\\1&0}.[/mm] rauskommen kann, denn ich
> würde es so machen:
>
> [mm]\vec{v}=\vektor{2 \\ 1}[/mm] und [mm]\vec{w}=\vektor{-1\\1}[/mm]
>
> [mm]\pmat{a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}}\cdot\vektor{2 \\ 1}[/mm]
> = [mm]\vektor{-1 \\ 1}[/mm] ; [mm]\pmat{a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}}\cdot\vektor{-1 \\ 1}[/mm]
> = [mm]\vektor{2 \\ 1}[/mm]
>
> woraus man folgende Gleichungen erhält:
>
> (I) : [mm]a_{11} \cdot[/mm] 2 + [mm]a_{12}[/mm] = -1
> (II) : [mm]-a_{11}[/mm] + [mm]a_{12}[/mm] = 2
> (III) : [mm]a_{21} \cdot[/mm] 2 + [mm]a_{22}[/mm] = 1
> (IV) : [mm]-a_{21}[/mm] + [mm]a_{22}[/mm] = 1
>
> [mm]a_{22}=1[/mm] + [mm]a_{21}[/mm] in (III):
>
> [mm]a_{21} \cdot[/mm] 2 + 1 [mm]+a_{21}[/mm] = 1 [mm]\Rightarrow a_{21}=0[/mm] , und
> somit [mm]a_{22}[/mm] = 1
>
> [mm]a_{12}[/mm] = 2 + [mm]a_{11}[/mm] in (I)
> [mm]a_{11} \cdot[/mm] 2 + 2 + [mm]a_{11}[/mm] = -1 [mm]\Rightarrow a_{11}=-1,[/mm]
> und somit [mm]a_{12}=1[/mm]
>
> und dann ergibt sich:
>
> [mm]A=\pmat{-1 && 1 \\ 0 && 1}[/mm]
>
> ?
>
Das stimmt, wenn die Zielbasis die Standardbasis des [mm]\IR^{2}[/mm] ist.
Hier ist die Basis aber [mm]\left( \ v,w \ \right)[/mm],
d.h. die Bilder unter der Abbildung A sind als
Linearkombination der Basiselemente v,w darzustellen.
> > Lies das nach!
> Das mache ich schon die ganze Zeit aber ich werde
> weiterlesen ;)
>
> > Gruss leduart
>
> Danke und Gruß
> tedd
>
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:00 Sa 29.10.2011 | | Autor: | tedd |
Okay ich habe es nun mehr oder weniger verstanden...
Danke für die Hilfe!
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