Abiaufgabe: Extremwertprobleme < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:41 Do 18.08.2005 | | Autor: | Grischa |
hiho, wir haben ne Abi Aufgabe als Hausaufgabe aufbekommen! Und ich wollte mal so richtig streben und da alles richtig haben.
Natürlich ist das ja eigentlich der richtige Sinn dieses Forums, darum lass ich es euch überlassen ob ihr sie benantworten wollt oder nicht!
Würde mich auf jeden Fall sehr freuen bzw andere Forum User auch..
Achja Komm mal alle mehr ins Irc ;) Subclasser ist da immer ganz aleine :D
Also die Aufgabe:
Ein Tierpark plant eine rechteckige Fläche als gehege mit 6 kleineren rechteckigen bereichen auszulegen. Für den Außenzaun ist mit 20 Euro je Meter, für den Innenzaun mit 10 Euro je Meter Zaunlänge zu rechnen.
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So sieht das dann in etwas aus ;D
a1) Berechnen sie die Gesamtkosten für alle Zäune zunächst unter der Annahme, dass dieGesamtfläche quadratisch ist und einen inhalt von 3000 m² hat.
a2) Bestimmen sie die äußeren Abmessungen für ein 3.000 m² großes Gehege so, dass die Gesamtkosten für alle benötigten Zäune minimal sind.
a3) Für den Kauf der Zäune stehen eigentlich nur 5.000 Euro zur verfügung. berechnen sie den maximalen Inhalt der Fläche, die dann eingezäunt werden könnte.
Ich versuch mein Glück weiter und poste dann, sobald ich doch noch was sinnvoles rausbekomme ;)
Gruß Grischa
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(Antwort) noch nicht fertig  | | Datum: | 21:59 Do 18.08.2005 | | Autor: | zwaem |
Hi Grischa.
Kurz eine Frage die nix mit der aufgabe zu tun hat. Nimmst du Mathe als drittes oder viertes Abi-Fach?
Lösung der ersten Teilaufgabe.
Da es sich um ein Quadrat handelt lautet die Formel für den Inhalt der Grundfläche: A(a)=a²
- wir wissen das die Grundfläche 3000m² beträgt => 3000=a²
- nun löse´n wir nach a auf a= [mm] \wurzel[2]{3000}
[/mm]
- jetzt berechnen wir die Zaunkosten für die Grundfläche [mm] 4*\wurzel[2]{3000}*20 [/mm] Euro [mm] \approx [/mm] 4381,8 Euro
-jetzt kommen die senkrechten der Innengehäge [mm] 2*\wurzel[2]{3000}*10 [/mm] Euro [mm] \approx [/mm] 1095,4 Euro
- und nun die Waagerechte [mm] \wurzel[2]{3000}*10 [/mm] Euro [mm] \approx [/mm] 547,7 Euro
- alles addiert [mm] \approx [/mm] 6027,90 Euro
Hoffe hab die Aufgabe richtig verstanden denn die erste Teilaufgabe ist ja kein Extremwertproblem.
Sorry im voraus fals es falsch ist.
Gruß zwaem
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:39 Fr 19.08.2005 | | Autor: | djmatey |
Hallo,
schade, das Du (noch) keine eigenen Lösungsansätze angegeben hast!
zu a1)
Da die Grundfläche quadratisch sein soll, sind alle Seiten x lang - es gilt nur zu unterscheiden, wie teuer die Innen- bzw Außenzäune sind.
Da eine Seite [mm] \wurzel{3000} [/mm] lang ist, ergeben sich Kosten von
4* [mm] \wurzel{3000} [/mm] *20+3* [mm] \wurzel{3000}*10
[/mm]
= 110 * [mm] \wurzel{3000}
[/mm]
[mm] \approx [/mm] 6024,95 Euro
zu a2)
Ab jetzt nenne ich die waagerechte Außenzaunlänge x, die senkrechte y.
Du hast zwei Bedingungen, die Du unter einen Hut bringen musst:
Das Gehege soll 3000 [mm] m^{2} [/mm] groß sein, d.h. erstens
x*y = 3000
Außerdem stelle Dir eine Funktion auf, die Dir die Kosten der Zäune in Abhängigkeit von x und y beschreibt:
k(x,y) = 2*x*20+x*10+2*y*10+2*y*20
= 50x+60y
Hier musst Du nun mit der ersten Bedingung y substituieren, dann erhältst Du eine Kostenfunktion k, die nur von x abhängt. Nun suche die Stelle x, für die die Kosten minimal werden (Tiefpunktsuche mit Hilfe von notwendigem und hinreichendem Kriterium für Extrema). Denke, das schaffst Du: Ableitung bilden, gleich 0 setzen etc. Es sollte x=60 rauskommen. Du erhältst nun y, indem Du dieses x wieder in die erste Bedingung einsetzt. Denke dran, zu zeigen, dass bei x=60 die Kosten wirklich MINIMIERT werden!
zu a3)
Ähnliches Vorgehen wie in a2:
Wir haben ja schon eine Kostenfunktion, nämlich
k(x,y) = 50x + 60y
Außerdem haben wir die Flächenfunktion, die uns die Fläche in Abhängigkeit von x und y ausspuckt:
A(x,y) = x*y
Da wir 5000 Ocken zur Verfügung haben, setzen wir diese mit der Kostenfunktion gleich:
50x + 60y = 5000 (**)
Löse das nach x auf und substituiere x in A(x,y), so dass die Flächenfunktion A nur noch von y abhängt. Die Fläche soll ja maximal werden, d.h. es gilt nun, das y zu suchen, für das A(y) maximal wird (ableiten etc.). Denke auch hier daran, zu zeigen, dass bei dem gefundenen y A(y) wirklich MAXIMAL wird!
Nun das gefundene y nur noch in (**) einsetzen und nach x auflösen!
Es sollte x = 50 und y = [mm] \bruch{125}{3} \approx [/mm] 41,67 herauskommen, d.h. die maximale Fläche sollte 2083,33 [mm] m^{2} [/mm] sein.
Beste Grüße,
djmatey
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:58 Fr 19.08.2005 | | Autor: | Grischa |
Guten morgen!
Erstmal wieder recht herzlichen Dank, das ihr geantwortet habt.
Ich habe a1) auch geschafft konnte es nur leider nicht mehr posten, da mein Vater mir mein I-net abgeklemmt hat *g*
Die war ja auch nicht so schwer, bei den anderen hab ich immer das Problem das ich einen kleinen Denkanstoß brauche um mich dann in die Frage zu vertiefen.
Hatte ich bis jetzt bei jedem Thema so, ich hofffe das legt sich bald :(
Achja ich nehme Mathe als schriftliches Prüfungsfach, also das 3. !
Mehr oder weniger gezwungen , hehe . Naja wenn man Kunst als 1 Lk hat ist man sehr eingeschränkt bei der Wahl seiner Fächer *g*
Aber ich rede hier schon wieder viel zu viel.
Danke für die schnellen Antworten!
Hochachtungsvoll,
Grischa
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