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| Aufgabe | | Geben Sie im [mm] \IR^{2} [/mm] mit der euklidischen Norm ein Beispiel zweier disjunkter und abgeschlossener Mengen A und B an derart, dass zu jedem [mm] \epsilon [/mm] > 0 Punkte a [mm] \in [/mm] A und b [mm] \in [/mm] B existieren mit |a-b| < [mm] \epsilon [/mm] . |
Hallo!
Ich habe die Aufgabe schon gelöst und auch alle Punkte dafür bekommen mit folgenden Mengen:
A = {(x,y) | xy=1 } und B = {(x,y) | y = 0 }.
In der Aufgabe musste man nicht beweisen, dass die abgeschlossen sind.... aber ich würde gerne mal wissen, wie man genau das beweist!
Ich hatte einen Ansatz mit dem Satz, dass eine Menge genau dann abgeschlossen ist, wenn das komplement offen ist. Aber ich wüsste jetzt nicht, wie ich da weiter gehen sollte....
kann mir jemand helfen, wie man das macht?
Grüßle, Lily
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:35 Fr 11.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Geben Sie im [mm]\IR^{2}[/mm] mit der euklidischen Norm ein Beispiel
> zweier disjunkter und abgeschlossener Mengen A und B an
> derart, dass zu jedem [mm]\epsilon[/mm] > 0 Punkte a [mm]\in[/mm] A und b [mm]\in[/mm]
> B existieren mit |a-b| < [mm]\epsilon[/mm] .
> Hallo!
> Ich habe die Aufgabe schon gelöst und auch alle Punkte
> dafür bekommen mit folgenden Mengen:
> A = {(x,y) | xy=1 } und B = {(x,y) | y = 0 }.
>
> In der Aufgabe musste man nicht beweisen, dass die
> abgeschlossen sind.... aber ich würde gerne mal wissen,
> wie man genau das beweist!
> Ich hatte einen Ansatz mit dem Satz, dass eine Menge genau
> dann abgeschlossen ist, wenn das komplement offen ist. Aber
> ich wüsste jetzt nicht, wie ich da weiter gehen
> sollte....
> kann mir jemand helfen, wie man das macht?
Ich würde es so machen:
A ist abgeschlossen [mm] \gdw [/mm] für jede konvergente Folge [mm] (z_n) [/mm] aus A gilt: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}z_n \in [/mm] A.
Probier das mal bei Deinen obigen Mengen A und B aus.
FRED
>
> Grüßle, Lily
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:22 Fr 11.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Geben Sie im [mm]\IR^{2}[/mm] mit der euklidischen Norm ein Beispiel
> > zweier disjunkter und abgeschlossener Mengen A und B an
> > derart, dass zu jedem [mm]\epsilon[/mm] > 0 Punkte a [mm]\in[/mm] A und b [mm]\in[/mm]
> > B existieren mit |a-b| < [mm]\epsilon[/mm] .
> > Hallo!
> > Ich habe die Aufgabe schon gelöst und auch alle Punkte
> > dafür bekommen mit folgenden Mengen:
> > A = {(x,y) | xy=1 } und B = {(x,y) | y = 0 }.
> >
> > In der Aufgabe musste man nicht beweisen, dass die
> > abgeschlossen sind.... aber ich würde gerne mal wissen,
> > wie man genau das beweist!
> > Ich hatte einen Ansatz mit dem Satz, dass eine Menge
> genau
> > dann abgeschlossen ist, wenn das komplement offen ist. Aber
> > ich wüsste jetzt nicht, wie ich da weiter gehen
> > sollte....
> > kann mir jemand helfen, wie man das macht?
>
> Ich würde es so machen:
>
> A ist abgeschlossen [mm]\gdw[/mm] für jede konvergente Folge [mm](z_n)[/mm]
> aus A gilt: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}z_n \in[/mm] A.
der Deutlichkeit halber fromuliere ich das ein wenig um:
A ist abgeschlossen [mm]\gdw[/mm] für jede (im umgebenden metrischen Raum, hier: [mm] $\IR^2$) [/mm] konvergente Folge [mm](z_n)[/mm] aus A gilt: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}z_n \in[/mm] A.
@Lily:
Letztstehendes heißt: Sind [mm] $z_n \in [/mm] A$ so, dass [mm] $\lim z_n \in \IR^2$ [/mm] existiert, so folgt schon [mm] $\lim z_n \in A\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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erst mal: Danke 
Wir hatten dies auch in der Vorlesung, aber ich weiß nicht, wie ich das praktisch anwenden soll.
Bisher hatten wir immer nur, dass wir damit bewiesen haben, dass eine Menge eben NICHT abgeschlossen war, indem wir eine Folge in der Menge gefunden haben, deren Grenzwert nicht mehr in der Menge war.
Doch wie funktioniert das andersrum?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:47 Sa 12.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> erst mal: Danke
> Wir hatten dies auch in der Vorlesung, aber ich weiß
> nicht, wie ich das praktisch anwenden soll.
> Bisher hatten wir immer nur, dass wir damit bewiesen
> haben, dass eine Menge eben NICHT abgeschlossen war, indem
> wir eine Folge in der Menge gefunden haben, deren Grenzwert
> nicht mehr in der Menge war.
> Doch wie funktioniert das andersrum?
ich zeig's Dir beispielhaft an der Menge [mm] $A:=\{(x,y) \in \IR^2: x*y=1\}\,.$
[/mm]
Zu zeigen ist: Für jede Folge [mm] $(z_n)$ [/mm] aus [mm] $A\,$ [/mm] gilt: Wenn ein $z [mm] \in \IR^2$ [/mm] mit [mm] $\|z_n-z\| \to [/mm] 0$ existiert, dann folgt schon $z [mm] \in A\,.$ [/mm] (Hierbei ist [mm] $\|.\|$ [/mm] die gewöhnliche euklidische Norm des [mm] $\IR^2\,,$ [/mm] und Du siehst, dass wir den [mm] $\IR^2$ [/mm] mit der von dieser Norm induzierten Metrik ausstatten:
Für [mm] $p=(p_1,p_2) \in \IR^2$ [/mm] ist [mm] $\|p\|=\sqrt{p_1^2+p_2^2}$ [/mm] und für $p,q [mm] \in \IR^2$ [/mm] ist dann [mm] $d(p,q):=d_{\|.\|}(p,q):=\|p-q\|=\sqrt{(p_1-q_1)^2+(p_2-q_2)^2}\,.$)
[/mm]
[mm] $(\*)$ [/mm] Vorweg: Es sei daran erinnert, dass [mm] $\|z_n-z\| \to [/mm] 0$ genau dann, wenn die beiden (reellwertige) Komponentenfolgen von [mm] $z_n$ [/mm] gegen die entsprechende Komponente von [mm] $z\,$ [/mm] konvergieren. (Allgemein steht das ![[]](/images/popup.gif) in Bemerkung 8.17. Oben kann man das auch schnell unter Verwendung von Satz 10.7 einsehen, indem man etwa die Stetigkeit von [mm] $\sqrt{\cdot}$ [/mm] und [mm] $(\cdot)^2$ [/mm] benutzt. Die Stetigkeit der Addition [mm] $\IR^2 \to \IR\,,$ [/mm] $(a,b) [mm] \mapsto [/mm] a+b$ ist dann auch nichts anderes als der Inhalt von Satz 5.5, 1.).)
Also: Seien [mm] $(z_n)$ [/mm] eine Folge in [mm] $A\,$ [/mm] und sei $z=(x,y) [mm] \in \IR^2$ [/mm] beliebig nur mit der Eigenschaft versehen, dass [mm] $\|z_n-z\| \to 0\,.$
[/mm]
(Wir haben ja zu zeigen: Ist [mm] $(z_n)$ [/mm] IRGENDEINE Folge in [mm] $A\,$ [/mm] und ist $z [mm] \in \IR^2$ [/mm] so, dass [mm] $\|z_n-z\| \to 0\,,$ [/mm] dann folgt schon $z [mm] \in A\,.$)
[/mm]
Zu zeigen ist nun: Dann folgt schon $z=(x,y) [mm] \in A\,,$ [/mm] also bleibt noch zu zeigen (per Definitionem von [mm] $A\,$): [/mm] Dann gilt [mm] $x*y=1\,.$ [/mm]
Das geht so:
Wir schreiben die [mm] $z_n$ [/mm] als [mm] $z_n=(x_n,y_n)$ [/mm] mit [mm] $x_n,y_n \in \IR$ [/mm] (Komponentenschreibweise der [mm] $z_n$!). [/mm]
Gemäß der Vorbemerkung [mm] $(\*)$ [/mm] ist dann [mm] $\|z_n-z\| \to [/mm] 0$ äquivalent dazu, dass sowohl [mm] $x_n \to [/mm] x$ als auch [mm] $y_n \to [/mm] y$ gelten (das könnte man auch mit [mm] $|x_n-x| \to [/mm] 0$ und [mm] $|y_n-y| \to [/mm] 0$ ausdrücken) - insbesondere gilt also:
Aus [mm] $\|z_n-z\| \to [/mm] 0$ folgt, dass sowohl [mm] $x_n \to [/mm] x$ als auch [mm] $y_n \to [/mm] y$ gelten (bei $n [mm] \to \infty$). [/mm] Wegen [mm] $z_n \in [/mm] A$ ($n [mm] \in \IN$) [/mm] gilt nach Definition von [mm] $A\,$ [/mm] für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] auch
[mm] $$x_n*y_n=1\,.$$
[/mm]
Wegen Satz 5.5, 2. folgt dann aus [mm] $x_n \to [/mm] x$ und [mm] $y_n \to [/mm] y$ aber sofort
[mm] $$x*y=1\,.$$
[/mm]
(Denn es gilt ja auch: $1 [mm] \to [/mm] 1$ bei $n [mm] \to \infty\,.$)
[/mm]
Also erfüllt nun unser $z=(x,y) [mm] \in \IR^2\,$ [/mm] in der Tat auch [mm] $x*y=1\,.$ [/mm] Nach Definition von [mm] $A\,$ [/mm] liegt somit $z=(x,y) [mm] \in A\,.$
[/mm]
Weil die Folge [mm] $(z_n) \in [/mm] A$ eine beliebige Folge mit Grenzwert $z [mm] \in \IR^2$ [/mm] war und wir erkannt haben, dass dann schon $z [mm] \in [/mm] A$ gelten muss, ist [mm] $A\,$ [/mm] als abgeschlossen erkannt!
Gruß,
Marcel
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AAAH! ich glaube, ich raffe es langsam...
ich hab mal die Abgeschlossenheit für B={(x,y) | y=0} gezeigt:
Sei [mm] (z_{n})=(x_{n},y_{n}) \in [/mm] B eine Folge mit dem Grenzwert (x,y).
Nun muss ich noch zeigen, dass (x,y) [mm] \in [/mm] B.
Da [mm] (x_{n},y_{n}) \in [/mm] B ist [mm] y_{n} [/mm] = 0.
Und wir wissen, dass [mm] (x_{n},y_{n}) \to [/mm] (x,y) äquivalent dazu ist: [mm] x_{n} \to [/mm] x und [mm] y_{n} \to [/mm] y.
Daraus folgt: y=0
Das heißt: (x,y) [mm] \in [/mm] B
Und damit ist B abgeschlossen.
Könnte jemand mal drauf schauen, ob das so stimmt?
Das wäre super
Grüßle, Lily
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:25 Mi 16.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> AAAH! ich glaube, ich raffe es langsam...
> ich hab mal die Abgeschlossenheit für B={(x,y) | y=0}
> gezeigt:
>
> Sei [mm](z_{n})=(x_{n},y_{n}) \in[/mm] B eine Folge mit dem
> Grenzwert (x,y).
also eigentlich sind die [mm] $z_n=(x_n,y_n)\,,$ [/mm] und der Deutlichkeit halber würde man die Folge [mm] $(z_n)$ [/mm] dann auch alternativ so schreiben: [mm] $((x_n,y_n))\,.$ [/mm]
Ansonsten:
Ich würde noch dazuschreiben, dass der letztstehende Grenzwert ein Element des umgebenden Raums - also des [mm] $\IR^2$ [/mm] - ist.
> Nun muss ich noch zeigen, dass (x,y) [mm]\in[/mm] B.
> Da [mm](x_{n},y_{n}) \in[/mm] B ist [mm]y_{n}[/mm] = 0.
Für alle [mm] $n\,.$
[/mm]
> Und wir wissen, dass [mm](x_{n},y_{n}) \to[/mm] (x,y) äquivalent
> dazu ist: [mm]x_{n} \to[/mm] x und [mm]y_{n} \to[/mm] y.
> Daraus folgt: y=0
Ja: Weil ja [mm] $y_n=0 \to 0\,$ [/mm] und Grenzwerte von reellwertigen Folgen eindeutig sind.
> Das heißt: (x,y) [mm]\in[/mm] B
Nach Definition von [mm] $B\,.$
[/mm]
> Und damit ist B abgeschlossen.
Weil die die Folge "beliebig" war. (Nur halt mit entsprechenden Eigenschaften ausgestattet.)
>
>
> Könnte jemand mal drauf schauen, ob das so stimmt?
> Das wäre super
Das passt so. Hast Du gut gelöst! (Meine Ergänzungen dienen nur dazu, dass man auch wirklich jedes Argument da stehen hat!)
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:45 Di 22.05.2012 | | Autor: | Mathe-Lily |
Danke!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:35 Fr 11.05.2012 | | Autor: | hippias |
Du weisst ja, dass Urbilder abgeschlossener Mengen unter stetigen Funktionen wieder abgeschlossen sind. Wenn man also zeigen moechte, dass die Menge $X:= [mm] \{(x,y)\in \IR^{2}| 3x-2y= 5\}$ [/mm] abgeschlossen ist, koennte man auf die Idee kommen, dass $X= [mm] f^{-1}(5)$ [/mm] ist, wobei [mm] $f:\IR^{2}\to \IR$, $(x,y)\mapsto [/mm] 2x-3y$ stetig ist.
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