Ableiten einer Exponentialf. < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:39 Mi 22.10.2008 | | Autor: | LK2010 |
| Aufgabe | Gegeben ist eine Funktion [mm] f(x)=e^{x+1}
[/mm]
Welcher Punkt hat vom Ursprung den kleinsten Abstand?
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Hey!
Da es den Anschein macht, dass es eine Extremwertaufgabe ist, hab ich zuerst ein mal eine
[mm] Extremalbedingung:L(x)=\wurzel{(x2-x1)^{2}+(y2-y1)^{2}}
[/mm]
(Es muss die Kürzeste Strecke sein.)
Dann die Nebenbedingungen: P1(0|0) und P2 [mm] (x|e^{x+1})
[/mm]
Darauf ergibt sich die Zielfunktion: [mm] L(x)=\wurzel{x^{2}+e^{2*x+2}}
[/mm]
Dann muss man die Zielfunktion ableiten.
Aber genau da endet meine Kenntnis von Rechengesetzten!
Ich weiß, dass man schreiben kann : [mm] L(x)=(x^{2}+e^{2*x+2})^{1/2}
[/mm]
Aber beim weitern Rechnen scheitere ich.
( Habe es wie folgt vereinfacht:
[mm] L(x)=x+e^{x+1} [/mm] --> Also alle Exponenten mal 1/2 genommen.
Das ist bestimmt sehr sehr falsch, aber ich kenn keinen anderen Weg.
Gibt es vielleicht noch einen einfacheren Weg an eine andere Zielgleichungen zu kommen? Wenn nicht, dann bräuchte ich mal Rat für die Ableitung..
Vielen vielen Dank
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:27 Mi 22.10.2008 | | Autor: | LK2010 |
Ja, das mit der Kettenregel, war auch eine Möglichkeit die probiert hatte.
Da kam dan folgendes raus:
[mm] F'(x)=\bruch{2*x+2*e^{2*x+2}}{2*\wurzel{x^{2}+e^{2*x+2}}}
[/mm]
Das scheint aber auch flasch zu sein, weil wenn man F'(x)=0 kommt wieder nichts raus:
[mm] \bruch{2*x+2*e^{2*x+2}}{2*\wurzel{x^{2}+e^{2*x+2}}}=0 |*2*\wurzel{x^{2}+e^{2*x+2}}
[/mm]
[mm] 2*x+2*e^{2*x+2}=0 [/mm] | - 2*x
[mm] 2*e^{2*x+2}=-2*x [/mm] | ln
--> nicht möglich!
(Ich weiß zu der Aufgabe, dass sie aber auf jeden Fall lösbar ist!)
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Hi, LK2010,
> Ja, das mit der Kettenregel, war auch eine Möglichkeit die
> probiert hatte.
> Da kam dan folgendes raus:
>
> [mm]F'(x)=\bruch{2*x+2*e^{2*x+2}}{2*\wurzel{x^{2}+e^{2*x+2}}}[/mm]
>
> Das scheint aber auch flasch zu sein, weil wenn man F'(x)=0
> kommt wieder nichts raus:
>
> [mm]\bruch{2*x+2*e^{2*x+2}}{2*\wurzel{x^{2}+e^{2*x+2}}}=0 |*2*\wurzel{x^{2}+e^{2*x+2}}[/mm]
>
> [mm]2*x+2*e^{2*x+2}=0[/mm] | - 2*x
>
> [mm]2*e^{2*x+2}=-2*x[/mm] | ln
Diese Gleichung ist richtig; exakt lösen kann man sie aber nur zufälliger Weise, weil man die Lösung erraten kann: x = -1.
Dass dies die einzige Lösung ist, kann man über das Steigungsverhalten der Funktion [mm] h(x)=2*x+2*e^{2*x+2} [/mm] beweisen: h ist nämlich echt monoton zunehmend!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:59 Mi 22.10.2008 | | Autor: | LK2010 |
Vielen Dank!
Ja -1 macht Sinn...
Allerdings hab ich noch eine Frage, kommt das öfters bei Gleichungen vor,dass man einfach Raten muss?!
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Hi, LK2010,
> Ja -1 macht Sinn...
> Allerdings hab ich noch eine Frage, kommt das öfters bei
> Gleichungen vor,dass man einfach Raten muss?!
Sicher! Raten ist eine durchaus gängige mathematische "Methode", Lösungen zu finden.
Kommt ja schon in der 10. Klasse vor z.B. bei der Suche nach Nullstellen von Funktionen 3.Grades: Raten + Polynomdivision; erinnerst Du Dich?!
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Mi 22.10.2008 | | Autor: | defjam123 |
Hey,
raten ist jedoch bei einer komplexen aufgabe ausser frage, da die wahrscheinlichkeit ziemlich niedrig ist, eine passende Nullstelle zu finden. Aus diesem Grund frage ich mich warum man in der Schule nicht beispielsweise Cardanische Formeln lernt mit dennen es möglich ist die nullstellen auszurechnen. Meine Lehrerin von der 10 Klasse wusste nicht mal bescheid, dass es sowas gibt.
Gruss
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:37 Mi 22.10.2008 | | Autor: | LK2010 |
Ja, stimme...da hat man das natürlich auch gemacht...
Ich hatte da nur öfters nie so Glück ;)
Naja.. vielen Dank auf jeden Fall =)
LG
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