Abbleitung und Taylorpolynom < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:28 Di 24.05.2005 | | Autor: | sachmeth |
Hallöle,
habe hier 2 Rechenaufgaben, auf deren Lösung ich leider nicht komme. Kannsie mir jemand bitte erklären?
Bestimme mit Hilfe der Kettenregel die Ableitung von f(a,b) und g nach x
f(a,b)=(a+b)² a(x)=2(1+x)³ b(x)=sin(x)
g(x) = [mm] \integral_{0}^{x} [/mm] {sin³(x+t) dt}
Ansatz... der mich aber nicht weiterbringt... Sei h(y,z)= [mm] \integral_{0}^{y} [/mm] {sin³(z+t)dt}
Bestimme das Taylorpolynom um (1,1) bis einschließlich der Therme 2 grades von G(x,y)=x exp(x-y)
Vielen Dank das Ihr die Köpfe für mich rauchen lasst,
Sachmeth
Ich habe diese Aufgabe nur auf diesem Forum gestellt
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Hallo Sachmeth,
> g(x) = [mm]\integral_{0}^{x}[/mm] {sin³(x+t) dt}
>
> Ansatz... der mich aber nicht weiterbringt... Sei h(y,z)=
> [mm]\integral_{0}^{y}[/mm] {sin³(z+t)dt}
hier hilft wohl die Leibniz'sche Differentiationsregel weiter:
[mm]\begin{array}{l}
\phi \left( x \right)\; = \;\int\limits_{a\left( X \right)}^{b(X)} {f\left( {x,\;\xi } \right)\;d\xi } \\
\frac{\delta }{{\delta x_1 }}\;\phi \left( x \right)\; = \;\int\limits_{a\left( X \right)}^{b(X)} {\frac{{\delta f\left( {x,\;\xi } \right)}}{{\delta x_1 }}\;d\xi } \; + \;\frac{{\delta b\left( X \right)}}{{\delta x_1 }}\;f\left( {x,\;b(X)} \right)\; - \;\frac{{\delta a\left( X \right)}}{{\delta x_1 }}\;f\left( {x,\;a(X)} \right) \\
\end{array}[/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:38 Do 26.05.2005 | | Autor: | sachmeth |
Vielen Dank für Deine Hilfe.
Leider kenne ich diese Formel aber nicht, kannst Du mir bitte erklären, wie ich sie bei diesem Beispiel anwende und wenn es dir nicht zu viel Arbeit macht, was sie allgemein für Bedeutung hat (unter welchen Vorraussetzungen ist sie anwendbar)
Danke
Sachmeth
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Hallo,
> Leider kenne ich diese Formel aber nicht, kannst Du mir
> bitte erklären, wie ich sie bei diesem Beispiel anwende und
> wenn es dir nicht zu viel Arbeit macht, was sie allgemein
> für Bedeutung hat (unter welchen Vorraussetzungen ist sie
> anwendbar)
Die Voraussetzungen für die Anwendbarkeit der Leibniz'schen Differentiationsregel sind:
Sei [mm] \mathfrak{B}\; \subset \;\IR^{n}[/mm] Bereich, [mm]\[
a\left( x \right),\;b(x),\;\frac{{\delta a(x)}}
{{\delta x_1 }},\;\frac{{\delta b(x)}}
{{\delta x_1 }}[/mm] stetig in [mm]\mathfrak{B}[/mm].
Desweiteren seien [mm]f\left( {x,\;\xi } \right),\;\frac{{\delta f\left( {x,\;\xi } \right)}}{{\delta x_1 }}[/mm] stetig in
[mm]\widetilde {\mathfrak{B}}\;: = \;\left\{ {\left( {x,\;\xi } \right)\; \in \;\mathbb{R}^{n + 1} \;\left| {\;x\; \in \;} \right.} \right.\mathfrak{B}\; \wedge \;\left. {\xi \; \in \left[ {{\text{a(x)}}{\text{,}}\;{\text{b(x)}}} \right]\; \cup \;\left[ {{\text{b(x)}}{\text{,}}\;{\text{a(x)}}} \right]\;} \right\}[/mm]
Dann gilt die Leibnizsche Differentiationsregel
[mm]\begin{gathered}
\frac{\delta }
{{\delta x_1 }}\;\phi (x)\; = \;\frac{\delta }{{\delta x_1 }}\;\left\{ {\int\limits_{a(x)}^{b(x)} {f\left( {x,\;\xi } \right)\;d\xi } } \right\} \hfill \\
= \;\int\limits_{a(x)}^{b(x)} {\frac{{\delta f\left( {x,\;\xi } \right)}}
{{\delta x_1 }}\;d\xi \; + \;} \frac{{\delta b(x)}}
{{\delta x_1 }}\;f\left( {x,\;b(x)} \right)\; - \;\frac{{\delta a(x)}}
{{\delta x_1 }}\;f\left( {x,\;a(x)} \right) \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Angewendet auf hier, bedeutet das:
[mm]\begin{gathered}
\frac{d}
{{dx}}\;g(x)\; = \;\frac{d}
{{dx}}\;\left\{ {\int\limits_0^x {\sin ^3 \left( {x\; + \;t} \right)\;dt} } \right\} \hfill \\
= \;\int\limits_0^x {3\;\sin ^2 \left( {x\; + \;t} \right)\;dt\; + \;} 1\;\sin ^3 \left( {x\; + \;x} \right)\; - \;0\;\sin ^3 \left( {x\; + \;0} \right) \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:38 So 29.05.2005 | | Autor: | sachmeth |
Vielen Dank für deine Hilfe und noch ein wunderschönes Wochenende.
Gruß Sachmeth
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