Abelsche partielle Summation < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:40 Di 03.06.2008 | | Autor: | silencio |
| Aufgabe | Zeige für alle [mm] a_{k}, b_{k} \in\IC [/mm] , [mm] n\in\IN_{0}:
[/mm]
[mm] \summe_{k=0}^{n}a_{k}b_{k}=a_{n+1}B_{n}+\summe_{k=0}^{n}(a_{k}-a_{k+1})B_{k} [/mm] , wobei [mm] B_{k}=\summe_{i=0}^{k}=b_{i} [/mm] |
Meine bisherige Lösung:
Aus [mm] B_{k}=\summe_{i=0}^{k}=b_{i} \Rightarrow b_{k}=B_{k}-B_{k-1}
[/mm]
Also:
[mm] \summe_{k=0}^{n}a_{k}b_{k}=\summe_{k=0}^{n}a_{k}(B_{k}-B_{k-1})
[/mm]
[mm] =\summe_{k=0}^{n}a_{k}B_{k}-\summe_{k=0}^{n}a_{k}B_{k-1}
[/mm]
[mm] =\summe_{k=0}^{n}a_{k}B_{k}-\summe_{k=1}^{n}a_{k}B_{k-1} [/mm] , jetzt mit Summation ab 1 in der zweiten Summe, da [mm] B_{0-1}=B_{-1} [/mm] nicht definiert
[mm] =\summe_{k=0}^{n}a_{k}B_{k}-\summe_{k=0}^{n}a_{k+1}B_{k} [/mm] , um wieder die Summation ab 0 in der zweiten Summe zu haben
[mm] =\summe_{k=0}^{n}(a_{k}-a_{k+1})B_{k}
[/mm]
Soweit bin ich, aber am Ende müsste ja [mm] =a_{n+1}B_{n}+\summe_{k=0}^{n}(a_{k}-a_{k+1})B_{k} [/mm] stehen, ich komm aber absolut nicht drauf, wo ich dieses [mm] a_{n+1}B_{n}+ [/mm] hernehmen soll.
Ich hoffe mir kann jemand helfen. Ich habs mit allen möglichen Indexverschiebungen versucht und rumprobiert, aber ich komm einfach nicht drauf, wobei die Lösung ja schon fast dasteht.
Unser Übungsleiter hat gemeint, der Beweis wäre ein Einzeiler
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:38 Di 03.06.2008 | | Autor: | abakus |
> Zeige für alle [mm]a_{k}, b_{k} \in\IC[/mm] , [mm]n\in\IN_{0}:[/mm]
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n}a_{k}b_{k}=a_{n+1}B_{n}+\summe_{k=0}^{n}(a_{k}-a_{k+1})B_{k}[/mm]
> , wobei [mm]B_{k}=\summe_{i=0}^{k}=b_{i}[/mm]
> Meine bisherige Lösung:
> Aus [mm]B_{k}=\summe_{i=0}^{k}=b_{i} \Rightarrow b_{k}=B_{k}-B_{k-1}[/mm]
>
> Also:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n}a_{k}b_{k}=\summe_{k=0}^{n}a_{k}(B_{k}-B_{k-1})[/mm]
> [mm]=\summe_{k=0}^{n}a_{k}B_{k}-\summe_{k=0}^{n}a_{k}B_{k-1}[/mm]
> [mm]=\summe_{k=0}^{n}a_{k}B_{k}-\summe_{k=1}^{n}a_{k}B_{k-1}[/mm] ,
> jetzt mit Summation ab 1 in der zweiten Summe, da
> [mm]B_{0-1}=B_{-1}[/mm] nicht definiert
> [mm]=\summe_{k=0}^{n}a_{k}B_{k}-\summe_{k=0}^{n}a_{k+1}B_{k}[/mm] ,
> um wieder die Summation ab 0 in der zweiten Summe zu haben
> [mm]=\summe_{k=0}^{n}(a_{k}-a_{k+1})B_{k}[/mm]
>
> Soweit bin ich, aber am Ende müsste ja
> [mm]=a_{n+1}B_{n}+\summe_{k=0}^{n}(a_{k}-a_{k+1})B_{k}[/mm] stehen,
> ich komm aber absolut nicht drauf, wo ich dieses
> [mm]a_{n+1}B_{n}+[/mm] hernehmen soll.
>
> Ich hoffe mir kann jemand helfen. Ich habs mit allen
> möglichen Indexverschiebungen versucht und rumprobiert,
> aber ich komm einfach nicht drauf, wobei die Lösung ja
> schon fast dasteht.
>
> Unser Übungsleiter hat gemeint, der Beweis wäre ein
> Einzeiler
Hallo,
ich hätte es vermutlich mit Induktion versucht, aber das nur als Bemerkung nebenbei.
Mich hat sofort der erste Summand des rechten Terms [mm] a_{n+1}B_{n} [/mm] (mit dem auf der linken Seite gar nicht vorhandenen Faktor [mm] a_{n+1}) [/mm] gestört. Der muss irgendwie durch einen entgegengesetzten Summanden wieder verschwinden (und verschwindet auch mit dem letzten Summanden aus [mm] \summe_{k=0}^{n}(a_{k}-a_{k+1})B_{k}.
[/mm]
Dann bleibt nicht mehr viel übrig.
Gruß Abakus
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