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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:11 Di 11.01.2005 | | Autor: | Ilcoron |
hallo
ich habe ein problem und zwar bekomme ich ohne taschenrechner bei dieser ableitung ein anderes ergebnis als mit taschenrechner
die funktion lautet:
[mm] $f(x)=\bruch{2}{(x+ x^{2})^{3}}$
[/mm]
also kann mir bitte jemand schritt für schritt vorrechnen wie ich auf die ableitung komme
danke schon mal
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:22 Di 11.01.2005 | | Autor: | Ilcoron |
ich hab nicht die produktregel als erstes sondern die quotientenregel benuzt, und dabei die kettenregel:
[mm] \bruch{NAZ-ZAN}{N^{2}}
[/mm]
Nenner(N): $(x+ [mm] x^{2})$
[/mm]
Ableitung Nenner(AN): $3*(x+ [mm] x^{2})^{2}*(1+2x)$ [/mm] nach kettenregel
Zähler(Z): 2
Ableitung Zähler(AZ): 0
=> $f'(x)= [mm] \bruch{-2*3*(x+ x^{2})^{2}*(1+2x)}{(x+ x^{2})^{6}}$
[/mm]
da ist jetzt irgendwo ein fehler oder?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:39 Di 11.01.2005 | | Autor: | Ilcoron |
> > => [mm]f'(x)= \bruch{-2*3*(x+ x^{2})^{2}*(1+2x)}{(x+ x^{2})^{6}}[/mm]
hi
wenn man gekürtzt hat kommt dann raus:
[mm] $\bruch{-6*(1+2x)}{ x^{4}* (x+1)^{4}}$
[/mm]
stimmt das?
danke an alle für eure mühen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:48 Di 11.01.2005 | | Autor: | Loddar |
> wenn man gekürtzt hat kommt dann raus:
> [mm]\bruch{-6*(1+2x)}{ x^{4}* (x+1)^{4}}[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:29 Di 11.01.2005 | | Autor: | dominik |
Nun hier die Ableitung der Funktion
[mm] f(x)= \bruch{2}{(x+x^2)^3} [/mm]
Also, Schritt für Schritt:
Es gibt zwei Möglichkeiten:
1. Du leitest den Term, wie er hier steht, mit der Quotientenregel ab:
[mm] f(x)= \bruch{2}{(x+x^2)^3}= \bruch{u}{v} [/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{u'*v-u*v'}{v^2}
[/mm]
[mm] u'=0 [/mm]
[mm] v'=3*(x+x^2)^2*(1+2x)
[/mm]
(Kettenregel; [mm] 1+2x [/mm] ist die innere Ableitung und wird einfach als Faktor dazu gefügt)
[mm] \Rightarrow f'(x)=\bruch{0*(x+x^2)^3-2*3*(x+x^2)^2*(1+2x)}{[(x+x^2)^3]^2}=\bruch{-6*(x+x^2)^2*(1+2x)}{(x+x^2)^6}=\bruch{-6*(1+2x)}{(x+x^2)^4}
[/mm]
Hier konnte man mit [mm] (x+x^2)^2 [/mm] kürzen.
Der Term im Nenner [mm] (x+x^2)^4 [/mm] kann noch folgendermassen in Faktoren zerlegt werden:
[mm] (x+x^2)^4=[x*(1+x)]^4=x^4*(1+x)^4
[/mm]
Also lautet das Schlussergebnis wie folgt:
[mm] f'(x)=-6*\bruch{1+2x}{x^4*(1+x)^4} [/mm]
2. Die zweite Möglichkeit ist einfacher und wurde von Loddar angesetzt: Ableiten mit der Produktregel, nachdem der Term vom Quotienten in ein Produkt umgewandelt worden ist:
[mm] f(x)= \bruch{2}{(x+x^2)^3}=2*(x+x^2)^{-3} [/mm]
Hier wird direkt die Kettenregel angewendet, 2 bleibt als Faktor:
1. Schritt: [mm] f'(x) : 2*(-3)*( ... )^{-4} [/mm] Potenzregel
2. Schritt: [mm] f'(x) : 2*(-3)*( x+x^2)^{-4} [/mm] Die Klammer "füllen"
3. Schritt: [mm] f'(x) : 2*(-3)*( x+x^2)^{-4}*(1+2x) [/mm] innere Ableitung als Faktor
[mm] \Rightarrow f'(x)=2*(-3)*( x+x^2)^{-4}*(1+2x)=-6* \bruch{1+2x}{( x+x^2)^4} [/mm]
Die Produktregel ist also tatsächlich einfacher und kürzer!
Nochmals viele Grüsse
dominik
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:37 Di 11.01.2005 | | Autor: | Duke |
Hi
die Hochzahl im Nenner ist 3 und nicht 4!
In Zukunft lieber ein bisschen sorgfältiger abschreiben, sonst kommen die Newbies nicht weiter und das wollen wir doch nicht, oder???????
Gruß Duke
^^Es gibt halt nur wenige die es wirklich können!^^ (Duke)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:50 Di 11.01.2005 | | Autor: | dominik |
Habe tatsächlich [mm] f(x)= \bruch{2}{(x+x^2)^4} [/mm] abgeleitet statt [mm] f(x)= \bruch{2}{(x+x^2)^3} [/mm] !
Sagen wir: Ilcoron kann dies als zusätzliche Übung betrachten?
Danke auf jeden Fall für die Anregung!
dominik
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:30 Di 11.01.2005 | | Autor: | Duke |
Also dann wollen wir mal:
die Funktion ist: $ [mm] f(x)=\bruch{2}{(x+ x^{2})^{3}} [/mm] $
Das ist eine Kombination aus Quotienten- und Kettenregel!
(Quotientenregel: Zähler und Nenner)
(der Nenner muss dann aber nach Kettenregel abgeleitet werden)
also: $ [mm] f(x)=\bruch{-2*3(x+x^{2})^{2}*(1+2x)}{((x+x^{2})^{3})^{2}}
[/mm]
Probier jetzt mal selber das zu vereinfachen!
Wenn du nicht weiterkommst, oder Fragen hast, wie ich darauf komme, melde dich einfach!
Gruß Duke
P.S.: Ich schreib das hier als Mitteilung, weil ich den Button Antwort nicht hatte!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:28 Di 11.01.2005 | | Autor: | dominik |
> [mm]f(x)=\bruch{-2*3(x+x^{2})^{2}*(1+2x)}{((x+x^{2})^{3})^{2}}
[/mm]
natürlich muss es heissen: [mm] f'(x) [/mm] statt [mm] f(x) [/mm]
Wie heisst es doch so schön (Zitat):
" ^^Es gibt halt nur wenige die es wirklich können!^^"
Gruss!
dominik
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:28 Mi 12.01.2005 | | Autor: | Duke |
Vielen Dank für deine Berichtigung.
Ich denke damit sind wir quitt, oder?
Gruß Duke
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![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]"){kind=small}
Quotientenregel![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
!!
