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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:18 Mo 04.06.2007 | | Autor: | Linalina |
| Aufgabe | Diskutiere und gib dabei die Bedeutung der Änderungsrate an:
a) Die Ableitung des Quadratflächeninhalts nach der Seitenlänge;
b) Die Ableitung des Quadratflächeninhalts nach dem Radius des Inkreises (warum ist dies günstiger?)
c) Die Ableitung des Flächeninhalts des regelmäßigen Sechsecks nach dem Radius des Inkreises. Bestätige zuvor: Das regelmäßige Sechseck hat den Flächeninhalt [mm] 2r^2\wurzel{3}[/mm] und die Seitenlänge [mm] \bruch{2r}{\wurzel{3}}[/mm]
d) Die Ableitung des Kugelvolumens nach dem Radius
e) Die Ableitung des Würfelvolumens nach der Kantenlänge und nach dem Radius der Inkugel
f) Die Ableitung des Volumens eines archimedischen Zylinders nach dem Radius der Grundfläche. (Ein Zylinder heißt archimedisch, wenn h=2r ist, also wenn er genau um eine Kugel herumpasst.
g) V sei das Volumen eines Getränks, das in einem Glas bis zur Höhe h steht. Welche Bedeutung hat dann die Änderungsrate [mm] \bruch{dV}{dh} [/mm] ? |
Hallo!
Zu Aufgabe a) und b): Ich verstehe und kann begründen, warum die Änderungsrate zweimal die Seitenlänge ist. Ich habe also die Seitenlänge [mm] a_1 [/mm] in [mm] a_2 [/mm] geändert und somit ein L-förmiges Stückchen am Rand des Quadrates bekommen. Dieses Stückchen habe ich aufgeklappt. Den Flächeninhalt dieses Stückchens hatte ich ja, da [mm] \nabla A = a_2^2 - a_1^2 [/mm] und die Höhe hatte ich auch, da [mm] \nabla a = a_2 - a_1 [/mm]. Somit konnte ich die Seitenlänge errechnen.
Nun verstehe ich nicht, warum es günstiger sein soll, nach dem Radius des Inkreises abzuleiten. Wenn ich das Quadrat an allen vier Seiten "vergrößere", also den Radius des Inkreises verändere, wäre es ja eigentlich logisch, wenn die Änderungsrate der Umfang des Quadrats wäre. Das ist sie aber ja nicht.
Zu Aufgabe c) Hier verstehe ich, dass die Ableitung des Flächeninhalts der Umfang ist. Allerdings komme ich nicht darauf, wie ich die Formeln für den Flächeninhalt und die Seitenlänge bestätige.
Zu Aufgabe d) e) und f) Hier habe ich keine Ahnung, wie ich es mit den Volumen machen soll.
Zu Aufgabe g) Hier weiß ich, dass die Änderungsrate der Querschnitt des Körpers in dieser Höhe ist. Aber warum ist das so?
Viele Grüße
P.S.: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:46 Di 12.06.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Diskutiere und gib dabei die Bedeutung der Änderungsrate
> an:
> a) Die Ableitung des Quadratflächeninhalts nach der
> Seitenlänge;
> b) Die Ableitung des Quadratflächeninhalts nach dem Radius
> des Inkreises (warum ist dies günstiger?)
> c) Die Ableitung des Flächeninhalts des regelmäßigen
> Sechsecks nach dem Radius des Inkreises. Bestätige zuvor:
> Das regelmäßige Sechseck hat den Flächeninhalt
> [mm]2r^2\wurzel{3}[/mm] und die Seitenlänge [mm]\bruch{2r}{\wurzel{3}}[/mm]
> d) Die Ableitung des Kugelvolumens nach dem Radius
> e) Die Ableitung des Würfelvolumens nach der Kantenlänge
> und nach dem Radius der Inkugel
> f) Die Ableitung des Volumens eines archimedischen
> Zylinders nach dem Radius der Grundfläche. (Ein Zylinder
> heißt archimedisch, wenn h=2r ist, also wenn er genau um
> eine Kugel herumpasst.
> g) V sei das Volumen eines Getränks, das in einem Glas bis
> zur Höhe h steht. Welche Bedeutung hat dann die
> Änderungsrate [mm]\bruch{dV}{dh}[/mm] ?
> Hallo!
> Zu Aufgabe a) und b): Ich verstehe und kann begründen,
> warum die Änderungsrate zweimal die Seitenlänge ist. Ich
> habe also die Seitenlänge [mm]a_1[/mm] in [mm]a_2[/mm] geändert und somit ein
> L-förmiges Stückchen am Rand des Quadrates bekommen. Dieses
> Stückchen habe ich aufgeklappt. Den Flächeninhalt dieses
> Stückchens hatte ich ja, da [mm]\nabla A = a_2^2 - a_1^2[/mm] und
> die Höhe hatte ich auch, da [mm]\nabla a = a_2 - a_1 [/mm]. Somit
> konnte ich die Seitenlänge errechnen.
Hmm, warum so kompliziert?
Also:
A(a)=a², also ist A'(a)=2a. Bleibt die Frage, was 2a bein Quadrat bedeutet.
> Nun verstehe ich nicht, warum es günstiger sein soll, nach
> dem Radius des Inkreises abzuleiten. Wenn ich das Quadrat
> an allen vier Seiten "vergrößere", also den Radius des
> Inkreises verändere, wäre es ja eigentlich logisch, wenn
> die Änderungsrate der Umfang des Quadrats wäre. Das ist sie
> aber ja nicht.
Der Radius r des Inkreises von einem Quadrat mit der Seitenlänge a ist ja [mm] r=\bruch{1}{2}a.
[/mm]
Also hat das Quadrat den Flächeninhalt
[mm] A(r)=(\bruch{1}{2}a)²=\bruch{1}{4}r²
[/mm]
Also: [mm] A'(r)=\bruch{1}{2}r
[/mm]
> Zu Aufgabe c) Hier verstehe ich, dass die Ableitung des
> Flächeninhalts der Umfang ist. Allerdings komme ich nicht
> darauf, wie ich die Formeln für den Flächeninhalt und die
> Seitenlänge bestätige.
Teile das Sechseck mal in gleichschenklige Dreiecke mit der Spitze im Mittelpunkt auf.
Für jedes Dreieck gilt nun: Der Winkel im Mitelpunkt beträgt [mm] \bruch{360}{6}=60°. [/mm] Die Schenkel haben die Länge r. Jetzt berechne damit mal die Basis, und dann die Höhe jedes dieser Dreiecke. Dazu brauchst du den Pythagoras und die Sinus/Cosinussätze im rechtwinkligen Dreieck.
> Zu Aufgabe d) e) und f) Hier habe ich keine Ahnung, wie
> ich es mit den Volumen machen soll.
d) [mm] V_{Kugel(r)}=\bruch{4}{3}\pi*r³
[/mm]
Also: [mm] V'(r)=4\pi*r² [/mm] (Was ist das bei einer Kugel?)
e) V(a)=a³
V'(a)=3a²
für die Inkugel siehe oben.(Inkreis des Quadrates)
f) [mm] V_{Zylinder}=\pi*r²*h
[/mm]
hier: 2r=h
Also: [mm] V_{Archim.Zyl.}=\pi*r²*(2r)=2\pi*r³
[/mm]
[mm] V'(r)=6\pi*r² [/mm]
> Zu Aufgabe g) Hier weiß ich, dass die Änderungsrate der
> Querschnitt des Körpers in dieser Höhe ist. Aber warum ist
> das so?
>
> Viele Grüße
>
> P.S.: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
Hilft das erstmal weiter?
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:30 Mi 13.06.2007 | | Autor: | Sigrid |
> Hallo Marius,
>
> > Diskutiere und gib dabei die Bedeutung der Änderungsrate
> > an:
> > a) Die Ableitung des Quadratflächeninhalts nach der
> > Seitenlänge;
> > b) Die Ableitung des Quadratflächeninhalts nach dem
> Radius
> > des Inkreises (warum ist dies günstiger?)
> Der Radius r des Inkreises von einem Quadrat mit der
> Seitenlänge a ist ja [mm]r=\bruch{1}{2}a.[/mm]
> Also hat das Quadrat den Flächeninhalt
> [mm]A(r)=(\bruch{1}{2}a)²=\bruch{1}{4}r²[/mm]
Hier ist dir ein Fehler unterlaufen:
[mm]r=\bruch{1}{2}a \Rightarrow a = 2 r [/mm]
Also
$ A(r) = (2 [mm] r)^2 [/mm] = 4 [mm] r^2 [/mm] $
Gruß
Sigrid
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:02 Mi 13.06.2007 | | Autor: | Linalina |
Hallo Marius!
Vielen Dank für deine Antwort. Ich verstehe, was jeweils die Ableitungen der einzelnen Formeln sind. Jedoch ist doch in der Aufgabe nach der Bedeutung der Änderungsrate gefragt. Also wie man sich das anschaulich erklären kann.
Die Bedeutung beim Flächeninhalt habe ich verstanden. Allerdings habe ich keine Ahnung, wie ich mir es beim Volumen erklären kann, also Aufgabe d), e) und f)
Hast du da eine Idee?
Viele Grüße,
Lena
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:04 Mi 13.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Genauso wie bei den Flächen, dort hast dus nur etwas umständdlich erklärt. Wenn du die Fläche vergößerst indem du ein um dr gößeres Quadrat nimmst, kannst du das Zusätzliche Stück ausrechnen, indem du den Umfang*dr ausrechnest, das ist der Flächeninhalt der dazugekommen ist (bis auf die Miniquadrate [mm] dr^2 [/mm] an den Ecken,die man gegenüber dem Rest vernachlässigt.
bie räumlichen Figuren ist das Genauso, wenn du das um dr vergrößerte Volumen drumrumlegst, hast du eine Vergrößerung um eine dunne Schale, die das Volumen Grundfläche mal Höhe, also Oberfläche mal dr hat, wieder bis auf die Ministückchen an den Ecken.
Ich hoff ich habs klar ausgedrückt.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:48 Do 14.06.2007 | | Autor: | Linalina |
Vielen Dank, jetzt hab ichs verstanden. Komisch, es ist eigentlich so einfach. Ich hab irgendwie ein Brett vor dem Kopf gehabt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:15 Do 14.06.2007 | | Autor: | M.Rex |
> Vielen Dank, jetzt hab ichs verstanden. Komisch, es ist
> eigentlich so einfach. Ich hab irgendwie ein Brett vor dem
> Kopf gehabt.
Das ist total normal, wenn jemandem Mathe erklärt wird. Das geht glaube ich fast allen hier so.
Marius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:08 Mi 13.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Zum Flächeninhalt des Sechsecks: es besteht aus 6 gleichseitigen Dreiecken, die Höhe und damit dem Radius kannst du ohne sin oder cos mit dem Pyth. berechnen, weil die Höhe ja die Seite halbiert.
zu g) wenn du die Hohe etwas änderst, dann ist die Volumenzunahme doch einfach [mm] \Delta [/mm] h*Querschnittsfläche, wenn [mm] \Delta [/mm] h klein ist, ganz egal welche Form das Ding hat.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:02 Do 14.06.2007 | | Autor: | Linalina |
Hallo!
Zu g) verstehe ich nicht so richtig. Wieso ist dh * Querschnittsfläche die Volumenzunahme? Ich verstehe nicht, wie das mit der Querschnittsfläche zusammenhängt.
Viele Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:14 Do 14.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn du in einem Glas etwas dazuschüttest, Höhe dh, dann rechnest du das Volumen dieses zugeschütteten aus wie das Volumen eines geraden Körpers, der Fläche auf die du geschüttet hast, also der Querschnittsfläche. (diese ändert sich auf dem kleinen Stück dh ja pratisch nicht)
klar? sonst zeichne dir mal irgendein gefäss auf!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:04 Do 14.06.2007 | | Autor: | Linalina |
Aah, ok, jetzt verstehe ich glaube ich was du mit Querschnitt meinst. Also den Flächeninhalt der Wasseroberfläche in dem Gefäß?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:06 Do 14.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja, das ist die Querschnittsfläche des Gefässes an der Stelle.
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:51 Do 14.06.2007 | | Autor: | Linalina |
Vielen Dank!
Dann hab ichs jetzt verstanden!
Viele Grüße,
Lena
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