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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:42 Mo 22.05.2006 | | Autor: | Lee1601 |
| Aufgabe | Aufgabe 25: Abgeschlossen und Beschränkt ungleich Kompakt
Auf C([0; 1]) sei die Supremumsnorm gegeben.
Zeigen Sie:
(a) Es existiert eine Funktionenfolge (fn)n aus N Teilmenge C([0; 1]) mit supnorm von fn = 1 für alle n aus N
und supnorm aus der Diff. von fn und fm = 1 für alle n ungleich m.
Hinweis: Sie können eine stetige Funktion fn so konstruieren, dass diese auf dem Intervall (1- 1/n, 1- 1/n+1) die Werte 0 und 1 annimmt.
(b) Die Menge B := (menge aller stetigen fkten auf dem intervall von 0-1,deren sup.norm kleiner gleich 1 ist) ist abgeschlossen und beschränkt, aber nicht kompakt.
Hinweis: Nutzen Sie den Satz von Bolzano-Weierstraß. |
Hallo!
Das ist die einzige Aufgabe auf dem Zettel für morgen, wo ich nicht weiterkomme. Bei der a) hab ich schonmal die Def.bereiche der ersten 3 Fkten aufgeschrieben und versucht, mir die Funktion fn so zu basteln, aber weiß nicht, wie die aussehen soll/könnte.
Bei der b) hab ich gezeigt, dass die Menge abgeschlossen und beschränkt ist, aber wie zeige ich jetzt noch mit Hilfe von Teil a) und Bolzano-Weierstraß, dass sie nicht kompakt ist??
Wäre superlieb, wenn mir jemand helfen könnte. Kann auch heute nicht wirklich gut denken - liege schon den ganzen Tag krank im Bett. (will damit kein Mitleid erregen - nur als "entschuldigung" wenn die Lösung total einfach ist und ich nicht drauf gekommen bin *g*)
LG
Linda
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:50 Mo 22.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Linda!
> Aufgabe 25: Abgeschlossen und Beschränkt ungleich Kompakt
> Auf C([0; 1]) sei die Supremumsnorm gegeben.
> Zeigen Sie:
> (a) Es existiert eine Funktionenfolge (fn)n aus N
> Teilmenge C([0; 1]) mit supnorm von fn = 1 für alle n aus
> N
> und supnorm aus der Diff. von fn und fm = 1 für alle n
> ungleich m.
> Hinweis: Sie können eine stetige Funktion fn so
> konstruieren, dass diese auf dem Intervall (1- 1/n, 1-
> 1/n+1) die Werte 0 und 1 annimmt.
>
> (b) Die Menge B := (menge aller stetigen fkten auf dem
> intervall von 0-1,deren sup.norm kleiner gleich 1 ist) ist
> abgeschlossen und beschränkt, aber nicht kompakt.
> Hinweis: Nutzen Sie den Satz von Bolzano-Weierstraß.
> Hallo!
>
> Das ist die einzige Aufgabe auf dem Zettel für morgen, wo
> ich nicht weiterkomme. Bei der a) hab ich schonmal die
> Def.bereiche der ersten 3 Fkten aufgeschrieben und
> versucht, mir die Funktion fn so zu basteln, aber weiß
> nicht, wie die aussehen soll/könnte.
Nimm dir $0 < a < b < c < 1$ und konstruiere eine stetige Funktion, die zwischen $0$ und $a$ konstant $0$ ist, in $b$ gerade $1$ ist und zwischen $c$ und $1$ konstant $0$ ist.
Wenn du jetzt zu jedem $n$ die $a, b, c$ geschickt waehlst so, dass fuer $n [mm] \neq [/mm] m$ gilt [mm] $f_n(x) [/mm] = 0$ oder [mm] $f_m(x) [/mm] = 0$ fuer jedes $x [mm] \in [/mm] [0, 1]$, dann hast du solche Funktionen gefunden 
> Bei der b) hab ich gezeigt, dass die Menge abgeschlossen
> und beschränkt ist, aber wie zeige ich jetzt noch mit Hilfe
> von Teil a) und Bolzano-Weierstraß, dass sie nicht kompakt
> ist??
Habt ihr folgende Charakterisiserung von kompakt gehabt?
Eine Menge $M$ ist kompakt, wenn jede Folge [mm] $(x_n)_{n\in\IN}$ [/mm] mit [mm] $x_n \in [/mm] M$, $n [mm] \in \IN$ [/mm] eine konvergente Teilfolge hat.
Wenn ja, dann schau dir mal die Folge aus a) an...
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:00 Di 23.05.2006 | | Autor: | Lee1601 |
Vielen Dank!
Hab jetzt zumindest was bei der Aufgabe stehen...
lg
Linda
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