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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:09 So 26.04.2009 | | Autor: | nina1 |
| Aufgabe | Beweisen Sie: Eine Teilmenge A des [mm] R^n [/mm] ist genau dann abgeschlossen, wenn ihr Komplement [mm] A^C [/mm] offen ist.
Finden Sie abgeschlossene Teilmengen [mm] B_{n}_{n\in N} [/mm] von [mm] R^{2} [/mm] so, dass [mm] \bigcup_{n=0}^{\infty} B_{n}\not=emptyset [/mm] |
Hallo,
ich habe leider große Schwierigkeiten mit dieser Aufgabe.
Kann man als Beweis folgendes schreiben?
A und [mm] A^{C} [/mm] haben den selben Rand. [mm] A^{C} [/mm] ist offen, d.h. sie hat den Rand nicht. Da es das Komplement ist, muss A den Rand enthalten und dementsprechend abgeschlossen sein (??)
Desweiteren gibt es eine Definition die besagt: Nach der
Definition des Komplements gibt es keine Vektoren die weder in A noch in dem Komplement
liegen.
Ist das ansatzweise ein "Beweis"?
Beim 2.Teil der Aufgabe bin ich leider überhaupt nicht weitergekommen und total planlos :-(
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:11 So 26.04.2009 | | Autor: | pelzig |
> Beweisen Sie: Eine Teilmenge A des [mm]R^n[/mm] ist genau dann
> abgeschlossen, wenn ihr Komplement [mm]A^C[/mm] offen ist.
>
> Finden Sie abgeschlossene Teilmengen [mm]B_{n}_{n\in N}[/mm] von
> [mm]R^{2}[/mm] so, dass [mm]\bigcup_{n=0}^{\infty} B_{n}\not=emptyset[/mm]
>
> Kann man als Beweis folgendes schreiben?
Wenn du dir diese Frage stellen musst, dann ist es kein Beweis.
> A und [mm]A^{C}[/mm] haben den selben Rand. [mm]A^{C}[/mm] ist offen, d.h.
> sie hat den Rand nicht. Da es das Komplement ist, muss A
> den Rand enthalten und dementsprechend abgeschlossen sein
Wie habt ihr denn bitte offen und abgeschlossen definiert? Da es dafür eine ganze Reihe mehr oder weniger äquivalenter Definitionen gibt ist es wesentlich, wo man startet.
> Desweiteren gibt es eine Definition die besagt: Nach der
> Definition des Komplements gibt es keine Vektoren die
> weder in A noch in dem Komplement
> liegen.
Tja, das ist ne (triviale) wahre Aussage.
> Ist das ansatzweise ein "Beweis"?
Hängt davon ab wie ihr Offenheit/Abgeschlossenheit definiert habt. Ganz unabhängig davon hast du oben auch nur die eine Richtung betrachtet, d.h. du musst auch noch "A [mm] abgeschlossen\Rightarrow A^c [/mm] offen" beweisen.
> Beim 2.Teil der Aufgabe bin ich leider überhaupt nicht
> weitergekommen und total planlos :-(
Also so wie es da steht genügt es ja bereits, wenn eine der [mm] B_n [/mm] nicht-leer ist, z.B. [mm] $B_n:=\IR^2$ [/mm] für alle [mm] n\in\IN. [/mm] Soll es vielleicht heißen "Finde eine Folge [mm] $(B_n)_{n\in\IN}$ [/mm] abgeschlossener Teilmengen von [mm] $\IR^2$, [/mm] so dass [mm] $B:=\bigcup_{n\in\IN}B_n$ [/mm] nicht abgeschlossen ist"?
Gruß, Robert
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