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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:50 Mi 30.01.2008 | | Autor: | moomann |
| Aufgabe | Die durch
[mm] f(x):=\begin{cases} \exp\left(- \bruch{1}{x^{2}}\right), & \mbox{für } x\not=0\\ 0, & \mbox{sonst}\end{cases}
[/mm]
gegebene Funktion [mm] f:\IR\to\IR [/mm] ist in jedem Punkt [mm] x\in\IR, [/mm] insbesondere in 0 beliebig oft differenzierbar. Dazu zeigen Sie, dass die n-te Ableitung im Punkte [mm] x\not=0 [/mm] die Gestalt [mm] \summe_{k=0}^{3n}a_{k,n}\bruch{1}{x^{k}}\exp\left(- \bruch{1}{x^{2}}\right) [/mm] mit geeigneten Koeffizienten [mm] a_{k,n}\in\IR [/mm] besitzt. |
Hallo!
Ich würde mich über Hilfe zum Finden der n-ten Ableitung im Punkt [mm] x\not=0 [/mm] sehr freuen. Eigentlich habe ich kein Problem, die Ableitungen zu bilden, aber ich komme einfach nicht auf die angegebene Form. Ich habe weniger Summanden und andere Potenzen. Gemäß der angegebenen Formel müsste ja bereits die 1. Ableitung ja zunächst aus 4 Summanden bestehen.
Gruß
moomann
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Hallo Mooman!
Nicht verwirren lassen. Denn für die erste Ableitung können doch einzelne Koeffizienten auch den Wert [mm] $a_{k;n} [/mm] \ = \ [mm] \red{0}$ [/mm] annehmen.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:56 Mi 30.01.2008 | | Autor: | moomann |
Könnte mir das einer für eine Ableitung bitte einmal zeigen?
Bei der ersten Ableitung erhalte ich nach "normalem" Verfahren
[mm] $${{2\,e^ {- {{1}\over{x^2}} }}\over{x^3}}.$$
[/mm]
Für die zweite Ableitung
[mm] $${{4\,e^ {- {{1}\over{x^2}} }}\over{x^6}}-{{6\,e^ {- {{1}\over{x^2}} }}\over{x^4}}$$
[/mm]
und für die dritte
[mm] $${{24\,e^ {- {{1}\over{x^2}} }}\over{x^5}}-{{36\,e^ {- {{1}\over{x^2 }} }}\over{x^7}}+{{8\,e^ {- {{1}\over{x^2}} }}\over{x^9}}.$$
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:30 Do 31.01.2008 | | Autor: | Zneques |
Hallo,
Laut der Summenformel darf der Wert für k (der Exponent von x) nicht größer als 3*n werden, wobei n für die n-te Ableitung steht.
Wie du in deinen drei ersten Ableitungen siehst, kommt dieses 3n immer vor.
Wie kommt es zustande ? Warum kann es von einer zur nächsten Ableitung nie um mehr als 3 größer werden ?
Danach musst du nur noch kurz erwähnen, durch welche Ableitungen sich die anderen Werte (z.B. [mm] x^4 [/mm] in der 2. Ableitung) zusammensetzen.
Ciao.
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