Abbildungsprobleme? < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:49 Sa 22.10.2005 | | Autor: | nebben |
Hallo
Ich habe eine Aufgabe bearbeiten zu lernen und ich weiss nicht wie ich weiter komme. Hoffentlich kann mir jemand helfen.
Gegeben ist eine Abbildung [mm] \varphi: \IR^2 \to \IR^2 [/mm] mit [mm] \varphi(x,y)=(x^2-y^2,2xy).
[/mm]
a)Ist [mm] \varphi [/mm] injektiv oder surjektiv?
Injektivität:
[mm] \varphi(x_{1},y_{1})=\varphi(x_{2},y_{2}) \Rightarrow x_{1}=x_{2} [/mm] und [mm] y_{1}=y_{2} [/mm]
Surjektivität:
[mm] \varphi(\IR^2,\IR^2)=\IR^2 [/mm] und [mm] \IR^2
[/mm]
[mm] \varphi(-2,-2)=(0,8)=\varphi(2,2) \Rightarrow \varphi(x,y) [/mm] ist nicht injektiv.
Wie macht man das bitte bei der Surjektivität?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:37 Di 25.10.2005 | | Autor: | nebben |
Hallo
Es gibt weiterhin die Abblidung gegeben durch $ [mm] \varphi(x,y)=(x^2-y^2,2xy). [/mm] $
b) Nun soll man die Umkehrabblidung $ [mm] \varphi^-1(M)$ [/mm] für $M = [mm] \menge((x,y) \in \IR^2 [/mm] :x=y)$ bestimmen.
Heißt das soviel wie das [mm] \varphi(M)=(0,2x^2) [/mm] und man im Grunde nur die Umkehrabbildung von [mm] 2x^2 [/mm] finden muss, weil die Umkehrabbildung von 0=0.
Die Umkehrabbildung von [mm] 2x^2 [/mm] ist [mm] \bruch{1}{2} \wurzel{x} [/mm] also ist
$ [mm] \varphi^-1(M)=(0, \bruch{1}{2} \wurzel{x} [/mm] )$ .
Stimmt das, bitte?
Und jetzt soll man noch zeigen, dass [mm] \varphi(x,y) \not\in [/mm] S ist bijektiv für alle (x,y) [mm] \in [/mm] H und der Beschränkung [mm] $\varphi [/mm] | H: H [mm] \to (\IR^2-S)$
[/mm]
[mm] H=\menge((x,y) \in \IR^2: [/mm] x>0 )
[mm] S=\menge((x,0) \in \IR^2 [/mm] : x [mm] \le [/mm] 0 )
Mir mein erstes Problem ist was ist [mm] \varphi(x,y) \not\in [/mm] S ?
Ich denke mal das S die Abblidung beschränkt von [mm] \varphi: \IR^2 \to \IR^2 [/mm] nach
[mm] \varphi: \IR^2 \to \IR_{+}^2 [/mm] oder nach [mm] \varphi :\IR_{+}^2 \to \IR_{+}^2 [/mm] oder [mm] \varphi :\IR_{+}^{2} \to \IR^2 [/mm] wobei x und y nicht null sein sollen.
...bijektiv für alle (x,y) [mm] \in [/mm] H. Hs x sind größer als null und der Beschränkung...
Was bedeutet $ [mm] \varphi [/mm] | H: H [mm] \to (\IR^2-S) [/mm] $?
H beschränkt den Bildraum von [mm] \varphi [/mm] auf die (x,y) [mm] \in \IR_{+}^2 [/mm] ohne die 0.
Also:
[mm] \varphi(x,y) [/mm] ist bijektiv weil es wie bereits gezeigt surjektiv ist. Jetzt muß ich nur noch zeigen dass es injektiv ist für [mm] \varphi(x,y)\IR_{+}^2 \to \IR_{+}^2 [/mm] . ( ohne die 0)
Stimmt das, bitte?
gruß nebben
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:21 Di 25.10.2005 | | Autor: | taura |
Hallo nebben!
> Es gibt weiterhin die Abblidung gegeben durch
> [mm]\varphi(x,y)=(x^2-y^2,2xy).[/mm]
>
> b) Nun soll man die Umkehrabblidung [mm]\varphi^-1(M)[/mm] für [mm]M = \menge((x,y) \in \IR^2 :x=y)[/mm]
> bestimmen.
Bist du sicher, dass nicht das Urbild der Menge M gemeint ist? Steht da Umkehrabbildung?
> Und jetzt soll man noch zeigen, dass [mm]\varphi(x,y) \not\in[/mm]
> S ist bijektiv für alle (x,y) [mm]\in[/mm] H und der Beschränkung
> [mm]\varphi | H: H \to (\IR^2-S)[/mm]
> [mm]H=\menge((x,y) \in \IR^2:[/mm] x>0 )
> [mm]S=\menge((x,0) \in \IR^2[/mm] : x [mm]\le[/mm] 0 )
Das macht so nicht wirklich Sinn... Wie lautet denn die Aufgabenstellung wörtlich?
Denkbar wäre zum Beispiel, dass du zeigen sollst, dass für alle [mm] $(x,y)\in [/mm] H$ gilt, dass [mm] $\varphi(x,y)\not\in [/mm] S$ und dann, dass die Einschränkung von [mm] $\varphi$ [/mm] auf H mit Bildbereich [mm] $\IR^2\backslash [/mm] S$ (also [mm] $\IR^2$ [/mm] ohne S) bijektiv ist.
Gruß taura
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:42 Di 25.10.2005 | | Autor: | nebben |
hallo
du hast recht.
die aufgabenstellung lautet nur:
b) Bestimmen Sie [mm] \varphi^-1(M) [/mm] für $ M = [mm] \menge((x,y) \in \IR^2 [/mm] :x=y) $
Wohl ist hier das Urbild der Menge M gesucht. Die Umkehrabbildung wäre zu einfach gewesen.
Wie geht das bitte?
d) Zeigen Sie, dass [mm] \varphi(x,y) \not\in [/mm] S ist für alle (x,y) [mm] \in [/mm] H und die Beschränkung [mm] $\varphi|H:H \to \IR^2 \backslash [/mm] S$ bijektiv ist.
1.$ [mm] \varphi(x,y) \not\in [/mm] S$ ist für alle $(x,y) [mm] \in [/mm] H$ :
$ [mm] S=\menge((x,0) \in \IR^2 [/mm] : [mm] x\le0 [/mm] $
$ [mm] H=\menge((x,y) \in \IR^2:x>0 [/mm] $
2. [mm] $\varphi|H:H \to \IR^2 \backslash [/mm] S$ ist bijektiv:
So macht das schon mehr sinn, oder?
Wie soll man das bei 1. zeigen, dass die Mengen disjunkt sind:
$ H [mm] \cap\ [/mm] S= [mm] \emptyset$ [/mm] wenn $2xy [mm] \not= [/mm] 0$ wenn $y [mm] \not= [/mm] 0$
Und 2.:
[mm] $\varphi|H: \IR_{+}^2 \to \IR_{+}^2 [/mm] $ ist injektiv wobei $2xy [mm] \not= [/mm] 0$
wie zeige ich das bitte?
Morgen soll ich die Aufgabe wieder abgeben. Fertig werden werde ich wohl nicht, aber wenn du mir heute noch weiterhelfen kannst wäre es toll.
gruß nebben.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:15 Di 25.10.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo nebben!
Warum postest Du eigentlich Deine Fragen immer doppelt (immerhin schon zum zweiten Male) und "leerst" Deine ursprüngliche Frage?
Hier geht das nicht wie in anderen Foren, dass Du durch einen neuen Post nach oben wanderst in der Liste.
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:28 Di 25.10.2005 | | Autor: | taura |
Hallo nebben!
> die aufgabenstellung lautet nur:
> b) Bestimmen Sie [mm]\varphi^-1(M)[/mm] für [mm]M = \menge((x,y) \in \IR^2 :x=y)[/mm]
>
> Wohl ist hier das Urbild der Menge M gesucht. Die
> Umkehrabbildung wäre zu einfach gewesen.
>
> Wie geht das bitte?
Du musst alle Punkte suchen, die auf M abgebildet werden, sprich alle Punkte $(x,y)$ so dass gilt [mm] $\varphi(x,y)\in [/mm] M$. Es soll also gelten:
[mm] $x^2-y^2=2xy$
[/mm]
Die Lösungsmenge dieser Gleichung ist dein gesuchtes Urbild.
> d) Zeigen Sie, dass [mm]\varphi(x,y) \not\in[/mm] S ist für alle
> (x,y) [mm]\in[/mm] H und die Beschränkung [mm]\varphi|H:H \to \IR^2 \backslash S[/mm]
> bijektiv ist.
>
> 1.[mm] \varphi(x,y) \not\in S[/mm] ist für alle [mm](x,y) \in H[/mm] :
> [mm]S=\menge((x,0) \in \IR^2 : x\le0[/mm]
> [mm]H=\menge((x,y) \in \IR^2:x>0[/mm]
>
> 2. [mm]\varphi|H:H \to \IR^2 \backslash S[/mm] ist bijektiv:
>
> So macht das schon mehr sinn, oder?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Wie soll man das bei 1. zeigen, dass die Mengen disjunkt
> sind:
> [mm]H \cap\ S= \emptyset[/mm] wenn [mm]2xy \not= 0[/mm] wenn [mm]y \not= 0[/mm]
Nein, du musst zeigen, dass gilt: wenn $x>0$ (Bedingung von H), dann ist [mm] $\varphi(x,y)\not\in [/mm] S$, sprich: [mm] $x^2-y^2>0$ [/mm] oder [mm] $2xy\not=0$ [/mm] (Negation der Bedingung von S)
> Und 2.:
> [mm]\varphi|H: \IR_{+}^2 \to \IR_{+}^2[/mm] ist injektiv wobei [mm]2xy \not= 0[/mm]
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") Was soll denn dieses [mm] $\IR_+^2$?? [/mm] Du sollst zeigen, dass keine zwei Elemente aus H auf das gleiche Element in [mm] $\IR^2\backslashS$ [/mm] abgebildet werden. Das macht man, indem man annimmt dass [mm] $\varphi(x,y)=\varphi(x',y')$ [/mm] und zeigt dass dann (x,y)=(x',y') sein muss.
Gruß taura
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 18:49 Di 25.10.2005 | | Autor: | nebben |
Hallo taura,
Wann gilt $ [mm] x^2-y^2=2xy [/mm] $?
$ [mm] -x^2 +2xy+y^2=0 [/mm] $
[mm] $(-x+y)^2=0$
[/mm]
=0 wenn y-x=0
wie macht man das da, bitte?
gruß nebben
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:17 Fr 28.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo nebben!
Auch hier ist der von dir angegebene Fälligkeitszeitpunkt der Frage bereits deutlich überschritten, ohne dass eine Antwort gegeben wurde; schade.
Viele Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:42 Di 25.10.2005 | | Autor: | Osnatika |
Hallo zusammen,
ich hab nur noch mal eine kleine Frage zum Nachweis der Injektivität des Ganzens. Ich dachte immer man weißt das so nach, das f(x) ungleich f(y) ist.
also für jedes x² -y², 2xy gibts nur eine Lösung. Also ich versteh das noch nicht so richtig, wieso setzt nebben 2,2 ein und folgert 0,8.
Sagt mir bitte ob der erste teil richtig ist.
danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:11 Di 25.10.2005 | | Autor: | nebben |
hallo
man kann injektivität widerlegen, indem man zwei x mit gleichem y findet.
mfg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:41 Sa 22.10.2005 | | Autor: | SEcki |
> Wie macht man das bitte bei der Surjektivität?
Zwei Möglichkeiten: Setze [m](a,b)[/m] im Urbild belieibg und mache den Ansatz [m](x^2-y^2,2xy)=(a,b)[/m] und löse schrittweise (mit Fallunterscheodungen, natürlich) das ganze nach x und y auf. Details musst du machen - aber wir helfen dann gerne bei Unklarheiten. Andere Möglichkeiten: die Abbildung beschreibt das Quadrieren in [m]\IC[/m] - also könnte man es auxch auf die Existenz von Quadratwurzeln dortzurückspulen. (Oder natürlich so beweisen ...)
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:18 So 23.10.2005 | | Autor: | nebben |
Hallo
Ich will den ersten Weg versuchen.
$ [mm] x^2-y^2=a [/mm] $
$2xy=b$
für x > 0
$ [mm] x^2-y^2=a [/mm] $
[mm] $x^2=a+y^2$
[/mm]
$x= [mm] \wurzel{a}+y$
[/mm]
[mm] $y^2=a-x^2$
[/mm]
[mm] $y=\wurzel{a}-x$
[/mm]
$2xy=b$
[mm] $x=\frac{b}{2y}$
[/mm]
[mm] $y=\frac{b}{2x}$
[/mm]
für x < 0
Stimmt das so?
Wie geht es da bitte weiter?
gruß nebben
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:25 So 23.10.2005 | | Autor: | SEcki |
> [mm]x^2-y^2=a[/mm]
> [mm]x^2=a+y^2[/mm]
> [mm]x= \wurzel{a}+y[/mm]
Ojemine. Das lernt man doch schon in der Schule, das das nicht stimmt.
> [mm]2xy=b[/mm]
Löse hie mal nach x oder y auf und setze das dann in den ersten Term ein bzw.: mach beide mal, und zwar unetr der Vorraussetzung, dass sie jeweils nicht 0 sind - das reicht.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:52 So 23.10.2005 | | Autor: | nebben |
Hallo
Danke wie peinlich.
$ [mm] x^2=a+y^2 [/mm] $
[mm] $x=\wurzel{a+y^2}$
[/mm]
$ [mm] y^2=a-x^2 [/mm] $
[mm] $y=\wurzel{a+x^2}$
[/mm]
für x und y [mm] \not= [/mm] 0
$ [mm] y=\frac{b}{2x} [/mm] $
x=-2 $y= [mm] \frac{b}{-4} [/mm] $
x=-1 [mm] $y=\frac{b}{-2} [/mm] $
x=1 [mm] $y=\frac{b}{2} [/mm] $
x=2 [mm] $y=\frac{b}{4} [/mm] $
$ [mm] x=\frac{b}{2y} [/mm] $
y=-2 $x= [mm] \frac{b}{-4} [/mm] $
y=-1 [mm] $x=\frac{b}{-2} [/mm] $
y=1 [mm] $x=\frac{b}{2} [/mm] $
y=2 [mm] $x=\frac{b}{4} [/mm] $
[mm] $x=\wurzel{a+y^2}$
[/mm]
y=-2 [mm] $x=\wurzel{a+4}$
[/mm]
y=-1 [mm] $x=\wurzel{a+1}$
[/mm]
y=1 [mm] $x=\wurzel{a+1}$
[/mm]
y=2 [mm] $x=\wurzel{a+4}$
[/mm]
[mm] $y=\wurzel{a-x^2}$
[/mm]
x=-2 [mm] $y=\wurzel{a-4}$
[/mm]
x=-1 [mm] $y=\wurzel{a-1}$
[/mm]
x=1 [mm] $y=\wurzel{a-1}$
[/mm]
x=2 [mm] $y=\wurzel{a-4}$
[/mm]
Was weiss man dann, bitte?
gruß nebben
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:55 So 23.10.2005 | | Autor: | taura |
Hallo nebben!
> [mm]x^2=a+y^2[/mm]
> [mm]x=\wurzel{a+y^2}[/mm]
Nicht ganz, es muss heißen: [mm]x=\pm\wurzel{a+y^2}[/mm]
> [mm]y^2=a-x^2[/mm]
> [mm]y=\wurzel{a+x^2}[/mm]
Hier der gleiche Fehler.
> für x und y [mm]\not=[/mm] 0
>
> [mm]y=\frac{b}{2x}[/mm]
> x=-2 [mm]y= \frac{b}{-4}[/mm]
> x=-1 [mm]y=\frac{b}{-2}[/mm]
> x=1 [mm]y=\frac{b}{2}[/mm]
> x=2 [mm]y=\frac{b}{4}[/mm]
>
> [mm]x=\frac{b}{2y}[/mm]
> y=-2 [mm]x= \frac{b}{-4}[/mm]
> y=-1 [mm]x=\frac{b}{-2}[/mm]
> y=1 [mm]x=\frac{b}{2}[/mm]
> y=2 [mm]x=\frac{b}{4}[/mm]
>
>
> [mm]x=\wurzel{a+y^2}[/mm]
> y=-2 [mm]x=\wurzel{a+4}[/mm]
> y=-1 [mm]x=\wurzel{a+1}[/mm]
> y=1 [mm]x=\wurzel{a+1}[/mm]
> y=2 [mm]x=\wurzel{a+4}[/mm]
>
>
> [mm]y=\wurzel{a-x^2}[/mm]
> x=-2 [mm]y=\wurzel{a-4}[/mm]
> x=-1 [mm]y=\wurzel{a-1}[/mm]
> x=1 [mm]y=\wurzel{a-1}[/mm]
> x=2 [mm]y=\wurzel{a-4}[/mm]
Was machst du denn hier?
Warum machst du es denn nicht so, wie SEcki gesagt hat?? Setze [mm]y=\frac{b}{2x}[/mm] doch mal in [mm]x=\wurzel{a+y^2}[/mm] ein, dann kannst du x in Abhängigkeit von a und b ausdrücken. Das gleiche Mit den beiden anderen Gleichungen, da bekommst du dann y in Abhängigkeit von a und b.
Der Sinn des ganzen: Du willst ja Surjektivität zeigen, sprich, dass jeder Punkt aus deinem Bildbereich ([mm]\IR^2[/mm]) erreicht wird. Also nimmst du einen belibigen Punkt (a,b) und zeigst, dass es zu diesem beliebigen Punkt auf jeden Fall mindestens einen Punkt (x,y) gibt, der darauf abgebildet wird. Dafür musst du x und y in Abhängigkeit von a und b darstellen, wenn dabei keine Einschränkungen für a und b entstehen, ist die Abbildung surjektiv, wenn du aber bestimmte a und b ausschließen musst, heißt das, dass diese Punkte nicht getroffen werden also ist die Abbildung nicht surjektiv.
Gruß taura
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:11 So 23.10.2005 | | Autor: | nebben |
Hallo taura,
Oh Gott . Ich weiss nicht was ich gemacht habe. Danke für deinen Hinweis und deine sinnreiche Erklärung.
$ [mm] y=\frac{b}{2x} [/mm] $
$ [mm] x=\wurzel{a+y^2} [/mm] $
$ [mm] x=\wurzel{a+(\frac{b}{2x})^2} [/mm] $
$ [mm] x=\frac{b}{2y} [/mm] $
$ [mm] y=\wurzel{a-x^2} [/mm] $
$ [mm] y=\wurzel{a-(\frac{b}{2y} )^2} [/mm] $
Warum dürfen beide nicht null werden?
Oder kann man sagen,
wenn [mm] $a+(\frac{b}{2x})^2$ [/mm] und [mm] $a-(\frac{b}{2x})^2$ $\ge [/mm] 0$
dann ist die Abblidung surjektiv, weil die Wurzel nicht negativ werden darf?
Gruß nebben
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:40 So 23.10.2005 | | Autor: | nebben |
Hallo
$ [mm] x=\wurzel{a+(\frac{b}{2x})^2} [/mm] $
[mm] $x^2=(a+(\frac{b}{2x})^2)^2 [/mm] $
[mm] $x^2=a^2+2a(\frac{b}{2x})^2+(\frac{b}{2x})^4$
[/mm]
[mm] $x^2=a^2+2a(\frac{b^2}{4x^2})+(\frac{b^4}{16x^4})$
[/mm]
[mm] $x^2=a^2+\frac{2ab^2}{4x^2}+\frac{b^4}{16x^4}$
[/mm]
[mm] $x^2=\frac{16x^4*a^2 +4x^2*2ab^2+b^4}{16x^4}$
[/mm]
[mm] $x^2=\frac{16a^2x^4+8ab^2x^2+b^4}{16x^4}$
[/mm]
[mm] $x^2=\frac{(4ax^2+b^2)^2}{16x^4}$
[/mm]
Ich komme da nicht weiter. Ist das überhaupt der richtige Weg? Vermutlich muss man die Normalform finden und dann die Nullstellen herausfinden?
Gruß nebben
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:50 So 23.10.2005 | | Autor: | taura |
Hallo nebben!
> [mm]x=\wurzel{a+(\frac{b}{2x})^2}[/mm]
> [mm]x^2=(a+(\frac{b}{2x})^2)^2[/mm]
Nicht die rechte Seite auch noch quadrieren, da stand doch die Wurzel! 
> [mm]x^2=a^2+2a(\frac{b}{2x})^2+(\frac{b}{2x})^4[/mm]
> [mm]x^2=a^2+2a(\frac{b^2}{4x^2})+(\frac{b^4}{16x^4})[/mm]
> [mm]x^2=a^2+\frac{2ab^2}{4x^2}+\frac{b^4}{16x^4}[/mm]
> [mm]x^2=\frac{16x^4*a^2 +4x^2*2ab^2+b^4}{16x^4}[/mm]
>
> [mm]x^2=\frac{16a^2x^4+8ab^2x^2+b^4}{16x^4}[/mm]
> [mm]x^2=\frac{(4ax^2+b^2)^2}{16x^4}[/mm]
Ist dann natürlich als Folgefehler auch falsch...
Gruß taura
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:07 So 23.10.2005 | | Autor: | nebben |
Hallo taura,
$ [mm] x=\wurzel{a+(\frac{b}{2x})^2} [/mm] $
$ [mm] x^2=a+(\frac{b}{2x})^2 [/mm] $
$ [mm] x^2=a+\frac{b^2}{4x^2} [/mm] $
[mm] $0=-4x^4 +4ax^2+b^2$
[/mm]
was nun bitte?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:14 So 23.10.2005 | | Autor: | taura |
Hallo nebben!
Jetzt das lösen durch Substitution, [mm](z=x^2)[/mm] und dann a,b,c-Formel. 
Gruß taura
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:30 So 23.10.2005 | | Autor: | nebben |
Hallo taura
[mm] $-4z^2+4az+b^2=0$
[/mm]
a=-4
b=4a
[mm] c=b^2
[/mm]
[mm] z_{1,2}= \bruch{(-b) \pm\ \wurzel{b^2-4ac} }{2a}
[/mm]
[mm] z_{1,2}= \bruch{(-4a) \pm\ \wurzel{(4a)^2-4*(-4b^2)} }{-8}
[/mm]
[mm] z_{1,2}= \bruch{ -4a \pm\ \wurzel{16a^2+16b^2} }{-8}
[/mm]
[mm] z_{1,2}= \bruch{ -4a \pm\ 4a+4b}{-8}
[/mm]
[mm] z_{1}= \bruch{4b}{-8}= [/mm] - [mm] \bruch{b}{2}
[/mm]
[mm] z_{2}= \bruch{ -8a+4b}{-8}= [/mm] a- [mm] \bruch{b}{2}
[/mm]
[mm] x_{1}= \frac {b^2}{4}
[/mm]
[mm] $x_{2}= [/mm] (a- [mm] \frac{b}{2} [/mm] ) ^2 = [mm] a^2-ab+ \frac {b^2}{4}$
[/mm]
--------------------------
$ [mm] y^2=a-\frac{b^2}{4y^2} [/mm] $
$ [mm] y=\wurzel{a-(\frac{b}{2y})^2} [/mm] $
$ [mm] y^2 [/mm] = [mm] a-(\frac{b}{2y})^2 [/mm] $
$ [mm] 0=-4y^4 +4ay^2-b^2 [/mm] $
[mm] $-4w^2+4aw-b^2=0$
[/mm]
a=-4
b=4a
[mm] c=-b^2
[/mm]
$ [mm] w_{1,2}= \bruch{(-4a) \pm\ \wurzel{(4a)^2-4\cdot{}(-4(-b^2))} }{-8}$
[/mm]
$ [mm] x_{3}= \frac {b^2}{4} [/mm] $
$ [mm] x_{4}= [/mm] (a+ [mm] \frac{b}{2} [/mm] ) ^2 = [mm] a^2+ab+ \frac {b^2}{4} [/mm] $
[mm] \Rightarrow [/mm] $ [mm] \varphi(x,y)=(x^2-y^2,2xy) [/mm] $ ist surjektiv, weil a und a uneingeschränkt gilt.
Stimmt das, bitte?
Gruß nebben
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:48 Mo 24.10.2005 | | Autor: | SEcki |
> Hallo taura
>
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> [mm]-4z^2+4az+b^2=0[/mm]
>
> a=-4
> b=4a
> [mm]c=b^2[/mm]
Räusper! Da du schon a und b gegeben hast und nun nochmal a und b verwendest, und zwar in einem ganz anderen Zusammenhang, treibt einen ja fast Tränen in die Augen (außer man ist Logiker und bindet die eh, wie man will )
> [mm]z_{1,2}= \bruch{ -4a \pm\ \wurzel{16a^2+16b^2} }{-8}[/mm]
>
> [mm]z_{1,2}= \bruch{ -4a \pm\ 4a+4b}{-8}[/mm]
Kopfschüttel - das ist falsch, mal wieder die Wurzel reingezogen, obwohl man da nicht darf. Da musst du selbst ganz schön viel alleine rechnen! Das kann (und will/soll/darf) dir hier keiner abnehmen.
Ich guck mir den Rest jetzt nicht mehr an - aber aus der letzten richtigen Gleichung folgt dann quasi alles: das Minus aus dem Enner hebt sich mit dem Minus oben garantiert auf (wenn du für die Wurzel das richtige Vorzeichen wählst), also steht rechts eine nichtnegative Zahl, also erhälst du für x einen Wert - die Wurzel aus dem Ausdruck, und für y dann einen entsprechenden. Jetzt noch die sonderfälle abklappern und fertig. Damit hast du dann für beliebig gewählte a, b ein Urbild gefunden.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:29 Mo 24.10.2005 | | Autor: | nebben |
hallo
Den a,b,c Fehler finde ich ohne Absicht lustig.
Den Wurzel Fehler nicht. Ja, mir fehlt die Rechenfertigkeit und die kann ich mir nur durch Übung aneignen.
Also:
$ [mm] z_{1,2,3,4}= \bruch{ -4a \pm\ \wurzel{16a^2 \pm\ 16b^2} }{-8} [/mm] $
$ [mm] z_{1,2,3,4}= \bruch{ -4a \pm\ 4*\wurzel{a^2 \pm\ b^2} }{-8} [/mm] $
$ [mm] z_{1,2,3,4}= \bruch{ a \pm\ \wurzel{a^2 \pm\ b^2} }{2} [/mm] $
1.+2.Fall:
$ [mm] z_{1,2}= \bruch{ a \pm\ \wurzel{a^2 + b^2} }{2} [/mm] $
Die Wurzel ist garantiert nicht negativ => Man bekommt für x einen Wert.
Es gibt für beliebige a, b ein Urbild.
3.+4.Fall:
$ [mm] z_{3,4}= \bruch{ a \pm\ \wurzel{a^2 - b^2} }{2} [/mm] $
wenn (a [mm] \ge [/mm] b) ist die Wurzel garantiert nicht negativ. => Man bekommt für x einen Wert. Es gibt für beliebige a, b ein Urbild , wobei (a [mm] \ge [/mm] b) gelten muß.
Ich habe jetzt wieder was gemacht. Ich würde sagen ok fertig, aber vermutlich stimmt was nicht oder es fehlt was.
Sag mir bitte wies ist?
gruß nebben.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:00 Di 25.10.2005 | | Autor: | taura |
Hallo nebben!
> [mm]z_{1,2,3,4}= \bruch{ -4a \pm\ \wurzel{16a^2 \pm\ 16b^2} }{-8}[/mm]
Warum hast du denn jetzt plötzlich [mm] \pm [/mm] unter der Wurzel stehen??
> [mm]z_{1,2,3,4}= \bruch{ -4a \pm\ 4*\wurzel{a^2 \pm\ b^2} }{-8}[/mm]
>
> [mm]z_{1,2,3,4}= \bruch{ a \pm\ \wurzel{a^2 \pm\ b^2} }{2}[/mm]
>
> 1.+2.Fall:
> [mm]z_{1,2}= \bruch{ a \pm\ \wurzel{a^2 + b^2} }{2}[/mm]
> Die
> Wurzel ist garantiert nicht negativ => Man bekommt für x
> einen Wert.
Welchen? Entstehen dadurch noch Einschränkungen?
> 3.+4.Fall:
> [mm]z_{3,4}= \bruch{ a \pm\ \wurzel{a^2 - b^2} }{2}[/mm]
Diesen Fall gibt es nicht, den hast du dir mit dem falschen [mm] \pm [/mm] eingebrockt...
Gruß taura
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:45 Di 25.10.2005 | | Autor: | nebben |
Hallo
das war immer falsch:
$ [mm] y=\wurzel{a-(\frac{b}{2y})^2} [/mm] $
deshalb muss es heißen:
$ [mm] y=\wurzel{-a+(\frac{b}{2y})^2} [/mm] $
weil es stammt ja von:
$ [mm] x^2-y^2=a [/mm] $
daraus folgt:
$ [mm] 0=-4y^4 -4ay^2+b^2 [/mm] $
das wird dann zu:
$ [mm] z_{3,4}= \bruch{(-4a) \pm\ \wurzel{(-4a)^2-4\cdot{}(-4b^2)} }{-8} [/mm] $
und schließlich:
$ [mm] z_{1,2}= \bruch{ a \pm\ \wurzel{a^2 + b^2} }{2} [/mm] $
$ [mm] z_{3,4}=- \bruch{ a \pm\ \wurzel{a^2 + b^2} }{2} [/mm] $
Stimmt das so jetzt, bitte?
ergibt weiter:
[mm] x_{1,2,3,4}=( \bruch{ a \pm\ \wurzel{a^2 + b^2} }{2} )^2 [/mm]
[mm] x_{1,2,3,4}=\bruch{ a^2 \pm\ 2\wurzel{a^2 + b^2}+a^2+b^2 }{4} [/mm]
[mm] x_{1,2,3,4}= \bruch{ 2a^2+b^2 \pm\ 2\wurzel{a^2 + b^2} }{4} [/mm]
Wie muss man das hier bitte zusammenfassen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:56 Di 25.10.2005 | | Autor: | taura |
Hallo nebben!
> daraus folgt:
> [mm]0=-4y^4 -4ay^2+b^2[/mm]
>
> das wird dann zu:
> [mm]z_{3,4}= \bruch{(-4a) \pm\ \wurzel{(-4a)^2-4\cdot{}(-4b^2)} }{-8}[/mm]
Warum [mm] $z_{3,4}$?? [/mm] Einfach [mm] $z_{1,2}$...
[/mm]
> und schließlich:
> [mm]z_{1,2}= \bruch{ a \pm\ \wurzel{a^2 + b^2} }{2}[/mm]
> [mm]z_{3,4}=- \bruch{ a \pm\ \wurzel{a^2 + b^2} }{2}[/mm]
Warum denn das Minus?? Es gibt nur zwei z als Lösung, denn in z ist die Gleichung doch quardatisch...
> ergibt weiter:
> [mm]x_{1,2,3,4}=( \bruch{ a \pm\ \wurzel{a^2 + b^2} }{2} )^2[/mm]
Falschrum, die Rücksubstitution lautet doch [mm] $z=y^2$, [/mm] (die Variable war y!) also
[mm] $y_{1,2}=\pm\wurzel{\bruch{ a +\ \wurzel{a^2 + b^2} }{2}}$
[/mm]
[mm] $y_{3,4}=\pm\wurzel{\bruch{ a -\ \wurzel{a^2 + b^2} }{2}}$
[/mm]
Was bedeutet das jetzt für unsere Aufgabe? Sind a und b hier eingeschränkt, bzw. wann greift welcher Fall?
Wie sieht x dann aus? Entstehen daraus noch weitere Einschränkungen?
Gruß taura
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(Frage) für Interessierte | | Datum: | 18:18 Di 25.10.2005 | | Autor: | nebben |
Hallo,
In [mm] y_{1,2} [/mm] ist a, b uneingeschränkt. x und y von [mm] \varphi(x,y) [/mm] ist surjektiv.
In [mm] y_{3,4} [/mm] ist b uneingeschränkt. y ist surjektiv. x ist surjektiv wenn $a [mm] \ge\ [/mm] 0$
also wenn [mm] $x^2-y^2 \ge\ [/mm] 0$
also wenn $x [mm] \ge\ [/mm] y$
Wohl kaum?
gruß nebben
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Vielleicht hast du ja beim nächsten Mal wieder mehr Glück! ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]"){kind=small}
