Abelsche Gruppe, Sym. Gruppe < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:23 Mo 07.11.2005 | | Autor: | Monschn |
Hallo beisammen,
Die Aufgabe lautet folgendermaßen:
G sei eine abelsche Gruppe, n [mm] \in \IN [/mm] und [mm] \sigma \in S_{n}.
[/mm]
Zu zeigen ist:
[mm] a_{\sigma (1)} \cdots a_{\sigma (n)} [/mm] = [mm] a_{1} \cdots a_{n} [/mm] für alle [mm] a_{1} \ldots a_{n} \in [/mm] G.
Mein Lösungsvorschlag:
[mm] \sigma: [/mm] {1,...,n} [mm] \to [/mm] {1,...,n} Bijektion
Da [mm] \sigma(1),..., \sigma(n) \in [/mm] {1,...,n} ist, ergibt sich aus der rechten Seite [mm] a_{1},...,a_{n} [/mm] in anderer Reihenfolge, aber [mm] \in [/mm] G
Da G abelsch ist folgt nach endlich vielen Vertauschungen: [mm] a_{1}*a_{2}*a_{3}* [/mm] ... * [mm] a_{n}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Beh.
Ist dieser Beweis schlüssig?! Oder ist diese Aufgabe viel schwieriger als sie erscheint?
Ich bin mir total unsicher.
Herzlichen Dank für eure Antwort.
Liebe Grüße,
Simone
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:58 Mo 07.11.2005 | | Autor: | Micha |
Hallo!
Thereotisch schon gut durchdacht! Ich würde vielleicht als Konstruktionshinweis noch erwähnen, dass sich jede Permutation als Produkt von endlich vielen Transpositionen (Vertauschungen von jeweils nur 2 Elementen schreiben lässt). Bei diesen Transpositionen gibt es wegen Kommativitätseigenschaft für 2 Elemente kein Problem, also auch nicht bei der Hintereinanderausführung von endlich vielen Transpositionen!
Gruß Micha 
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