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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:41 Mo 17.03.2008 | | Autor: | ThommyM |
Ich habe nur eine ganz kurze Frage, über deren Antwort ich mir nicht ganz im Klaren bin: Ist ein endlichdimensionaler Raum automatisch abgeschlossen? Also ist beispielsweise ein endlichdimensionaler Teilraum M von C[a,b] abgeschlossen?
Eigentlich erscheint es mir logisch, dass dies so ist. Aber warum? Kann man für den Beweis evtl. irgendwie über die Isomorphie zum [mm] \IR^n [/mm] argumentieren, der ja selbst per Definition abgeschlossen ist?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:03 Mo 17.03.2008 | | Autor: | Jorgi |
Hallo,
die Situation lässt sich wesentlich verallgemeinern.
Endlichdimensionale Vektorräume über [mm] $\IR$ [/mm] oder [mm] $\IC$ [/mm] sind immer vollständig, und demnach auch abgeschlossen.
Der Beweis, dass ein endlichdim. Vektorraum über [mm] $\IR$ [/mm] oder [mm] $\IC$, [/mm] gennant $V$ vollständig ist geht wirklich so wie du es vermutet hast.
Man betrachtet eine Basis [mm] $(v_1, [/mm] ..., [mm] v_n)$ [/mm] aus $V$, und sieht dann ein, dass folgende Abbildung
$T: [mm] \IR^n \longrightarrow [/mm] V$, [mm] $(x_1,...,x_n) \longmapsto x_1v_1+...+x_nv_n$
[/mm]
ein stetiger Isomorphismus ist, sogar mit einer stetigen Umkehrabbildung.
Dann argumentiert man, dass stetige lineare Abbildung automatisch gleichmässig-stetig sind.
Dies erlaub dann folgenden Satz zu benutzen:
Für Vektorräume $A$ und $B$ seien $f: A [mm] \longrightarrow [/mm] B$ und [mm] $f^{-1} [/mm] : B [mm] \longrightarrow [/mm] A$ gleichmässig-stetig.
Dann ist A vollständig genau dann, wenn B vollständig ist
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:04 Mo 17.03.2008 | | Autor: | ThommyM |
Super, vielen Dank für die schnelle Antwort. Habs glaub ich auch verstanden.
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