Abgeschlossenheit Hyperebene < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:50 So 07.05.2006 | | Autor: | klaus_84 |
| Aufgabe | Für zwei Vektoren a,b aus [mm] R^{2} [/mm] sei ab das Skalarprodukt.
Dann heißt
H={ x [mm] \varepsilon R^{n} [/mm] : [mm] a(x-x_{0}) [/mm] }
Hyperebene im [mm] R^{n}, [/mm] wobei a und [mm] x_{0} [/mm] fest vorgegeben sind.
Zeigen Sie, dass jede Hyperebene bzgl. der euklidischen Metrik abgeschlossen ist. |
1. Kommentar: Häh?
Ich verstehe die einzelnen Bestandteile dieser Ausgabenstellung, kann mit den Begriffen umgehen und finde trotzdem keinen Ansatz, wie bsp.-weise aus dem Skalarprodukt diese Behauptung folgen soll.
Vielen Dank.
klaus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo klaus,
deine definition macht so keinen sinn, besser ist
[mm] $H=\{x\in \IR^n: a\cdot(x-x_0)=0\}$
[/mm]
Das ist dann die hyperebene mit stützvektor [mm] $x_0$ [/mm] und Normale $a$. Anhand dieser definition kann man dann recht leicht die abgeschlossenheit von $H$ nachweisen.
VG
Matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:42 Mo 08.05.2006 | | Autor: | klaus_84 |
Richtig.
Hatte ich vergessen, aufzuschreiben.
Sorry.
Und nun bin ich ebenso so schlau wie vorher.
Stützvektor und Normale sollen mir helfen, die Abgeschlossenheit zu zeigen.
Keine Ahnung wie.
Hilfe dringenst erwünscht.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:48 Mo 08.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Klaus!
> Und nun bin ich ebenso so schlau wie vorher.
> Stützvektor und Normale sollen mir helfen, die
> Abgeschlossenheit zu zeigen.
> Keine Ahnung wie.
> Hilfe dringenst erwünscht.
Schau doch erstmal nach, wie ihr abgeschlossene Mengen charakterisiert habt.
Habt ihr etwa, dass eine Menge $A$ genau dann abgeschlossen ist, wenn fuer jede konvergente Folge [mm] $(x_n)_n$ [/mm] mit Grenzwert $x$ und [mm] $x_n \in [/mm] A$ fuer alle $n$ auch $x [mm] \in [/mm] A$ ist?
(Das kannst du mit der Stetigkeit des Skalarproduktes nachrechnen.)
Oder wisst ihr einfach nur, dass eine abgeschlossene Menge das komplement einer offenen ist, und in einer offenen Menge zu jedem Punkt eine [mm] $\varepsilon$-Kugel [/mm] um diesen Punkt in der Menge enthalten sein muss?
Wenn ja, so kannst du mit Hilfe des Skalarproduktes und der Normalen zu jedem Punkt $x [mm] \not\in [/mm] H$ ein passendes [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ konstruieren und zeigen, dass jeder Punkt $y [mm] \in [/mm] H$ zu $x$ einen Abstand [mm] $\ge \varepsilon$ [/mm] hat.
LG Felix
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