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Forum "Differentiation" - Ableiten/Tan/Arctan/ArcSIn
Ableiten/Tan/Arctan/ArcSIn < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ableiten/Tan/Arctan/ArcSIn: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:46 Sa 14.01.2012
Autor: quasimo

Aufgabe
Man beweise:
2 arctan x + arc sin [mm] \frac{2x}{1+x^2} [/mm] = [mm] \pi [/mm] für x > 1
2 arctan x - arc sin [mm] \frac{2x}{1+x^2} [/mm] = 0 für |x| < 1







Hallo

(2 arctan x + arc sin [mm] \frac{2x}{1+x^2}) [/mm] '
= [mm] \frac{ 2}{1+x^2} [/mm] + [mm] \frac{1-3x^2}{\sqrt{1-arcsin(\frac{2x}{1+x^2}})*(x^2+1)^2} [/mm]

Ich weiß nicht mal so recht ob überhaupt die ABleitung stimmt.
Geschweigeden was ich weiter zu tun hab.

LG

        
Bezug
Ableiten/Tan/Arctan/ArcSIn: wieso Ableitung?
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 02:27 Sa 14.01.2012
Autor: Loddar

Hallo quasimo!


Wo in der Aufgabenstellung steht denn etwas von der Ableitung des genannten Terms?
[aeh]


Gruß
Loddar


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Ableiten/Tan/Arctan/ArcSIn: Idee
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 03:50 Sa 14.01.2012
Autor: al3pou

Ich weiß nicht ob so gefordert, aber du kannst dir ja mal die Graphen der Funktionen angucken und deren Verlauf. Vielleicht kommst du dann drauf :)

Gruß
al3pou

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Bezug
Ableiten/Tan/Arctan/ArcSIn: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:09 Sa 14.01.2012
Autor: quasimo

Es steht am Schluß, was ich vergessen hab hinzuschreiben:
Anleitung: Man differenziere die Gleichung

Bezug
                        
Bezug
Ableiten/Tan/Arctan/ArcSIn: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:59 Sa 14.01.2012
Autor: fred97

Z.b: f(x):= 2 arctan x - arc sin $ [mm] \frac{2x}{1+x^2} [/mm] $  für |x|<1

Zeige: f'(x)=0  für |x|<1

Dann ist f auf (-1,1) konstant, also f(x)=f(0) für |x|<1

FRED

Bezug
                                
Bezug
Ableiten/Tan/Arctan/ArcSIn: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:07 Sa 14.01.2012
Autor: quasimo

Ich steh ein bisschen an^^
Die Ableitung der zweiten Zeile ergibt
$ [mm] \frac{ 2}{1+x^2} [/mm] $ - $ [mm] \frac{1-3x^2}{\sqrt{1-arcsin(\frac{2x}{1+x^2}})\cdot{}(x^2+1)^2} [/mm] $ =0

Fragt sich wie ich das AUflösen kann mit dem arcsin


Bezug
                                        
Bezug
Ableiten/Tan/Arctan/ArcSIn: kein arcsin mehr
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:10 Sa 14.01.2012
Autor: Loddar

Hallo quasimo!


Das kann nicht stimmen. In der Ableitung wird kein [mm]\arcsin[/mm] mehr auftauchen.


Gruß
Loddar


Bezug
                                                
Bezug
Ableiten/Tan/Arctan/ArcSIn: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:23 Sa 14.01.2012
Autor: quasimo

Gut;)

Also nochmals abgeleitet:

(arcsin [mm] \frac{2x}{1+x^2}) [/mm] ' = [mm] \frac{2-2x^2}{\sqrt{1-(\frac{4x^2}{1+2x^2+x^4})}}* \frac{1}{(1+x^2)^2} =\frac{2-2x^2}{\sqrt{\frac{(1-x^2)^2}{(1+x^2)^2}}}* \frac{1}{(1+x^2)^2} =\frac{2-2x^2}{\frac{(1-x^2)}{(1+x^2)}}* \frac{1}{(1+x^2)^2} [/mm]  = [mm] \frac{(2-2x^2)*(1+x^2)}{(1-x^2)*(1+x^2)^2} [/mm] = [mm] \frac{2-2x^4}{1+x^2-x^4-x^6} [/mm]

Ist das falsch?

LG

Bezug
                                                        
Bezug
Ableiten/Tan/Arctan/ArcSIn: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:16 Sa 14.01.2012
Autor: MathePower

Hallo quasimo,

> Gut;)
>  
> Also nochmals abgeleitet:
>  
> (arcsin [mm]\frac{2x}{1+x^2})[/mm] ' =
> [mm]\frac{2-2x^2}{\sqrt{1-(\frac{4x^2}{1+2x^2+x^4})}}* \frac{1}{(1+x^2)^2} =\frac{2-2x^2}{\sqrt{\frac{(1-x^2)^2}{(1+x^2)^2}}}* \frac{1}{(1+x^2)^2} =\frac{2-2x^2}{\frac{(1-x^2)}{(1+x^2)}}* \frac{1}{(1+x^2)^2}[/mm]
>  = [mm]\frac{(2-2x^2)*(1+x^2)}{(1-x^2)*(1+x^2)^2}[/mm] =
> [mm]\frac{2-2x^4}{1+x^2-x^4-x^6}[/mm]
>  


Das stimmt für [mm]\vmat{x} < 1[/mm]


> Ist das falsch?
>  
> LG


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                
Bezug
Ableiten/Tan/Arctan/ArcSIn: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:38 Sa 14.01.2012
Autor: quasimo

Hallo,

Was?Es fehlt ja noch die ableitung des 2 arc tan (x) dazu

ABER meine Frage war ob ich richtig abgeleitet/umgeformt habe. Ich glaub nämlich mir sind Fehler unterlaufen.

Weil wenn ich die Wurzel wegstreiche, muss ich den Betrag danach verwenden oder?

> (arcsin $ [mm] \frac{2x}{1+x^2}) [/mm] $ ' = $ [mm] \frac{2-2x^2}{\sqrt{1-(\frac{4x^2}{1+2x^2+x^4})}}\cdot{} \frac{1}{(1+x^2)^2} =\frac{2-2x^2}{\sqrt{\frac{(1-x^2)^2}{(1+x^2)^2}}}\cdot{} \frac{1}{(1+x^2)^2} =\frac{2-2x^2}{\frac{(1-x^2)}{(1+x^2)}}\cdot{} \frac{1}{(1+x^2)^2} [/mm] $  = $ [mm] \frac{(2-2x^2)\cdot{}(1+x^2)}{(1-x^2)\cdot{}(1+x^2)^2} [/mm] $ = $ [mm] \frac{2-2x^4}{1+x^2-x^4-x^6} [/mm] $

Bezug
                                                                        
Bezug
Ableiten/Tan/Arctan/ArcSIn: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:44 Sa 14.01.2012
Autor: MathePower

Hallo quasimo,

> Hallo,
>  
> Was?Es fehlt ja noch die ableitung des 2 arc tan (x) dazu
>  
> ABER meine Frage war ob ich richtig abgeleitet/umgeformt
> habe. Ich glaub nämlich mir sind Fehler unterlaufen.

>


Abgeleitet hast Du richtig, nur eben für [mm]\vmat{x}<1[/mm]  


> Weil wenn ich die Wurzel wegstreiche, muss ich den Betrag
> danach verwenden oder?
>  


Ja.


> > (arcsin [mm]\frac{2x}{1+x^2})[/mm] ' =
> [mm]\frac{2-2x^2}{\sqrt{1-(\frac{4x^2}{1+2x^2+x^4})}}\cdot{} \frac{1}{(1+x^2)^2} =\frac{2-2x^2}{\sqrt{\frac{(1-x^2)^2}{(1+x^2)^2}}}\cdot{} \frac{1}{(1+x^2)^2} =\frac{2-2x^2}{\frac{(1-x^2)}{(1+x^2)}}\cdot{} \frac{1}{(1+x^2)^2}[/mm]
>  = [mm]\frac{(2-2x^2)\cdot{}(1+x^2)}{(1-x^2)\cdot{}(1+x^2)^2}[/mm] =
> [mm]\frac{2-2x^4}{1+x^2-x^4-x^6}[/mm]


Das kann noch vereinfacht werden.


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                                
Bezug
Ableiten/Tan/Arctan/ArcSIn: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:59 Sa 14.01.2012
Autor: quasimo


> Abgeleitet hast Du richtig, nur eben für $ [mm] \vmat{x}<1 [/mm] $  

Ja , dann nehme ich den Betrag und hab so für beide varianten umgeformt?

$ [mm] \frac{2-2x^2}{\sqrt{1-(\frac{4x^2}{1+2x^2+x^4})}}\cdot{} \frac{1}{(1+x^2)^2} =\frac{2-2x^2}{\sqrt{\frac{(1-x^2)^2}{(1+x^2)^2}}}\cdot{} \frac{1}{(1+x^2)^2} =\frac{2-2x^2}{\frac{|(1-x^2)|}{(1+x^2)}}\cdot{} \frac{1}{(1+x^2)^2} [/mm] $
  = [mm] \frac{2*(1-x^4)}{|(1-x^2)| *(1+x^2)^2} [/mm]
= [mm] \frac{2*(1+x^2)*(1-x^2))}{|(1-x^2)| *(1+x^2)*(1+x^2)} [/mm]
[mm] =\frac{2*(1-x^2)}{|(1-x^2)| *(1+x^2)} [/mm]

Passt es so?


für $ [mm] \vmat{x}<1 [/mm] $

> $ [mm] \frac{2-2x^4}{1+x^2-x^4-x^6} [/mm]
> Das kann noch vereinfacht werden.

= [mm] \frac{2-2x^2}{1-x^4} [/mm]

Bezug
                                                                                        
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Ableiten/Tan/Arctan/ArcSIn: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:26 Sa 14.01.2012
Autor: MathePower

Hallo quasimo,

> > Abgeleitet hast Du richtig, nur eben für [mm]\vmat{x}<1[/mm]  
> Ja , dann nehme ich den Betrag und hab so für beide
> varianten umgeformt?
>  
> [mm]\frac{2-2x^2}{\sqrt{1-(\frac{4x^2}{1+2x^2+x^4})}}\cdot{} \frac{1}{(1+x^2)^2} =\frac{2-2x^2}{\sqrt{\frac{(1-x^2)^2}{(1+x^2)^2}}}\cdot{} \frac{1}{(1+x^2)^2} =\frac{2-2x^2}{\frac{|(1-x^2)|}{(1+x^2)}}\cdot{} \frac{1}{(1+x^2)^2}[/mm]
>  
>   = [mm]\frac{2*(1-x^4)}{|(1-x^2)| *(1+x^2)^2}[/mm]
>  =
> [mm]\frac{2*(1+x^2)*(1-x^2))}{|(1-x^2)| *(1+x^2)*(1+x^2)}[/mm]
>  
> [mm]=\frac{2*(1-x^2)}{|(1-x^2)| *(1+x^2)}[/mm]
>  
> Passt es so?
>  


Ja.


>
> für [mm]\vmat{x}<1[/mm]
> > $ [mm]\frac{2-2x^4}{1+x^2-x^4-x^6}[/mm]
> > Das kann noch vereinfacht werden.
> = [mm]\frac{2-2x^2}{1-x^4}[/mm]  


[ok]


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                                                
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Ableiten/Tan/Arctan/ArcSIn: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:13 Sa 14.01.2012
Autor: quasimo

Hei supa ;)
Zurück aber zur AUfgabe!

> Aufgabe
> Man beweise:
> 2 arctan x + arc sin $ [mm] \frac{2x}{1+x^2} [/mm] $ = $ [mm] \pi [/mm] $ für x > 1
> 2 arctan x - arc sin $ [mm] \frac{2x}{1+x^2} [/mm] $ = 0 für |x| < 1

[mm] \frac{2}{1+x^2}+ $\frac{2\cdot{}(1-x^2)}{|(1-x^2)| \cdot{}(1+x^2)} [/mm] $ = [mm] \frac{2 *|1-x^2)| +2*(1-x^2)}{(|1-x^2|) \cdot{}(1+x^2)} [/mm]

[mm] \frac{2}{1+x^2} [/mm] - $ [mm] \frac{2-2x^2}{1-x^4} [/mm] $ = [mm] \frac{0}{(1+x^2)*(1-x^4)}=0 [/mm]

Ich weiß nicht so ganz, wie ich das oben mache mit dem Betrag!

Bezug
                                                                                                        
Bezug
Ableiten/Tan/Arctan/ArcSIn: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:27 Sa 14.01.2012
Autor: MathePower

Hallo quasimo,

> Hei supa ;)
>  Zurück aber zur AUfgabe!
>  > Aufgabe

>  > Man beweise:

>  > 2 arctan x + arc sin [mm]\frac{2x}{1+x^2}[/mm] = [mm]\pi[/mm] für x > 1

>  > 2 arctan x - arc sin [mm]\frac{2x}{1+x^2}[/mm] = 0 für |x| < 1

>
> [mm]\frac{2}{1+x^2}+[/mm]  [mm]\frac{2\cdot{}(1-x^2)}{|(1-x^2)| \cdot{}(1+x^2)}[/mm]
> = [mm]\frac{2 *|1-x^2)| +2*(1-x^2)}{(|1-x^2|) \cdot{}(1+x^2)}[/mm]
>  
> [mm]\frac{2}{1+x^2}[/mm] - [mm]\frac{2-2x^2}{1-x^4}[/mm] =
> [mm]\frac{0}{(1+x^2)*(1-x^4)}=0[/mm]
>
> Ich weiß nicht so ganz, wie ich das oben mache mit dem
> Betrag!


Löse den Betrag im Fall [mm]\vmat{x} > 1[/mm] auf.

Dann ist [mm]\bruch{1-x^{2}}{\vmat{1-x^{2}}}=-1[/mm]

Somit gilt:

[mm]\frac{2}{1+x^2}+\frac{2\cdot{}(1-x^2)}{|(1-x^2)| \cdot{}(1+x^2)}=\frac{2}{1+x^2}+\frac{2\cdot{}(-1)}{1+x^2}=\bruch{0}{1+x^{2}}=0[/mm]


Gruss
MathePower

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Ableiten/Tan/Arctan/ArcSIn: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:34 Sa 14.01.2012
Autor: quasimo

Hei danke.
Aber Was ist mit dem [mm] \pi [/mm] von der Angabe,dass kommt ja nicht mehr vor? Müssen wir da nicht auch was zeigen??

LG

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Ableiten/Tan/Arctan/ArcSIn: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:11 So 15.01.2012
Autor: MathePower

Hallo quasimo,

> Hei danke.
> Aber Was ist mit dem [mm]\pi[/mm] von der Angabe,dass kommt ja nicht
> mehr vor? Müssen wir da nicht auch was zeigen??
>  


Die Gleichung

[mm]2 arctan x + arc sin \frac{2x}{1+x^2}= \pi , \ x > 1 [/mm]

ist mit Hilfe von Additionstheroremen zu zeigen.


> LG


Gruss
MathePower

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Ableiten/Tan/Arctan/ArcSIn: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:42 So 15.01.2012
Autor: quasimo


> Hallo quasimo,
>  
> > Hei danke.
> > Aber Was ist mit dem [mm]\pi[/mm] von der Angabe,dass kommt ja nicht
> > mehr vor? Müssen wir da nicht auch was zeigen??
>  >  
>
>
> Die Gleichung
>  
> [mm]2 arctan x + arc sin \frac{2x}{1+x^2}= \pi , \ x > 1[/mm]
>  
> ist mit Hilfe von Additionstheroremen zu zeigen.

1) Für was haben wir dann differenziert die erste Gleichung? Hätten wir das ganze dann nicht nur für |x| < 1 machen sollen?

2)    [mm] \sin [/mm] ( x [mm] \pm [/mm] y ) = [mm] \sin [/mm] x [mm] \; \cos [/mm] y [mm] \pm \sin [/mm] y [mm] \; \cos [/mm] x
    [mm] \tan [/mm] ( x + y )  = [mm] \frac{ \sin (x + y) }{ \cos (x + y) } [/mm]
Aber für den arc.. hab ich kein additionstheorem.

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Ableiten/Tan/Arctan/ArcSIn: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:28 So 15.01.2012
Autor: leduart

hallo
da die ableitung 0 ist musst du nur einen Wert für x finden, wo das stimmt.
für 7x|<1 nimm 0
für x/ge1 nimm 1
Gruss leduart

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Ableiten/Tan/Arctan/ArcSIn: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:10 Mo 16.01.2012
Autor: quasimo


> x /ge 1  nimm 1

2* arctan(1) = [mm] \frac{2\pi}{4} [/mm]
[mm] arcsin(\frac{2}{1+1^2})=arcsin(1)=\pi/2 [/mm]
f(1) = [mm] \frac{2\pi}{4}+\frac{\pi}{2} [/mm] = [mm] \pi [/mm]
WIESO aber darf man eins nehmen? In der Angabe steht doch für den Term x>1 und nicht größergleich!?

> für |x|<1 nimm 0

2 arctan(0) = 0
[mm] arcsin(\frac{2*0}{1+0^2})=0 [/mm]
g(0) = 0+0=0


Trotzdem muss ich nochmals von Anfang an fragen!

> Man beweise:
> 2 arctan x + arc sin $ [mm] \frac{2x}{1+x^2} [/mm] $ = $ [mm] \pi [/mm] $ für x > 1
> 2 arctan x - arc sin $ [mm] \frac{2x}{1+x^2} [/mm] $ = 0 für |x| < 1

Warum haben wir die beiden Gleichungen differenziert?

> Rausgekommen ist dann jeweils 0 für jede der Gleichungen

Und warum muss ich jetzt noch ein beliebiges x einsetzen in die Gleichungen? Es muss doch für jedes x gelten?

Ich habe nun die Lösungsschritt aber wie ihr seht, sind sie mir nicht klar, warum wir es so machen!





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Ableiten/Tan/Arctan/ArcSIn: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:59 Mo 16.01.2012
Autor: leduart

Hallo
du eillst zejen dass f(x)=const  0= für |x|<1
was hast du gezeigt? f'(x)=0 fot alle x on dem Bereich.
damiz hast du f(x)=const in dem Berich. wenn es kostant ist, reicht es, den wert an einer Stelle auszurechnen, dann gilt er für alle anderen Stellen auch.
fasselbe für die andere fkt
Das stand aber schon in einem der ersten posts. es wäre gut, du würdest die gründlich lesen und gleich sagen, was du nicht verstanden hast statt blindlings was auszurechnen, dessen sinn du nicht verstehst!
Also erst verstehen, dann losrechnen!
Gruss leduart

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Ableiten/Tan/Arctan/ArcSIn: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:00 Sa 14.01.2012
Autor: leduart

hallo
du willst doch [mm] \bruch{2}{1-x^2} [/mm] zeigen?
Gruss leduart

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Ableiten/Tan/Arctan/ArcSIn: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:52 Sa 14.01.2012
Autor: leduart

Hallo
im vorletzten Zerm kürzen statt ausrechnen!
Gruss leduart

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