Abi07 Normalverteilung < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:15 Mo 14.04.2008 | | Autor: | dexter |
| Aufgabe | Zwei Würfel werden geworfen.
a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, zwei Sechsen zu erhalten.
Das Ereignis E bestehe darin, beim 700-maligen Werfen mit zwei Würfeln mindestens 15
und höchstens 20-mal zwei Sechsen zu erhalten. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit
des Ereignisses E mit der Binomialverteilung.
b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis E näherungsweise mit der
Normalverteilung und mit der Poisson-Verteilung. Prüfen Sie, ob die Voraussetzungen für
die Benutzung dieser Näherungen erfüllt sind, und beurteilen Sie die Qualität der
Näherungsergebnisse, indem Sie die Abweichungen vom Wert aus a) bestimmen. |
Hi,
es geht nur um die Sache mit der Normalverteilung in Aufgabe b)
Und zwar findet man in der Lösung (Erwartungshorizont für Lehrer) eine Bedingung, die man angeben soll, um die Normalverteilung anwenden zu dürfen:
Die Bedingung n * p * q > 9 ist erfüllt.
Wo kommt denn das her?
Und dann ist da im Erwartungshorizont noch die Passage:
Benutzt ein Prüfling die Normalverteilung ohne Korrekturglied (Ergebnis
P(E) » 0,3979), so ergibt sich ein erheblicher Fehler, der in der geforderten
Beurteilung der Qualität der Ergebnisse durch den Prüfling deutlich
gewürdigt werden muss. Erfolgt ein Hinweis auf das fehlende Korrekturglied,
so ist die Lösung als richtig, sonst als eingeschränkt richtig zu
bewerten.
Bei der Binomialverteilung ist ja klar, dass man von den aufsummierten Wahrscheinlichkeiten bis 20 alle bis 14 abziehen muss, um den Bereich von 15 bis 20 zu erhalten. Ist mit dem "Korrekturglied" gemeint, dass man nicht von 15 bis 20 die Normalverteilung berechnet, sondern von 14 bis 20 und das Korrekturglied ist dann eben dieses eine k? Und wenn ja, wie ist das zu begründen? Bei der Normalverteilung hab ich doch wieder eine Normale Funktion, diese integriere ich für die entsprechenden Grenzen und hab die Wahrscheinlichkeit. Bei [mm] x^2 [/mm] in den Grenzen von a=1 und b=2 setze ich a ja auch nicht weiter runter, um die Fläche zu bestimmen.
Ich hoffe ihr versteht wo mein Problem ist.
mfg dex
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:39 Mo 14.04.2008 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, dexter,
> Zwei Würfel werden geworfen.
> a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, zwei
> Sechsen zu erhalten.
> Das Ereignis E bestehe darin, beim 700-maligen Werfen mit
> zwei Würfeln mindestens 15
> und höchstens 20-mal zwei Sechsen zu erhalten. Bestimmen
> Sie die Wahrscheinlichkeit
> des Ereignisses E mit der Binomialverteilung.
> b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis E
> näherungsweise mit der
> Normalverteilung und mit der Poisson-Verteilung. Prüfen
> Sie, ob die Voraussetzungen für
> die Benutzung dieser Näherungen erfüllt sind, und
> beurteilen Sie die Qualität der
> Näherungsergebnisse, indem Sie die Abweichungen vom Wert
> aus a) bestimmen.
> es geht nur um die Sache mit der Normalverteilung in
> Aufgabe b)
> Und zwar findet man in der Lösung (Erwartungshorizont für
> Lehrer) eine Bedingung, die man angeben soll, um die
> Normalverteilung anwenden zu dürfen:
>
> Die Bedingung n * p * q > 9 ist erfüllt.
>
> Wo kommt denn das her?
Den Beweis dafür findest Du in den entsprechenden Lehrbüchern.
Ihn in diesem Forum aufzuzeigen, halte ich für übertrieben!
Sei also katholisch und glaub's einfach:
Wenn npq > 9 ist die Näherung gut,
wenn npq < 9 ist sie eher schlecht (bis unbrauchbar).
> Und dann ist da im Erwartungshorizont noch die Passage:
>
> Benutzt ein Prüfling die Normalverteilung ohne
> Korrekturglied (Ergebnis
> P(E) » 0,3979), so ergibt sich ein erheblicher Fehler, der
> in der geforderten
> Beurteilung der Qualität der Ergebnisse durch den Prüfling deutlich
> gewürdigt werden muss. Erfolgt ein Hinweis auf das
> fehlende Korrekturglied,
> so ist die Lösung als richtig, sonst als eingeschränkt
> richtig zu bewerten.
Damit ist die sog. "Stetigkeitskorrektur" gemeint.
Davon hast Du sicher schon was gehört.
Wenn nicht, hier der Hinweis: "+0,5".
Gib' doch mal Deinen Rechenweg bzgl. der Normalverteilung an!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:15 Mo 14.04.2008 | | Autor: | dexter |
> Gib' doch mal Deinen Rechenweg bzgl. der Normalverteilung
> an!
Naja, der Rechenweg lautet Normalvert(14; 20; 700/36; 4.3479)
Das ist ein GTR-Befehl und berechnet:
[mm] \Phi_{0,1}(\bruch{20 - 700/36}{4.3479}) [/mm] - [mm] \Phi_{0,1}(\bruch{14 - 700/36}{4.3479})
[/mm]
Die Null im Index von [mm] \Phi [/mm] steht für Mü (Erwartungswert) und die Eins für Sigmar (Standardabweichung)
Zum Punkt "Stetigkeitskorrektur", da geht es darum, dass man nicht den Flächeninhalt bzw. die Wahrscheinlichkeit für einen bestimmten x-Wert [mm] x_0 [/mm] berechnen kann, weil dieser ja 0 wäre, richtig?
Man hat sich also drauf geeinigt, dass wenn man z.B. 14 nimmt, man den bereich von 13,5 - 14,5 meint. und wenn ich 14 nun als untere Grenze Wähle, dann nehme ich eigentlich 13,5 und bei der oberen Grenze, wenn ich 20 wähle, 20,5.
Angenommen ich würde jetzt 15 nehmen, als untere Grenze, dann hätte ich doch 14,5 und das wäre doch näher an der Wahrscheinlichkeit für 15-20 oder?
Also ich denke, dass da irgendwo ein fehler drin ist in der Überlegung. Ich tipp mal drauf, dass das mit den +/- 0,5 nicht passt. Kann das mal jemand konkretisieren?
mfg dex
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Hi, dexter,
also: Ich finde die Sache mit der Stetigkeitskorrektur immer am leichtesten nachzuvollziehen, wenn ich bereits vorher umgeformt habe:
P(15 [mm] \le [/mm] X [mm] \le [/mm] 20) = P(X [mm] \le [/mm] 20) - P(X [mm] \le [/mm] 14).
Für [mm] "\le" [/mm] gilt nun in jedem (!!) Fall die Stetigkeitskorrektur mit "+0,5".
D.h. die Stetigkeitskorrektur mit "-0,5" kommt bei meiner Methode gar nicht vor!
Also: P(15 [mm] \le [/mm] X [mm] \le [/mm] 20) = P(X [mm] \le [/mm] 20) - P(X [mm] \le [/mm] 14)
[mm] \approx \Phi(\bruch{20 - 700/36 + 0,5}{4,3479}) [/mm] - [mm] \Phi(\bruch{14 - 700/36 + 0,5}{4,3479}) [/mm] usw.
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:10 Di 15.04.2008 | | Autor: | rabilein1 |
> a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkei des Ereignisses E mit der Binomialverteilung.
> b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis E
> näherungsweise mit der Normalverteilung
> c) und mit der Poisson-Verteilung.
> Prüfen Sie, ob die Voraussetzungen für
> die Benutzung dieser Näherungen erfüllt sind, und
> beurteilen Sie die Qualität der Näherungsergebnisse, indem Sie die Abweichungen vom Wert aus a) bestimmen.
Ohne dass ich jetzt im einzelnen weiß, wie man a) die Binominalverteilung b) die Nominalverteilung und c) die Poissonverteilung berechnet - aber ich gehe mal davon aus, dass du das weißt:
Also, dann würde ich zunächst einmal die Ergenisse nach den Methoden a) b) und c) ermitteln.
Und als nächstes diese Ergebnisse miteinander vergleichen: Wie weit weichen sie voneinander ab?
Welches der Ergenisse ist das genaueste? Welches ist mit dem geringsten Rechenaufwand zu erzielen?
Ist irgendwo vorgeben, wie groß die Abweichung sein darf? Scheinbar JA, denn sonst wäre das Wort "Voraussetzung" absurd.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:51 Di 15.04.2008 | | Autor: | dexter |
> > a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkei des Ereignisses E
> mit der Binomialverteilung.
> > b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für das
> Ereignis E
> > näherungsweise mit der Normalverteilung
> > c) und mit der Poisson-Verteilung.
> > Prüfen Sie, ob die Voraussetzungen für
> > die Benutzung dieser Näherungen erfüllt sind, und
> > beurteilen Sie die Qualität der Näherungsergebnisse, indem
> Sie die Abweichungen vom Wert aus a) bestimmen.
>
> Ohne dass ich jetzt im einzelnen weiß, wie man a) die
> Binominalverteilung b) die Nominalverteilung und c) die
> Poissonverteilung berechnet - aber ich gehe mal davon aus,
> dass du das weißt:
> Also, dann würde ich zunächst einmal die Ergenisse nach
> den Methoden a) b) und c) ermitteln.
> Und als nächstes diese Ergebnisse miteinander vergleichen:
> Wie weit weichen sie voneinander ab?
> Welches der Ergenisse ist das genaueste? Welches ist mit
> dem geringsten Rechenaufwand zu erzielen?
> Ist irgendwo vorgeben, wie groß die Abweichung sein darf?
> Scheinbar JA, denn sonst wäre das Wort "Voraussetzung"
> absurd.
Ich möchte dich darauf aufmerksam machen, dass es nicht um die von dir erwähnten Fragen geht. Nur um die speziell in meinem ersten Beitrag gestellten.
Es geht nur um die Sache mit der Normalverteilung in Aufgabe b) !!!
Ich fand es nur sinnvoll den ganzen Aufgabentext darzulegen, damit man den Zusammenhang versteht.
mfg dex
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