Abgeschlossene Einheitskugel < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:46 Mi 02.05.2012 | | Autor: | Denis92 |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Abgeschlossene Einheitskugel {u [mm] \in [/mm] C[a,b] | [mm] ||u||_\infty [/mm] <= 1} keineswegs kompakt ist. |
Hallo,
zu obiger Frage will mir einfach kein gescheiter Ansatz einfallen.
Kompakt <=> Folgenkompakt, d.h. ich muss eine Folge finden, die keinen Häufungspunkt in der Einheitskugel besitzt.
Es gilt ja: [mm] ||u||_\infty [/mm] = sup [mm] |u_n|, [/mm] aber wie kann man jetzt hierüber argumentieren? :S
Vielen Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:55 Mi 02.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie, dass die Abgeschlossene Einheitskugel
[mm] $\{u \in C[a,b] | ~~||u||_{\infty} <= 1 \} [/mm] $
> keineswegs kompakt ist.
> Hallo,
> zu obiger Frage will mir einfach kein gescheiter Ansatz
> einfallen.
> Kompakt <=> Folgenkompakt, d.h. ich muss eine Folge
> finden, die keinen Häufungspunkt in der Einheitskugel
> besitzt.
Nimm a=0 ,b=1 und [mm] u_n(x)=x^n [/mm]
Dann ist [mm] (u_n) [/mm] eine Folge inder abgeschl. Einheitskugel von C[0,1].
Zeige: [mm] (u_n) [/mm] enthält (bezügl. der Max.-Norm) keine konvergente Teilfolge.
FRED
> Es gilt ja: [mm]||u||_\infty[/mm] = sup [mm]|u_n|,[/mm] aber wie kann man
> jetzt hierüber argumentieren? :S
>
> Vielen Dank
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:03 Mi 02.05.2012 | | Autor: | Denis92 |
Hallo Fred, danke für die schnelle Antwort.
[mm] (u_n) [/mm] = [mm] x^n [/mm] ist eine Folge im Einheitsball => Ich kann wirklich nur Werte aus 0,1] einsetzen, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:16 Mi 02.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred, danke für die schnelle Antwort.
>
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> [mm](u_n)[/mm] = [mm]x^n[/mm] ist eine Folge im Einheitsball => Ich kann
> wirklich nur Werte aus 0,1] einsetzen, oder?
Ich verstehe nicht so ganz, was Dein Problem ist.
Jedes [mm] u_n [/mm] ist eine Funktion, die auf [0,1] stetig ist, also [mm] u_n \in [/mm] C[0,1] für jedes n.
Klar ist, dass [mm] ||u_n||_{\infty}=1 [/mm] ist für jedes n.
Wäre nun die abg. Einheitskugel von C[0,1] kompakt, so müßte [mm] (u_n) [/mm] eine Teilfolge [mm] (u_{n_k}) [/mm] enthalten mit: [mm] (u_{n_k}) [/mm] ist in (C[0,1], [mm] ||*||_{\infty}) [/mm] konvergent.
Solch eine Teilfolge gibt es aber nicht ! Warum ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:31 Mi 02.05.2012 | | Autor: | Denis92 |
Sorry, hab mich eben etwas unklar ausgedrückt.
Also so:
Angenommen die Einheitskugel wäre kompakt, dann wäre sie folgenkompakt und [mm] (u_n) [/mm] besäße eine konvergente Teilfolge [mm] (u_n_k).
[/mm]
Für je zwei Folgenglieder gilt: sup [mm] ||u_n_{k1} [/mm] - [mm] u_{nk2}||_\infty [/mm] = 1 für alle k1,k2 [mm] \in \IN
[/mm]
Stimmt das?
Wenn ja, dann liegt die Teilfolge doch drin?
Sorry, ich steh total auf dem Schlauch.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:42 Mi 02.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Sorry, hab mich eben etwas unklar ausgedrückt.
> Also so:
>
> Angenommen die Einheitskugel wäre kompakt, dann wäre sie
> folgenkompakt und [mm](u_n)[/mm] besäße eine konvergente Teilfolge
> [mm](u_n_k).[/mm]
>
> Für je zwei Folgenglieder gilt: sup [mm]||u_n_{k1}[/mm] -
> [mm]u_{nk2}||_\infty[/mm] = 1 für alle k1,k2 [mm]\in \IN[/mm]
Das ist Unsinn ! Wie kommst Du darauf ?
>
> Stimmt das?
> Wenn ja, dann liegt die Teilfolge doch drin?
>
> Sorry, ich steh total auf dem Schlauch.
Wenn die Teilfolge [mm] (u_{n_k}) [/mm] bezügl. der Max. - Norm konvergiert, so konvergiert sie doch gleichmaäßig auf [0,1]
Das tut sie aber nicht !
FRED
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