Ableiten bei x im Exponent < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:27 Di 14.03.2006 | | Autor: | Sabbi2 |
| Aufgabe | f(x) = [mm] 2^{1+x^2} [/mm] = [mm] e^{ln(2) (1+x^2)}
[/mm]
gesucht: f'(x)= |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
In genannter Aufgabe steht das x im Exponent. Ich habe schon mal ganz kess die Umwandlung in den Ausdruck mit e "hoch" blabla rausgesucht.
Ich weiß jetzt aber nicht, wie ich das auflösen muss. Ich kenn noch, dass [mm] x^n [/mm] dann [mm] f'(x)=nx^n-1 [/mm] ist, aber das geht doch hier bei e doch auch irgendwie nicht?! Hat das e überhaupt was zu sagen.
Also wie geht das jetzt abzuleiten? Es liegt vor allem wahrscheinlich auch daran, da ich nicht so gut mit log und ln und hoch und wie diese zusammenhängen umgehen kann.
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Hallo Sabbi!
Deine Umformung / Umwandlung in die e-Funktion ist doch schon klasse!
Und nun müssen wir halt noch die Ableitung der e-Funktion kennen.
Es gilt: [mm] $\left( \ e^x \ \right)' [/mm] \ = \ [mm] e^x$
[/mm]
Die Ableitung der e-Funktion ergibt also wiederum die e-Funktion.
Da in unserem Falle nicht nur ein $x_$ im Exponenten steht, sondern etwas anderes, müssen wir hier die  Kettenregel anwenden und die innere Ableitung berücksichtigen:
$f'(x) \ = \ [mm] e^{\ln(2)*\left(1+x^2\right)} [/mm] * [mm] \left[ \ \ln(2)*\left(1+x^2\right) \ \right]' [/mm] \ = \ ...$
Willst Du es nun mal versuchen?
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:16 Di 14.03.2006 | | Autor: | Sabbi2 |
Im Exponenten steht ja sogesehen etwas, wo man die Produktregel anwenden müsste, weil ln(2) * [mm] (1+x^2)?!
[/mm]
Ich sehe hier jetzt nicht wo hierbei "innen" und "außen" ist.
Da hätte ich probiert
u' v + u v'
[mm] \bruch{1}{2}(1+x^2) [/mm] + ln(2)(2x)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:29 Di 14.03.2006 | | Autor: | Walde |
hi Sabbi2
also:
1. Bei der Produktregel spricht man eigentlich nicht von "innen" und "aussen",sondern nur von u und v.
2. die Ableitung von ln(2) ist NICHT [mm] \bruch{1}{2}, [/mm] denn ln(2) ist eine konstante Zahl,die nicht von x abhängt. Ihre Ableitung ist deshalb 0.
3.Aufgrund von 2. kann man daher [mm] ln(2)*(1+x^2) [/mm] viel einfacher ohne Produktregel ableiten (mit geht aber auch). Bei zb. [mm] 5*(1+x^2) [/mm] hättest du bestimmt auch nicht die Produktregel verwendet, oder? und ln(2) ist auch nur eine Zahl.
Kommst du jetzt weiter?
L G Walde
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:44 Di 14.03.2006 | | Autor: | Sabbi2 |
Innen und Außen meinte ich, weil die Kettenregel genannt wurde, aber ich bei dem [mm] ln(2)(1+x^2) [/mm] diese nicht erkennen kann
Bei [mm] 5*(1+x^2) [/mm] hätte ich [mm] 5+5x^2 [/mm] drausgemacht und f'(x)= wär dann 10x
Dann ist das bei mir oben 2x
Dann wär's bei [mm] f(x)=2^{(1+x^2)}
[/mm]
[mm] f'(x)=e^{2x}
[/mm]
Sieht mir aber komisch aus.
Zu meiner Denkweise: Ich geh von meiner anfangs gemachten Umwandlung in [mm] f(x)=e^{ln(2)(1+x^2)} [/mm] aus
und schreibe nur meine Ableitung oben in den Exponent, das e lasse ich einfach so stehen, weil man da doch nichts mehr mit machen kann?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:03 Di 14.03.2006 | | Autor: | Walde |
> Innen und Außen meinte ich, weil die Kettenregel genannt
> wurde, aber ich bei dem [mm]ln(2)(1+x^2)[/mm] diese nicht erkennen
> kann
Hast recht, hier brauchst du die Kettenregel auch nicht.
>
> Bei [mm]5*(1+x^2)[/mm] hätte ich [mm]5+5x^2[/mm] drausgemacht und f'(x)= wär
> dann 10x
Ja, genauso ists richtig.
>
> Dann ist das bei mir oben 2x
Nein,es wäre bei dir:
[mm] ln(2)(1+x^2)=ln(2)+ln(2)*x^2 [/mm] und die Ableitung
ln(2)*2x (oben hattest du doch auch 5*2x)
und damit:
[mm] f(x)=2^{(1+x^2)}
[/mm]
zum Ableiten ist die Umwandlung in die "e hoch" Schreibweise sehr gut und sinnvoll, solltest du immer machen. Dann ganz normal nach Kettenregel ableiten: der "e hoch"-kram bleibt stehen, dranmultipliziert wird die Ableitung des Exponenten.
[mm] f'(x)=e^{\ln(2)\cdot{}\left(1+x^2\right)}*ln(2)*2*x=2^{1+x^2}*2*ln(2)*x
[/mm]
Alles klar? 
Walde
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:39 Di 14.03.2006 | | Autor: | Sabbi2 |
> Nein,es wäre bei dir:
> [mm]ln(2)(1+x^2)=ln(2)+ln(2)*x^2[/mm] und die Ableitung
> ln(2)*2x (oben hattest du doch auch 5*2x)
Aha ok, also erst so umformen und dann ableiten.
Und dann dies an den "e hoch"-Teil dranmultiplizieren.
Das mit dem nochmal an den so belassenen Teil"dranmultiplizieren" das hatte ich jetzt erst nicht so ganz verstanden.
Dass man das nochmal hinten dran hängt, hab ich irgendwie in Formelsammlungen gar nicht so konkret gefunden. Wie sagt man da dazu?
(professionelle Insiderfrage jetzt möcht ichs gleich mal ganz genau wissen B-) )
Vielen Dank euch Zweien
PS: Und in der Art dann halt immer so, wenn x im Exponenten ist, egal, wieviel da reingeschrieben wär?!
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