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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:46 Mo 13.02.2006 | | Autor: | elena27 |
| Aufgabe | Gibt es eine Teilmenge des [mm] \IR^{2}, [/mm] welche
a) abgeschlossen, aber nicht kompakt ist
b) offen und beschränkt, aber nicht zusammenhängend
c) beschränkt ist, unendlich viele Punkte enthält, aber ein leeres Inneres hat |
Ich habe ein paar Gedanken zu dieser Augabe, weiß aber nicht ob es stimmt.
Könnte mich jemand bitte überprüfen?
Zu a): [mm] \IZ^{2} [/mm] und [mm] \IN^{2} [/mm] würden passen
Zu b): {(x,y) [mm] \in \IQ^{2}, x^{2} [/mm] + [mm] y^{2}< [/mm] 1} ist also offen und beschränkt und da (x,y) [mm] \in \IQ^{2} [/mm] --> nicht zusammenhängend
Zu c): {(x,y) [mm] \in \IR^{2}, x^{2} [/mm] + [mm] y^{2}= [/mm] 1} beschränkt, enthält unendlich viele Punkte, hat aber ein leeres Inneres
Könnte man zu b) einen Beispiel aus Teilmengen von [mm] \IR [/mm] konstruieren?
Ich freue mich, wenn mir jemand antwortet.
Danke!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
a) und c) sind richtig, aber dein Lösungsvorschlag zu b) ist leider falsch. Das liegt in erster Linie daran, dass [mm] $\IQ^2$ [/mm] nicht offen ist! Du findest nämlich zu keinem Punkt eine offene Umgebung, die ganz in [mm] $\IQ^2$ [/mm] liegt, weil es immer einen Punkt aus [mm] $\IR\setminus \IQ$ [/mm] gibt, der nah genug dran liegt.
Ein Beispiel für b) wäre
[mm] $\left\{(x,y)\in\IR^2\colon (|x|-2)^2+y^2<1\right\}$.
[/mm]
Ansonsten kannst du zwei beliebige disjunkte offene beschränkte Teilmengen von [mm] $\IR^2$ [/mm] wählen, und diese vereinigen.
Gruß, banachella
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:53 Mo 13.02.2006 | | Autor: | elena27 |
Hallo banachella ,
Vielen vielen Dank für Deine schnelle Antwort!
Wenn ich Dich richtig verstanden habe, konnte man für b) noch folgendes Beispiel angeben:
((0,1) [mm] \cup [/mm] (2,3)) [mm] \times [/mm] ((0,1) [mm] \cup [/mm] (2,3)) ?
Ich hätte noch eine Frage :
[mm] \IR [/mm] (genau so wie [mm] \IQ?) [/mm] enthält unendlich viele Punkte, heisst es, dass auch jeder Intervall in [mm] \IR [/mm] (bzw. in [mm] \IQ) [/mm] auch unendlich viele Punkte enthält ?
Könnte man dann für c) so ein Beispiel konstruieren : [mm] \IQ|_{(0,1)} [/mm] ?
Noch mal vielen vielen Dank für Deine Hilfe!
Gruß, Elena
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Hallo Elena,
zu Deiner ersten Frage: ja, das ist auch eine moegliche Loesung (siehe Antwort von banachella).
Zu Deinem Loesungsvorschlag zu (c): Ja, auch das geht, wenn Du [mm] \IQ\cap [/mm] (0,1) in [mm] \IR^2 [/mm] einbettest (formal
muesstest Du zB
[mm] (\IQ\cap (0,1)\: )\:\times\: \{0\}\:\: =\{(x,0)\: |\: x\in\IQ,\: 0< x<1\}
[/mm]
schreiben.
Du kannst aber auch hierbei [mm] \IQ [/mm] durch [mm] \IR [/mm] ersetzen (warum ?).
Zur Unendlichkeit: Jedes Intervall [mm] (a,b)\subseteq\IR [/mm] mit a<b enthält unendlich viele Punkte, das ist richtig, aber
das folgt nicht schon allein daraus, dass [mm] \IR [/mm] unendlich viele Elemente hat. Aber Du solltest vielleicht im Moment nicht ueber derartige Fragen auch noch nachdenken, die Dich sonst wohl nur von Deiner Aufgabe abbringen.
Viele Gruesse,
Mathias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:24 Di 14.02.2006 | | Autor: | elena27 |
Hallo Mathiash,
vielen vielen Dank für Deine Antwort!
Noch mal zu c) hier wollte ich [mm] \IQ^{2}|_{(0,1)} [/mm] statt [mm] \IQ|_{(0,1)} [/mm] schreiben (so ist es dann in [mm] \IR^{2}, [/mm] beschränkt, enthält unendlich viele Punkte und hat ein leeres Inneres, oder?) (Hier könnte man [mm] \IQ [/mm] durch [mm] \IR [/mm] nicht ersetzen, oder?)
- Du kannst aber auch hierbei [mm] \IQ [/mm] durch [mm] \IR [/mm] ersetzen (warum ?)
[mm] A:=(\IR\cap (0,1)\: )\:\times\: \{0\}\:\: =\{(x,0)\: |\: x\in\IR,\: 0< x<1\} [/mm] hat auch leeres Inneres, da Rand von A gleich A ist, also ist int A= leer
Stimmt?
Noch mal vielen vielen Dank!
Gruß, Elena
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Hallo.
> Hallo Mathiash,
>
> vielen vielen Dank für Deine Antwort!
> Noch mal zu c) hier wollte ich [mm]\IQ^{2}|_{(0,1)}[/mm] statt
> [mm]\IQ|_{(0,1)}[/mm] schreiben (so ist es dann in [mm]\IR^{2},[/mm]
> beschränkt, enthält unendlich viele Punkte und hat ein
> leeres Inneres, oder?) (Hier könnte man [mm]\IQ[/mm] durch [mm]\IR[/mm]
> nicht ersetzen, oder?)
Warum denn nicht? Allgemein ist für [mm] $\gamma\in C^1([0,1],\mathbb R^2)$, $\gamma$ [/mm] nicht konstant, [mm] $\operatorname{Bild}(\gamma)$ [/mm] eine Menge mit den gewünschten Eigenschaften, denn Du kannst ja um einen Punkt auf einer "anständigen" Linie keine Kugel wählen, mit der Du die Linie nicht verläßt, Du hast also ein leeres Inneres. Beschränkt ist es auch und unendlich viele Punkte enthält es weil [mm] $\gamma$ [/mm] nicht konstant aber dafür stetig ist (Zwischenwertsatz).
Gruß,
Christian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:29 Mi 15.02.2006 | | Autor: | elena27 |
Vielen vielen Dank für Deine Hilfe,
es hat mir sehr weitergeholfen.
Gruß, Elena
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:58 Mo 13.02.2006 | | Autor: | elena27 |
Entschuldigung,
ich wollte nur noch fragen:
Ist [mm] \IQ [/mm] überhaupt zusammenhängend?
Danke!
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Hallo Elena,
nein, [mm] \IQ [/mm] als Teilmenge des topologischen Raumes [mm] \IR [/mm] ist nicht (weg-) zusammenhängend.
denn zu beliebigen Zahlen p<q mit [mm] p,q\in\IQ [/mm] gibt es [mm] r\in\IR\setminus\IQ [/mm] mit p<r<q.
(Stichwort: Zwischenwertsatz.)
Gruss,
Mathias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:26 Di 14.02.2006 | | Autor: | elena27 |
Danke!
Du hast mir sehr weitergeholfen.
Gruß, Elena
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